华中科技大学-复变函数与积分变换练习册答案.docx
1.求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。l-2z 2-z(1) 3-4/ 5i ；l-2i 2-i解:3-4/ 5i16 8 .11=25 25n16 Re z = Im z =258 l l 85 IZl =25 1 125Argz = arctan + 2k A z2.将下列复数写成三角表示式。1) l-3解：1-疯c/ 5 万.5 TF. 2(cos+ zsm)33练习一J+33(2)2J+技)3解：2=(cosy+zsiny)3=e*f=-1Rez=-1Imz=0z=1Argz=万+2kZez21(2)1+i2i解：I+，=1+Z=2(cos-+zsin)443.利用复数的三角表示计算下列各式。-2+3i(1) 3+2/一2+3,解：3+2/).冗I=cosFzsin22(2) V-2+2i4/-=22(cos+sin¾解：“2+2，44334+2k.34+2k3+8A.3+8%.=28cos+smJ=28cos乃十Sin44jl1616Z=OJ,2,34.设Z,Z2,Z3三点适合条件：Z1+Z2+z3=0>IZj=IZ2=Z3=l,Z,Z2,Z3是内接于单位圆ZI±22z=的一个正三角形的项点。证：因IZIlTZ2=Z3=1,所以Zi,Z2,Z3都在圆周IZlTZlI=L又因Z+Z2+Z3=（）则z+z2=-»z1+z2=-z3=1所以Z+Z2也在圆周IZI=I上，又Z+Z2-Zj=IZ2=1,所以以0,4,Z+N2为顶点的三角形是正三角形，所以向量Zl与Z+Zz2之间的张角是3,同理Z2与4+N2之间的张角也是3,于是Zl与Z2之间的张角是3,同理Zl2与Z3,Z2与Z3之间的张角都是3,所以Z|，Z2，Z3是一个正三角形的三个顶点。5.解方程d + l = °解：z3,2k + . . 2k -= -=> z = cos+ zsn33k = 0,1,2 . . 1 V3 . zl =Cos-+ zsm - = + I 133 22Z2 = cos + fsin = -1Z35冗.5=cos÷ sn=33a-6.试证：当同=1招1时,则-矽证:a- _ a- -a a a-aa'P .± = ¾ 同Ia-川a7.设z+z=2cos6(zw0,e是Z的辐角)，求证z"+z."=2cos"H证：z+zT=2cos。=z2-2cos8z+1=0则Z=COSe±isin当Z=COs+isin6时ZT=CoSe-isin9zn+zn=(cosn+Zsin÷cos(-n)+Zsin(-)=2cqs110故zn+zn=2cos8当Z=COSe-isie时，同理可证。*8.思考题:(1)复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。(2)是否任意复数都有辐角？答：否，Z=O是模为零，辐角无定义的复数。若:若:若:.(x-a)2 + y2 =(x-b)2 'x-hOa = b则轨迹为：V = Oa>b 则 一 2y2=2(a-b)(x-)轨迹：2a + ba<b 则 2 无意义y2 =2(a-b)x + b2 -a2_z ,、/a + b、= 2(a-b)(x -)xb(3) zz + dz-az+b = Ot其中为复数6为实常数。解：由题设可知：(z + )(N + 1) + bTW=o即:z + 2 =2 -b练习二1.指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？,冗arg(z-O=-(1)47T3z-r+ivarg(z-i)=argx+i(y-l)二:解：设2_工+”则4x>0二.«y->0x=yi则点Z的轨迹为：z-=Re(Z-A),其中。,为实数常数：解：设z=x+iy则：(x-)+H=Re(X_+»)若：同=九则Z的轨迹为一点一。,若：时>>,则Z的轨迹为圆，圆心在-。，半径为2 .用复参数方程表示曲线，连接1+i与一1一3直线段。解：z-(1+)=(-l-4Z)-(l+01/0rl则z=(1+i)(2+5i)t(0Z)3 .描出下列不等式所确定和区域与闭区域,并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。