大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用).docx
概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1 .事件的关系AUBAuBABA-BAAB=2 .运算规那么(1)A<jB=B<jAAB=BA(2) (AuB)UC=Au(BuC)(AB)C=A(BC)(3) (AuB)C=(AC)U(BC)(AB)UC=(ADC)(BuC)(4) AkjB=ABAB=jB3.概率P（八）满足的三条公理及性质：(1)OP（八）1(2)P(C)=I对互不相容的事件A,Az,A，有P(OAl=£尸(4)(可以取8)Jt=IJl=I(4)P(O)=O(5)P（八）=1-P（八）(6) P(A-B)=P（八）-P(AB)f假设Au4,那么尸(8A)=P(B)P（八）,P（八）P(B)(7) P(ADB)=P（八）+P(3)P(Aa(8) P(AuBuC)=P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(Bc)+P(ABC)4 .古典概型：根本领件有限且等可能5 .几何概率6 .条件概率(1)定义：假设P(3)>O,那么P(AlB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(AIB)假设四,当,5为完备事件组，P(Bj)>0,那么有(3) 全概率公式：P（八）=WP(Bj)P(AlBjZ=I(4) Bayes公式：P(BkA)=，="与)汽P(BM(Al坊)»=17 .事件的独立性：A,8独立OP(Aa=P（八）P(3)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 .离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=Xj)=P,满足(1)PjO,(2)EPi=I9对任意。uH,P(XQ)=EPi匕XiGD2 .连续随机变量：具有概率密度函数/(R),满足(1)/U)(),f(x)dx=iJ-QO(2) P(aXb)=jf(x)dx;(3)对任意R,P(X=a)=O3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布8(1,P)P(X=l)=p,P(X=O)=夕=I-PPPq二项式分布BgP)P(X=Q=C：pkqn-k,k=0,1,2,明npnpqPoisson分布P()无p(X=&)=e4/=0,l,2一,k几何分布G(P)P(X=k)=qZp,k=2,Pq7均匀分布U(,8)f(X)=-,axb,b-aa+b2S-a)?12指数分布E（八）f(x)=x,x()j_I1不正态分布NT，/)1/(X)=-J=e2y224 .分布函数F(x)=P(Xx)9具有以下性质(UFs)=O,F(+)=l;(2)单调非降；(3)右连续；(4) P(a<Xb)=F(b)-F(a)f特别P(X>4)=l-/；(5)对离散随机变量，F(X)=Xpi.;izxix(6)对连续随机变量，F(X)=力为连续函数，且在F(X)连续点上，F(x)=(x)J-Oo5 .正态分布的概率计算以()记标准正态分布N(0,l)的分布函数，那么有(1) (0)=0.5t(2)(-x)=l-(x)j假设XN3),那么F(X)=(二上)：(4)以Q记标准正态分布N(OJ)的上侧分位数，那么P(X>")=l-(%)6 .随机变量的函数y=g(x)()离散时，求y的值，将相同的概率相加;(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，那么(y)=U-,W)U-1)'b假设不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1 .二维离散随机向量，联合分布列P(X=Xj,y=)=%,边缘分布列P(X=Xj)=p,P(Y=X)=P.,有Pij0;(2)ZPLhPj=ZP炉'Pj=Ypijyi'2 .二维连续随机向量，联合密度/(x,y),边缘密度f(x),y(y),有f(xfy)Oi(2)r(%y)=h(X,Y)eG)=fff(xty)dxdy；()=J：/(x,y)dy,f(y)=f(,y)dx3 .二维均匀分布“乂月蔡而'。'')6。，其中加(G)为G的面积0,其它4 .二维正态分布(x,y)N(M，2，b；，6，p)，其密度函数(牢记五个参数的含义)/U) =1E-1U-Ai)2o(x-i)(y-,)(y-S1e*-2P1z2l2l-p22(1-P)_1122X-/V(1,12),/"(4届)；5 .二维随机向量的分布函数F(X,y)=P(Xx,y)，)有(1)关于x,y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3) F(x-)=尸(一8,y)=F(-)=O；(4) F(+,+)=1，F(x,+)=Fx(x),F(+,y)=F(y)；(5) P(x1<Xx2,yi<Yy2)=F(x2,y2)-F(xi9y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)；(6)对二维连续随机向量，=xy6.随机变量的独立性*,丫独立0尸*,丁)=尸*)耳(丁)(1)离散时X,y独立oPij=Pi.p.j(2)连续时X：独立of(9y)=fx(x)f(y)(3)二维正态分布x,y独立=P=0,且x+yN(M+2，。；+。；)7.