小学奥数基础教程.docx

小学奥数根底教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲4,8,9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字酸（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比拟法（一）第15讲盈亏问题与比拟法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲复原问题（一）第23讲复原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原那么第29讲抽展原理（一）第30讲抽展原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的根底，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的开展。我们在三年级已经讲过一些四那么运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。例1四年级一班第一小组有IO名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。求这10名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比方以"80"作基准，这10个数与80的差如下：6,-2,-3,3,Ib-6,12,-11,4,-5,其中号表示这个数比80小。于是得到总和=80X10+（6-2-3+3+11-=800+9=809o实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9,再加上80X10,就可口算出结果为809。例1所用的方法叫做加法的基准效法这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差、山例1得到：总和数基准数×加数的个数累计差，平均数基准数累计差-：加数的个数在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。例2某农场有10块麦田，每块的产量如下(单位：千克：462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每块麦田的产量。解:选基准数为450,那么累计差=12+30730+2321+18-11+25+11=50,平均每块产量=450+50÷10=455(千克。答：平均每块麦田的产量为455千克。求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7X7=49(七七四十九)。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10-20的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法一凑整补零法所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例3求29?和82?的值。解：29s=29×29=(29+1)X(29-1)+12=30×28÷l=840+1=841o822=82×82=(82-2)X(82+2)+22=80X84+4=6720+4=6724»由上例看出，因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”；因为82比80多2,所以从82中“移走*2,这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1,就要给另一个29减1；给一个82减了2,就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算35得35×35=40×30+52=1225o这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。例4求9932和2004'的值。解：9932=993×993=(993+7)X(993-7)+72=1000X986+49=986000+49=986049»20042=2004×2004=(2004-4)×(2004+4)+42=2000X2023+16=4016000+16=4016016o下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。请看下面的算式：66X46,73X88,19×44o这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10»这类算式有非常简便的速算方法。例588×64=?分析与解：由乘法分配律和结合律，得到88X64=(80+8)X(60÷4)=(80+8)×60+(80+8)X4=80×60+8×60+80×4+8×4=80×60+80×6+80×4+8×4=80×(60+6+4)+8X4=80×(60+10)+8X4=8×(6+1)×100+8×4o于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8X4：积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数苻的十位数与“个位与十位之和为10的因数"的十位数加1的乘积，本例为8X(6+1)o例677X91=?解:由例3的解法得到由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0,本例为7X1=07。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。练习1L求下面10个数的总和：165, 152,168,171,148,156,169,161,157,149o2 .农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为(单位：厘米：26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25»求这批麦苗的平均高度。3 .某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68,91,84,75,78,81,83,72,79。他们共加工了多少个零件？4 .计算：13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+125 .计算以下各题：(1) 372；532；(3)912；(4)682：(5)108?；(6)3972o6 .计算以下各题：(1)77X28；(2)66X55；(3) 33X19；(4)82X44；(5)37X33；(6)46×99o练习1答案1 .1596«,2.26厘米。2 .711个。4.147»5.(1)1369；(2)2809：(3)8281：(4) 4624；(5)11664；(6)157609o6. (1)2156：(2)3630；(3)627；(4)3608：(5)1221；(6)4554o第2讲速算与巧算(二)上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补芹与“补同苻速算法。两个数之和等于10,那么称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72X78,26X86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72X78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补苻型；26X86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同"型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法例1(1J76X74=?(2)31X39=?分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。(1)由乘法分配律和结合律，得到76X74=(7+6)X(70+4)=(70+6)×70+(7+6)×4=70×70+6×70÷70×4+6×4=70×(70+6+4)+6X4=70×(70+10)+6X4=7×(7+1)×100+6×4o于是，我们得到下面的速算式：(2)与(1)类似可得到下面的速算式：由例1看出，在“头相同、尾互补"的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1X9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾X尾"，前面是“头X(头+1).。我们在三年级时学到的15X15,25X25,95X95的速算，实际上就是“同补”速算法。例2(178×38=?(2)43×63=?分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。(1)由乘法分配律和结合律，得到78X38=(70+8)×(30+8)=(70+8)×30+(70÷8)X8=70×30+8×30+70×8÷8×8=70×30+8×(30÷70)÷8×8=7×3×100+8×100+8X8=(7×3+8)×100+8×8o于是，我们得到下面的速算式：(2)与(I)类似可得到下面的速算式：由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3X3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾X尾"，前面是"头X头+尾”例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或"补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10,100,IOo0,时，这两个数互为补数，简称互补如43与57互补，99与1互补，555与445互补。在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补"型。例如在WX红，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70,后两位数互补，77+23=100,所以是“同补”型。又如148X152,238×232,等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即"头互补，尾相同"型。例如，734×y4f58614×586电等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。例3(1)702×708=?(2)1708X1792=?解:(1)(2)计算多位数的“同补”型乘法时，将“头X(头+1)”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意：互补数如果是n位数，那么应占乘积的后2n位，缺乏的位补“0”。在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与"同"，即”头苻与"尾"的位数相同，那么例2的方法仍然适用(见例4)；如果“补”与"同"的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。例42865X7265=?解:练习2计算以下各题：1.68X62；2.93X97；3.27X87；4.79X39；5.42X62；6.603X607；7. 693X607；8.4085×6085o第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让