直线与圆锥曲线经典例题及练习.docx
直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在i起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1 .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2 .当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用"差分法''设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例题】【例1】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线)=X+1与椭圆交于P和Q,且Op_LoQ,P0=，求椭圆方程.解：设椭圆方程为如2+"y2=l(m>0>0),P(XIm),Q(x2j2)tx+2得(m+)/+2心+-1=0,i+nyi=1/=424(2+)(-1)>0,即m+nnn>Q,由OPj_0。,所以XIX2+y)"0,即2xiX2÷(xi+2)+1=0,.2(/71)n.C +1=0,.m+n=2m-nmn乂C%7升M才玲/"H72将m+=2,代入得mn=由、式得用二一，=一或/H=，=1故椭圆方程为:+-V=I或二/+-),2=1.【例2】如图所示，抛物线V=4x的顶点为。点A的坐标为(5,0),倾斜角为二的直线/与线段OA相交(不经过点。或点A)且交抛物线于M、N两点，求AAMN面积最大时直线/的方程，并求AAMN的最大面积.解：由题意，可设/的方程为产1+肛-5VmV0.由方程组卜="十",消去居得2+(2m-4)x+P=0尸=4、 直线/与抛物线有两个不同交点M、N, 方程的判别式J=(2m-4)2-W=16(1-n)>0,解得机VI,又一5V机V0,m的范围为(一5,0)设MXJI)Na2J2)则汨+X2=42m,xvxz=nr,.MNl=4j2(l优>.点A到直线I的距离为tZ=.：SA=2(5+m)y-m,从而SA2=4(1w)(5+m)2=2(2-2w)(5+7w)(5+w)<2(，)3=128.,SaW8JT,当且仅当22m=5+见即m=-1时取等号.故直线I的方程为y=x-I,AMN的最大面积为8VT.【例3】已知双曲线CZr2)2=2与点P(l,2)o求过P(l,2)点的直线/的斜率取值范围，使/与。分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若。(1,1),试判断以。为中点的弦是否存在.解：(1)当直线/的斜率不存在时，/的方程为41,与曲线C有一个交点.当/的斜率存在时，设直线/的方程为y2=A(x1),代入C的方程，并整理得(2-2)x2+2(2-2k)x-炉+4攵6=0(*)(i)当2一心=0,即k=±Jl时，方程(*)有一个根，/与C有一个交点(让)当2一仆#),即原±6时J=2(2-2)24(22)(lc+4k6)=16(32k)当/=0,即32仁(U=-时，方程C有一个实根，/与C有一个交点.当>o,即&v又厚±J,故当av或一VZV或JrVkV-时，方程(*)有两不等实根，/与C有两个交点.当vo,即心>二时，方程(*)无解，与C无交点.综上知：当狂±,或或&不存在时，/与C只有一个交点；当Jr<kV丁,或一&VkV6,或k<6时,/与C有两个交点；当斤>=时，/与C没有交点.(2)假设以。为中点的弦存在，设为A3,且AaIjI),8(X2,”)，则加2一乃2=2白22”2=2两式相减得：2(XX2)(X1+X2)=O,1->,2)(),+)j2)又Vx+x2=2,y+>,2=2,2(-X2)=yy即AAe=上口=2XI-x但渐近线斜率为土JT,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以。为中点的弦不存在.【例4】如图，已知某椭圆的焦点是B(4,0)、尸2(4,0),过点尸2并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,且IaBl+1BBI=I0,椭圆上不同的两点A(Xljl),C(X2,")满足条件：IF2AhIB8|、IBQ成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求"的取值范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，2=尸田+B3=10,得a=5,又c=4,所以b=ya2-C2=3.故椭圆方程为=+4=1.259(2)由点8(4,W)在椭圆上，得I尸28|=|>#-.因为椭圆右准线方程为X=L,离心率为二根据椭iJ)圆定义，有尸2川二1(一一项),1尸2。二-(二一)，i4i4IF2AhIF2BhI尸2口成等差数列,得(-x)+(xi)=2×一，由此得出：XI+m=8.1I，45设弦AC的中点为PaoJo),则4.解法一：由A(Jqji)C(MM)在椭圆上.f9x2÷2512=9×25得12292÷2522=9×2fD一得9(x2-ii)+25(y2)j22)=0,将智言d(导°)代入上式'得9,4+25泗(一7)二°(后0)即七Lyo(当上。时也成立).