数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法(史上最全的方法和习题).docx

数列专题1、数列的通项公式与前n项的和的关系s.,n=1an=<c(数列”的前n项的和为=q+4+%).-Sz,之22、等差数列的通项公式an=ai+(n-)d=dn+ai-d(neN)3、等差数列其前n项和公式为n(a.+an)n(n-Y)jJ2z1、叫=-n-+(al-d)n.4、等比数列的通项公式=W=幺g"5N")；q5、等比数列前n项的和公式为4(1 T)i-qnavq = 或"针小nax,q = 常用数列不等式证明中的裂项形式:Illl)(=n(n+l)nn+n(n+k)11Iz11、(2)访HrhE二<<一kZ+l(k+l)kk2(k-l)kk-k/八1111(4)=;“5+1)5+2)2(+1)(/7+1)(/?+2)n11(3)ZZZ1(7?+1)!n(+l)!(6)247+T一3=L2<J<2=2M-J-l)=>J)yjn+h÷1?n+-l2?n(n+)-.数列的通项公式的求法1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例.等差数列/是递增数列，前n项和为S”，且%,%，%成等比数列，S5=aj.求数列/的通项公式.解：设数列册公差为d(d>O),生，。9成等比数列，城=卬。9，即(q+2d) 1 1 1-=n2 +n n(n + V) n + 1分别令w = 1,2,3,(-1),代入上式得(一1)个等式累加之，即(a2 -al) + (a3 -a2) + (a4 -a3) +(an -an_t)=ai(a1+8c)=>d2=ad*.*JO,/.ax=d54VS5=a；：.5q+d(ai+4d)233由©得：1=|,J=333=+(w1)×-=w2 .公式法：已知S”(即q+4+,=/()求可，用作差法：¾=j(n>2)例.已知数列%的前n项和Sn满足Sn=24+1.求数列%的通项公式。解：由。=S=2一Inal=1当九2时,有勺=Sn-=2(fl-4)+2(-1)",.an=2a“_+2×(-l)wl,a,=2an_2+2×(-1),2,a2=2a-2.a=2n,a>r,×(-1)+2n2×(-l)2+-+2×(-1),=2rt,+(-1)(-2,+(22+-+(-2)/”,V=-2n-2+(-l,.2经验证=1也满足上式，所以4=§2""+(一i)Tf(D,(n=l)3 .作商法：己知a。/=75)求见,用作商法：all=/(n)fn>9V五二铲)如数列中，=1,对所有的2都有。田2。3。=+则。3+。5=；4 .累加法：若%+,=f5)求：an=(4%)+(%-an-2)+&-%)+4(2)。解:由条件知:例.已知数列”满足=1,an=an+,求2n+n所以 “一。I =11: =一, ,2例：已知数列,n11131.*.all=÷1=h2n2n且=2,an+=a,+nt求a”.解：%+=/+"%_%t=T，lL4-2="-2,all,2-ali,3=n-3t,a2-aA=1将以上各式相加得为一%二l+2+3+1,(1+-1)(1)on(n-)an=a.+=2+122又因为当=1,q=2+小9二D=2成立，2.n(n-)*.an=2+-(wN)5.累乘法；已知也=/()求见,用累乘法：友q52).an4一an_2q例.已知数列“满足4=,an+=-an,求明。3n+1解：由条件知&L=-J,分别令=1,2,3,代入上式得(一1)an+1个等式累乘之，即。3a4an123-la,l1="l=-X-X-XX=-2-=aa、a,a_x234na.n例：已知。=3,4+=3"4,求通项。”.解：°n+l=3"%a>t-3-1-3”-2.”一3an-lan-24把以上各项式子相乘得(-l)w_3.3?.333"_1_3+2+3+"T_32q(W-I)Ml1Jan=32三÷又当n=l时，=32=3成立(n-)w11an=326.已知递推关系求明,用构造法(构造等差、等比数列)。(1)形如C/=/+/()只需构造数列轨,消去/()带来的差异.其中/()有多种不同形式/()为常数，即递推公式为ff+=p%+q(其中p,q均为常数，(虱-l)0).解法：转化为：all+i-t=p(an-t)9其中再利用换元法转化为等比数列求解。I-P例.已知数列中，4=1,。“+=2。“+3,求明.解：设递推公式/+=2an+3可以转化为。+-/=23一。BPan+l=2an-t=>t=-3.故递推公式为4s+3=2(m+3),令勿=%+3,则仇=4+3=4,且触=Xj=2.所以2是bn%+3以4=4为首项，2为公比的等比数列，则2=4x2"=2"x,所以4=2用3.f(n)为一次多项式，即递推公式为QN=pa,l+77÷5例.设数列%：=4,%=3%+2"-l,52),求明.