随机变量的函数分布(1)和的分布Z=X+Y的密度fz(z)=+7(2-乂y)dy=f(xiz-x)dxJ-SJ-QO(2)最大最小分布第四章随机变量的数字特征1.期望(1)离散时E(X)=EXiPj,E(g(X)=Zg(x,)p一ii连续时E(X)=4")公，E(g(X)=g(x)f(x)dxiJ-QOJ-oO二维时E(g(X,F)=ZgQj,X)Pi/，E(g(X，y)=匚匚g(x,y)f(x,y)ddyLj(4)E(C)=C;(5)E(CX)=CE(X)(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y)i(7) X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)2.方差(1)方差。(X)=E(X-E(X)2=E(2)TEX)2,标准差b()=JD(X)；(2)D(C)=O,D(X+C)=D(X)jD(CX)=C2D(X);(4)X,Y独立时，D(X+y)=D(X)+D(K)3.悔方差(1) Cov(X9Y)=E(X-E(X)&-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(2) COMX,Y)=Cov(Y9X),Cov(aX9bY)=abCov(X1Y)；Cov(Xl+X2tY)=Cov(Xl,Y)+Cov(X2,Y)；(4) CoV(X,Y)=0时，称x,y不相关，独立=不相关，反之不成立，但正态时等价；(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(XjY)4 .相关系数px=>有RXy区LIpXyl=I=三。/，P(Y=X+力=1Cr(X)Cr(Y)5 .k阶原点矩乙二E(XA),k阶中心矩£=或X-E(X)A第五章大数定律与中心极限定理1 .ChebySheV不等式PX-E(X)或PX-E(X)|<£2 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量x,x2,，X独立同分布E(Xi)=，D(Xi)=29那么£x,j.N(,b2),i=lfi2sXjT或'£X，£)或2IN(0,1),2'近似n4n近似(2)设，是次独立重复试验中4发生的次数，P（八）=p,那么对任意X,有IimP乌二竺x=(X)或理解为假设XBgp),那么X.N(np,npq"fynpq近似第六章样本及抽样分布1.总体、样本(1)简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法),(2)样本数字特征：1n_2样本均值X=-Yx,.E(X)=tD(X)=一)；/=11n_1H_样本方差5'2=后g(X,-X)2(E(S2)=2)样本标准差S=J±自(Xj-X)2样本攵阶原点矩乙,样本攵阶中心矩4='f(X,-5)”n,=in1=|2 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1) %:分布力2=*：+*；+*；力2()，其中*2产.,*独立同分布于标准正态分布N(OJ),假设X/2()y72(%)且独立，那么+y2(%+%);V(2) /分布t=-t(n)9其中XN(0,l),丫力2()且独立；F7nVln(3) F分布F=-F(nl,n2),其中X/(%),y/(%)且独立，有下面的性质YZn24 .正态总体的抽样分布(1) X-N(,2n)l(2)±£区一)2/(明o<=1""I"彳2(_)且与又独立;，=上白"一1)；Syn一(从一生)声TT+2),S-S：+(%-西S©“+2”+%-2q2/2(6)F=-?：尸(一1,4一1)Sl"第七章参数估计1 .矩估计，(1)根据参数个数求总体的矩I(2)令总体的矩等于样本的矩；(3)解方程求出矩估计2 .极大似然估计，(1)写出极大似然函数；(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值，一般为minxj或maxj)3 .估计量的评选原那么无偏性：假设凤历=。，那么为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4.参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2bX-UU=-F=yn-+m(=2/未知s/y/nlx+ta(-I)-2Tn2未知2(n-)s2X=,(n-l)52(n-l)525T)'"("T)122概率论与数理统计期末试题(2)与解答一、填空题(每题3分，共15分)1 .设事件AB仅发生一个的概率为，且P（八）+P(B)=0.5,那么A5至少有一个不发生的概率为2 .设随机变量X服从泊松分布，且P(X1)=4P(X=2),那么P(X=3)=.3 .设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，那么随机变量Y=2在区间(0,4)内的概率密度为f(y)=z4 .设随机变量x,y相互独立，且均服从参数为；I的指数分布，P(x>i)="2,那么几=Pmin(X,Y)=.5 .设总体X的概率密度为/U) =(6 + 1)/,0,0<x<l, 其它>-.x, X2，X是来自X的样本，那么未知参数的极大似然估计量为.解：I. P(AB÷AB) = 0.3即 0.3 = P(AB) + P(AB) = P(A)- P(AB) + P(B) - P(AB) = 0.5 - 2P(AB)所以尸(AB) = O.1P(A UB) = P(AB) = I-P(AB) = 0.9.222 P(X(X=。) +