由点P(4,四)在弦Ae的垂直平分线上，得y(f=4k+m,所以m=yo-4k=yo-yo=->,o由点尸(4,和)在线段B夕(斤与8关于X轴对称)的内部,得一：”：,所以一?VmVj解法二：因为弦AC的中点为P(4jo),所以直线AC的方程为yyo=U-4)(A0)将代入椭圆方程m=,得259(9A+25)x2-5O（八）'o+4)x+25(+4)2-25x9F=O所以x+X2=50(即+4)=8懈得七二泗.(当Jt=O时也成立)9M+25«(以下同解法一).【例5】已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆车相切.过点P(TO)作斜率为的直线I,使得I和G交于A,B两点，和J轴交于点C,并且点P在线段AB上，又满足I辟IAIH=Z审.(I)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于I的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为：y=kx,则由渐近线与圆星相切可得：-7EL=5.一P7T所以，k=+-.2双曲线G的渐近线的方程为：y=±yx.(2)由(1)可设双曲线G的方程为：把直线i的方程y=(x+4)代入双曲线方程，整理得W,S则<*)隔回冲.QA旦C共线且P在线段AB上，即：<3KXd整理得：将(*)代入上式可解得：2=28.22所以，双曲线的方程为工-工=1.287(3)由题可设椭圆S的方程为:.下面我们来求出S中垂直于I的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为八Qfed,MN的中点为尸(%,%),则<÷<=28a1)，vy2l一+-=I28Q2两式作差得:由于2旦二-4,N一工2所以，为-绛=。，28cr所以，垂直于I的平行弦中点的轨迹为直线上一驾=O截在椭圆S内的部分.JI又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，二二一.所以，cr=56,椭圆S的方程为：+=1.2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）.【例6】设抛物线过定点A（-l,0）,且以直线X=I为准线.（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（2）若直线；与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线工=-L平分，设弦2WN的垂直平分线的方程为y=心H，试求用的取值范围.解：（1）设抛物线的顶点为G（x,y）,则其焦点为Lj）.由抛物线的定义可知：所以，d也”W2所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：x2+=l（xl）.（2）因为“是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯确定.所以，要求加的取值范围，还应该从直线I与轨迹C相交入手.显然，直线I与坐标轴不可能平行，所以，设直线I的方程为Ay=+方，代入椭圆方程得:由于I与轨迹C交于不同的两点M,N,所以，>e-又线段MN恰被直线一;平分，所以,所以，bk=把士-2代入（*）可解得:下面，只需找到川与t的关系，即可求出用的取值范围.由于y=½a为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点p-；,加L1111在Ly=x+b中，令X=-L,可解得：=三3.k2-NNN（1A3*将点尸一一,-2k代入z,可得：m=.I2）2jUJ一LZ所以，vzy三fviz<.44从以上解题过程来看，求川的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求川与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发，我们可以得到.下面的另一种解法：解法二.设弦MN的中点为p则由点M,N为椭圆上的点，可知：又点在弦MN的垂直平分线上，所以，X）=TR+m.13所以，由点尸（-；,九）在线段BB，上（BB为直线X=与椭圆的交点，如图），所以,所以,3/372W", r N内专引塔辛才身点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.从构造不等式的角度来说，“将直线i的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点尸（-；,用）在椭圆内”是等价的.【例7】设抛物线fWN>*）的焦点为尸，经过点尸的直线与抛物线交于A、B两点.又M是其准线上一点.试证：直线MA、MF.的斜率成等差数列.证明依题意直线MA、MB、M尸的斜率显然存在，并分别设为匕，力，心点A、B、M的坐标分别为A(I1,y1),B(I,J2),MC-m)由“AB过点尸（-L,0）”得IAB:x=>+y将上式代入抛物线y2=2zx中得：七弄=*又依“y12=2p及为2=2pjg”可知因此AI工Pp2if=Z-Gir苗Iy=_2wH+QAm2÷7?)PH.0mm而k3=H)P故勺抬即直线MA、MF.MB的斜率成等差数列.【例8】已知Ii=(x,0),I=(1,y)Qh归为闫(D求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)若直线I：y=kx+
