数值分析知识点总结.docx

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。一、第1章数值分析与科学计算引论1.什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？答设了为准确值,n.为工的一个近似值,称e=x-Z为近似值Z的绝对误差，简称误差.近似值的误差e-与准确值N的比值U=亡三称为近似值工.的相对误差，记作e:.通常我们无法知道误差的准确值.只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界£、6叫做近似值的误差限.相对误差限：£；=k；1的一个上界。有效数字：如果近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到X*的第一位非零数字共有"位，就说X*共有"位有效数字。即x*=±/OmX(M+2xa+"XW"T),其中/0,并且k-£上；Xl(T-"+二其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m值为O,n值为3,绝对误差限£：=Jxl(T，2.一个比较好用的公式：/(R的误差限：£(fX)'(-*)£(/)例题：5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解球体体积公式为V=等KRL体积计算的条件数G一一3,所以.e,(V)%C,c.(R)=3e,(R').又因为e,(V)=1%.所以度境半径R时允许的相对误差限e,(R)=*(V)=§X1%内0.0033.二、第2章插值法1.什么是拉格朗日插值疑函数。它们是如何构造的？有何重要性质？答若"次多项式Z,（三）G=O,1,，n)在rt-H个节点x0<x1<<x.上满足条件卜=J-10,kj,0,1,，打则称这n+1个n次多项式。Q)4（三）,4（三）为节点x0,xl,x.上的"次拉格朗日插值基函数.以4(工)为例，由4(工)所满足的条件知4（三）以工。，aI,xt÷1.jr,为零点，再考虑到4（三）为*次多项式,故可设Z(x)=A(N-X0)(x*-1)(xXh1)*(X.)»其中A为常数.利用L（八）=I得I=A(*Xfl)5ZI)(JrANI)(X*/),故即2(%)_(JrHo)(n)(工NHI)(工)TT工一J7(X*x3)(xlX<-)<*-Z1)(aX,)M彳*-NjJ*对于Zi(x)(t=0,l.,n),WZKA（三）=x*(=0,1,，”)，特别当R=O时，有z"(工)=1.例题：2.给出/(工)=InN的数值表:Z64Q*50,60.70.8Injr0.916291-0.6931470.5108260«3566750.223144用线性插值及一次播值计算In0.54的近似值.解线性插值.由于H=O.54,介于0.5和0.6之间，故取入=0.5,H1=0.6,这时插值余项中的w（三）=(h-)(h-f)的绝对值最小.于是yo-O.693147,»=0.510826.代人拉格朗日线性插值多项式,得1.1¢0.54)=二三M+L-.j1XoNINlXq=再X<-0693147)+2X(-0.510826)一_0.620219,所以In0.54Z三L(0.54)-0.620219.当然还可以按其他方式取吃,，但近似程度可能差些.二次插值.由于N=0.54与0.5,0.6及0.4的距离较近，故取A=O.4,Zl=；5,左=0.6,这时播值余项中的mJ)=(Z-Z)Q-右)(n一巧)的绝对值最小.于是3=-0.916291,V=-O.693147,>j=-0.510826.代入拉格朗日二次插值多项式，得L1 (O. 54)=(工一al)(HJ),工一Htl)工一J),(T0-Xi)(i0-X1)"(工1-了0)(#1一工？)"X (- 0. 916 291>(0,54-0.5)<0,5-O,6)(0.4-0.5)(0.4-0.6)X (- 0, 693 147)X (-0.510 826)I0.540.4)(0,540.6)(0.5-0.4)0；5-0.6).(O.5-0.4)(0,54-0.5)(0.6-0.4X0.6-0.5)%-0.615320祈以InO.54%LZ（0.54）=-0,615320.2.什么是牛顿基函数？它与单项式基1,h,，2有何不同？答称1,一天，工一2）（z一Ni），"工一工3）（M-Hi.1）为节点JC,X1,X上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点工。,5,，N'上函数“力的n次牛顿插值多项式PJz）可以表示为PJl（N）c>+a1（a0）-+,（xr0）（x¾-）,其中t=/Lx0.4,hJG6=0,1le）.与拉格朗日插值多项式不同,牛顿插值慕函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如PHI（三）=P，（三）十<1（工一我）"，（了-X1）,其中a.r是节点用，%+1上的及+1阶差商,这一点要比使用单项式基1，工,，/方（得多.3.什么是函数的"阶均差？它有何重要性质？答称兀士，工门=冬二=9为函数八H）关于点,心的一阶均差，称ftxa,Xty/'工"-"/Fl为穴工）关于点如，H-H,的二阶均差，一般地，称上.一工】"了=fQc”,工I,工Ij/，工1'，工1为/Xh）关于点JT0H，H11的n阶均差.均差具有如下基本性质工（1）阶均差可以表示为函数值/（现）,八/），/（二）的线性组合，即fj*0,Hi,才一（3_工0）.