振动理论习题答案.docx

振动力学一一习题第二章单自由度系统的自由振动2-1如图2-1所示，重物WI悬挂在刚度为我的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物W2从高度为力处自由下落到%上且无弹跳。试求吗下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。»3%,质ggw+w2平衡位置:叱=仙M=?叫+吗=左百，x12=-k故；%=用2一%=三（川+吗）/g-M叫+吗故;X=-X0COS6÷-si116!>f4=-X0COS6Z+sinG)f2-2一均质等直杆，长为/,重量为他用两根长力的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角02=ha2F=mg由动量矩定理：r“aaM=-rsn-cos-mea=mga2d2*8ft其中Siner<2cos121,/ml+Ing6=01242-3一半圆薄壁筒，平均半径为R置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求其摆动的固有频率。五图2-3"翁年2-4如图2-4所示，一质量"?连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：(I)振动过程中杆被约束保持水平位置；(2)杆可以在铅垂平面内微幅转动；(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。(2)微幅转动:故:I,ng4/匕-区=1!. !=_ "7R+4)尢 4+4 (j+2>2必2(4 + 4 )+ GAl -仙右rt, +=,mg(zl +z2yl,(/?J秘Rkl+/；&2-5试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。己知杆的质量为"?,A端弹簧的刚度为丸并问较链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？-6 2- 图2-6在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。己知w=50kg,A=9800N/m,&-占=4900N/m,4=19600N/m。试问：(1)若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？(2)若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？2.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，&=无2=自=4=A，试问：(1)若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？(2)若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？解:图 T2-7*23 = & + *3 = 2"E = K&23 = 2w 1+Jt23 313卢4T(1)mg=1234，=Mr)=XOCoS<,XmaX=2/=第2-7图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为/,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。解：系统动能为:1.2系统动能为:V-x2+-12 22 11YX根据:InaX = Kiax，XnaX = Q/max&+占不2A用"7一3-"2家+5叫2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。解:mll+caa+kbb=Gml2+cai+klr=Q2-9图2-9所示的系统中，“=lkg,k=224Nm,e=48N.sm,=0.49m,h=l2,/3=/4,不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率？及阻尼7。2.26图T2-26所示的系统中，m=lkg,=144Nm,c=48Nsm,/=/=0.49m,2=0.5/,/3=0.25,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率仅,及阻尼？。答案图T 2-25mltl+C窗$&+&/?4=Oml+cl+k=OmHc+&®=O164n*=LA=364m=练=6rad/s及=2血，m第三章 单自由度系统的强迫振动3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一 力P=sinof。试求质量块的振幅。图3-1解：设弹簧1, 2的伸长分别为Xi和X2,则有，工= %+W（A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到TOJiPs振 激lx1 = K2X2 +sinr欣=Fw联立解得，mx =+=片 sin <f女+ 2女+ &EX +X =P0 sin t(占+ &)7"(占+%2)加/ klk2所以"、制人也)，也=0,得，J(E-6?)2 +(2ZKy)2左 J(l-)2+(%02 勺 1 (乌)23-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力P（t）=P0sint,写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量，"作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2）"等于固有频率吗的一半。