解：ibn=atl+An+B,则。=b“-A-8,将明,。,一代入递推式，得bn-An-B=3区T-4-1)一回+2一I=3瓦一一(3A-2)n-(38-3A+1)A=3A-2A=9zz>3=38-34+118=1.取H=/+1(1)则n=3b,w又4=6,故a=6x3*=2x3代入(1)得%=2×3w-Zi-I备注：本题也可由4=3+2-1=3,+257)T(3)两式相减得an-an,i=3(/T-an_2)+2转化为bll=PbnT÷Q求之/5)为的二次式，则可设a=4+A+8”+C;（或（2）递推公式为。向=P%+/（其中p,q均为常数，（Mfq-I）0）°%=Pan+“，其中P，q，r均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，用，得：=-+-qqqq引入辅助数列历（其中2=）,得：。向="2+,再应用类型（1）的方法解决。qqq例.己知数列为中,4=|a+1=£+（；）*'求知。解：在勺+=+,+（g严两边乘以2向得：2向勺川=|（2。）+1令5=2"%,则".=a+l,应用例7解法得：=3-2（一）类型（2）的方法求解。21例.己知数列为中,ai =l,2 =256tm+2 =-an+i+-a,21解：由凡+2 = 3+ §可可转化为%+2 - s6+ = «4+】T2r1 r“"WS L =即 4+2 = （s +/）4+1 - SS“nj1!或 Jst = 21一一§ 卜=S = I这里不妨选用1 （当然也可选用 t31/ = 1见+2 -4川=-5（%+1 一4）=> + 一。“是以首项为生一 %+勺=（一；）"“，应用类型1的方法，分别令 = L2,3,式累加之，即可一q=（_；）°+ （一；），+（-）w2 =-求明。q）31£3 ,大家可以试一试），则q=l,公比为-！的等比数列,所以 3,5-l）,代入上式得5-1）个等-G产÷l3（3）递推公式为“+2=P=+ga“（其中P，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为。/2一5。用=«。+1一相”）其中5，1满足（+'=',再应用前面st=-q731又q=l,所以凡7.形如q或可_厂。/二版/,的递推数列都可以用倒数法求通项。风+b例：勺=2%'IM=I3%+1解：取倒数：-=3'a"-l+1=3+-/an-是等差数列，=÷(-1)3=1+(w-1).3=>«=!QJanax371-28、"=pd型该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得】g%+i=Ig(Pa)Ig%+1=IgP+rig%设a=Ig%，原等式变为。用=m+lg即变为基本型。2例.己知=2,qzl+=去，求其通项公式。2解：由=2,。“+=知>O且。“3,将等式两边取对数得Igan+x=21grt-lg3,即Iga向一Ig3=2(lg勺-Ig3)，9,lg-lg3为等比数列，其首项为lgqlg3=lg§,公比为22/.lga-lg3=2M",Ig-,2lg,=2rt-1.lg-+lg3o通项公式为=3(彳)2-.数列的前n项求和的求法1 .公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：l+2+3+=4(+1),r+2+=J(+1)(2+1)，2 O13+23+33+.+/=(:电2例、已知log?%=,求x+x?+J+工+的前n项和.Iog23_11解：由logax="；=>log3X=-log32=>x=7Iog232由等比数列求和公式得Sn=x+x2+x3+xn(利用常用公式)J(T)_如-111-x112”22分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的前n项和：1+1,'+4,二+7广,一!1+3一2,.aa2anx解：设S,t=(l+l)+('+4)+(-V+7)+(工+3-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得S“=(1+-+-!-)+(1+4+7+311-2)(分组)aaan当a=1时，S11=n+=(分组求和)"22当"时，J=0+生也=伫土+吐包1_12a-23 .倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).例3、求sin7。+si12°+sin23°+si11288°+si289°的值解：设S=Sin+sii?20+sin23。+si11288°+si11289°将式右边反序得S=sin289÷sin288+sin23o+sin22o+sin2(反序)又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1+得(反序相加