（工丁_JrjTj（4_#）.（吃_*,，该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性./L网+h1，*z.若户工）在%，切上存在n阶导数，且节点Xe»X,三。,方,则n阶均差与n阶数的关系为/o,吃，=E”,E,b4.写出"+1个点的拉格朗日插值多项式与半顿均差插值多项式,它们有何异同？答给定区间a,切上”+1个点Ho<Hi<<x#上的函数值v=f5)(i=0,l,，n),则这n+1个节点上的拉格朗日插值多项式为ra-Cx)=yJ*Q)其中这n+1个节点上的牛顿插值多项式为P,<)=6÷dCxxc)+。,工一j)"(hHl),其中d1fx0,X.,ji(-0,l,*tn)/（三）在点Xe.Ht,工上的/阶均差.由插值多项式的唯一性,L<G与心(工)是相同的冬项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便计算，而拉格朗日插值没有这个优点，5.给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？答设r*>Q)在,&上连续,f""(士)在Q,b)内存在，节点axo<x1<-<fr,LXH)是满足条件L.5)=XG=0，")的插值多项式，则对任何工S叫封，捕值余项r"(工)=/(x)-L,=广:¥二一工),这里6£(口，6)且与工有关，Olll-ICN)=(上一%)(X-JTi)(X-).若有黑Ir"+"("I=M÷1,则l<n)逼近N)的截断误差!Rg7vIJG)I.6.二次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？答三次样条插值要求插值函数Scr)在整个区间上是二次连续可微的，即ScZ)WCa,瓦),且在每个小区间工,，与+门上是三次多项式，插值条件为Sd)=Iy,j=0,1,.n.三次分段埃尔米特插值多项式IMH)是播值区间4»上的分段三次多项式，且人(工)在整个区间上是一次连续可微的，即L（三）ECDI,口,插值条件为1.(H>)=X<r*).K(H*)=IyJ(H*),=0,1,n.分段二次埃尔米特插值多项式不仅要使用被播函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且捕值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但播值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微,所以相比之下，三次样条插值更优越一些(注意要添加边界条件).7.确定"+个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答由于三次样条函数S（三）在每个小区间上是三次多项式，其形式为a+bx+cxt+d",所以在每个小区间O,巧+门上要确定4个待定参数，"+1个节点共有M个小区间，故应确定4"个参数，而根据插值条件，Sb"="(j=0,1,，n)和一次连续可微所隐含的条件S'(/-O)=S'(h,+0)G=1,2,"-1),共有4"-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间a,打的端点=z。,6=Z"上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：(1)已知两端的一阶导数值，即S,(xo)=,S,(x.)=/：.(2)已知两端的二阶导数值，即SW(J)=,Sd=£,特殊情况为自然边界条件S*(xo)=O,S*(x,)=0.(3)当/（三）是以工.一工。为周期的周期函数时，要求S（三）也是周期函数，这时边界条件就满足S(x0+0)=S(x.-O),S,(o+O)=S,<x.-O),S,(xo+0)=S*(x.-0).这时SGr)称为周期样条函数.8.三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：5（三）=M,"%；"+Mf工纪'+(M-噌产Ozi7O/hf=O.1,，一1.这里M,(j=0.1,E)是未知的.为了确定M,(j=O,l.,n),JS（三）求导得M,"尸产+M,÷=-"OJ,由此可求得S(r,+O)=-Mj小+»；».类似地可求出S（三）在区间:>,-1,上的表达式.进而得Syj,-O)=1+yi1,b3hii利用S'(j,+O)=S'(%-O)可得/Mji2M,+LM汁=4，j=12»,w1,其中外*+E''hjl+h,'弘=6叁''.'i,丁口小"J=6/Q-T，小Jj=1.2,切-1,对于第一神边界条件，可导出两个方程：2MuMl=-(/0,xi-),MI+2M=-(/-/x,i,工).如果令福=1,&=忌(/工0，了1/；)，“=1，d“=/(ff,/x,I,x,)阵形式：幺 12 A)公式1对于第二种边界条件，直接得端点方程：M0=/：,M”=/：.如果令猫=""=0,4=2/：,丸=2/二则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。对于第三种边界条件，可得：UiI = B也可以写成如卜矩阵形式：'2 为df-2M.M”M>=Mi),M+,Mr-i+2M“=d公式2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解.（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换1.设/ECa同,