解：图（1）为系统的静平衡位置，以9为系统的广义坐标，画受力如图（2）/在=-2/c（2/-3/k（3/）+3/Sin函又=/、4c%M八3n.'.6+=Psin<ymmml2fl=±仁也/ml“)+(2n<)"(P: -2- +(2"尸1)系统共振，即% =3_ hl _ (3p0 / ml) × I 2叩. 4c 隙* = 2)2, B=I T =一_ 4pa1x ml )祖f+叱竺 1( 4m )/ ?3-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率叫，阻尼比，以及稳态响应振幅OEwvwM1-“slnsr图3-3解：以刚杆转角0为广义坐标，由系统的动量矩定理4l-m=-k(l-xi)l-cl-即0H0H0 = SinS4m 4m f3-4一机器质量为450kg,支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm,机器有一偏心重，产生偏心激振力4=2.254疗/g,其中切是激振频率，g是重力加速度。试求:(1)在机器转速为1200rmin时传入地基的力；(2)机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移X,则rnx+kx=FkA：+-X=-即m根又有切g="R,则6”(1)=-7-=40ra/所以机器的振幅为后I-万(2)且P",/$(3)PY=鸟又有"相%x(f) = BSiner + 将(1)(2)(4)代入(2)得机器的振幅B=0.584mm则传入地基的力为PT=&B=514.7N2-9一个粘性阻尼系统在激振力F(/)=%s11e.作用下的强迫振动力为已知&=9.6N,B=5cm,<y=20rads,求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功%及W2。由已知可得：P(Z)=兄SinHt=19.6sin20mX(r)-BMJCoS(Wf+)=万CoS(20;Ff+)66Wl=6Px(t)dr=£19.6sin20mcos(20t+£山=-4.93C-49Jq(1-cosS0t)dt=-15.39J同理可得：W2=EPx(r)dr=j；。9.6sin20m;TCOS(20%r+“df=0.0395J3-5证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为AE=朽年2；尤k(l-2)2+(2)2证明AE=I-c&CoS(碗-)dt=-cB'J(J万)+4,2万吊2/抬五号2<£-cT三J-产(1-)+42A(l-2)+(23-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，己知X(O)=以0)=0。试求系统的响应。解：由图得激振力方程为4oyF=<一号tl<t<t2OQ%当OCCh时,尸=4,则有MF)=j-smpn(t-)d¼-1-cosjJ由于所以有PMf)=41-cosp-P-sin pn(r- )d"外当仆时,F(T)=-匕则有刀。)=-SinPnf-Cdr+fnn叫P尸Tcosp<f-0-cosp1-cospn(fT)当M/2时，F(T)=O,则有LSin pn(t-)dmPn+0Mr)=I-Sinpn(t-)d+pP=TCOSP"(f-f)-CoSPj-COSp/GT)-CoSPwGT)图3-73-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。解：由图得激振力方程为1(1-) 尸T 力oyF()-(l-当0"人时，力，则有XO = £1T .一外(1)sn pn(t-)d 叩"八工-CGSP/ + -?sin p,t %P/当点力时，F(r)=°,则有X=玲口一£)s®,(t-)d+QJOmpntl*。冲"sin /-sin Pf-rj3-8图3-8为一车辆的力学模型，己知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度4以及车辆的水平行驶速度人道路前方有一隆起的曲形地面：(1)试求车辆通过曲形地面时的振动；(2)试求车辆通过曲形地面以后的振动。解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，my=-女(y-X)-s由曲形地面：I/人得到njyky=kysF'()=<a(l-co*x)得到系统的激振力为，/。X=Vt2z.F(r)=似1-CoS丁-(I)车通过曲形地面时。"的振动为y(f)=f'()Sinpn(t-rWr=女。Sinpn(t-)d-fcos&rsinpa(r-)dJ。mptnnJoJo=(1一CoSPj)f,rsin(prr-)tSin(PJ-e)fcos(PrT+"cos(prr-)tpnF口必gmPJ-+cosp-+ii- X_ .P"=_莫中， 掰.flJ2(/+m)2旧一切)"2(凡+也)2(p-)p-2PnCGSd)tpCOSP/&/22.门t.P-K式】=&+F(口cospt-pncos(UD=(l-cosp)(pn-)pn-)p-(2)车通过曲形地面后的振动车通过曲形地面后t以初位移)'缶)和初速度义：)作自由振动，即y&)=+r-7(2cospnti-p；cosrl)S(L)=-r(-<y2psinpnty+<sintPL®,IK-sy(f)=MfI)CoSp(f一A)+sinpn(Z-Zl)由公式P”，得到车通过曲形地面后的振动响应为7XO=c°sP-cosp”(f)P；3或积