z<l,Rezgy解:由目<1,得/+y2<1Rezx7/7/->又2,得2Vo/；有界，单连域（2）Rez2<1解：令z=x+iy由Rez?<1-JV1无界,°单连域即：V>7z-1z+12解：令z=x+iy贝的O+)+-v(3)4.对于函数0=/(z)=iz,0:Imz>°,描出当Z在区域。内变化时，卬的变化范围。解：令z=x+a则w=(z)=iz=i(x+iy)=-y+ix.Imz>O,则V>0.Rew=y<0,W的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴Iim5.试证zt。RezIim证：J°Z不存在。YRezIim令Y=k贝ij：上述极限为1+4不确定，因而极限不存在。*6.思考题(1)怎样理解复变函数W=F(Z)?答：设W="+泣z=x+iy,则卬=/(Z)就是w+Zv=/(x+ry)=w(x,y)+zv(x,y)u=u(x9y)即v=v(,y)因此，一个复变函数/(Z)与两个实变函数"(x,y)和贝x,y)相对应,何意义上来说，复变函数可以看作是Z平面上的点集。到W平面上的点集G上的映射。从儿(2)设复变函数/(Z)当ZfZO时的极限存在，此极限值与Z趋于Zo所采取的方式(取的路径)有无关系？答：没有关系，Z以任意方式趋于ZO时，极限值都是相同的，反过来说，若令Z沿两条不同的曲线趋于Z。时极限值不相等，则说明/(Z)在ZO没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，X只能从左、右以任何方式趋于X。，而这里可以从四面八方任意趋于Z。练习三1 .用导数定义，求/(Z)=ZReZ的导数。解:U/(z+z)-/(z)_(z+z)Re(z+z)-ZReZz三z=Iim (Rez + Rez + zOZ1. zRez+zRez+zRez=Iimz->°AzM ) x + zy2. /nRezx1./cIim(ReZH)=Iim(Kez+zzOxOyO当ZWo时，导数不存在,当Z=O时，导数为0。2.下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？F(Z) =(1)/(z)解：1:Z1 ZyX2 +y = w(x,y) + v(x,y),2(2 + y2)2一2母(2 + y2)2Ixy (x2+ /)2 一一产 U2÷y2)2当且仅当 = 时,7(Z)满足CR条件，故当元=y时/(z)可导，但在复平面不解析。(2)f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3)解：令/(z)="(%,y)+ivC°)ux=3x2-3y2vx=-6xy则uy=6xyvy=3x2-3y2因f(z)在夏平面上处处满足C-R条件，且偏导数连续，故/(Z)可导且解析。3 .设口3+心2)，+(¥3+/4.2)为解析函数，试确定/,凡孔的值。解：由c-R条件可知：2ny=2ly所以=/乂3四二+nr?=_3,d_/y2所以3相=_/,且=3m=1n=I=-34 .设/S)在区域D内解析，试证明在。内下列条件是彼此等价的。，(Z)=常数：(2)/(Z)=O；(3)Ref(Z)=常数(2)Imf(Z)=常数：(5)/(Z)解析：(6)依Z)I=常数。证：由于/(Z)在且域。内解析，则可得C-R方程成立，即u_vu_vx3y且x1)-2)由/(Z)三C则/'(z)=c'=°在。内成立，故(2)显然成立，u.vv/(Z)=+1=2)-3)由dxdx办即ReyxZ)=常数uun=>=O3)-4)三常数dxdynIm/(Z)=常数.buCUeUA.、I=On=0=>w(x,y)效dxdy是常数由C-R条件生=0包二。.x>=>v(x,y)是常数4)-5)若bn(z)=g(Z)=+ic,(z)=-均，因/(Z)在Q内解析UdVeCCuvc八.=0,=0xyyyxxu(-c)u_(-c)gpxy,yx一阶偏导连续且满足C-R条件=/(Z)在。内解析5)_6)f(z)="+泣g(z)=f(z)="一而因g(z)解析，则由CR条件u_vu_v&犷dy,对F(Z)在。内解析,vav-ax-，I=OnU为常数=O=U为常数J为1/(Kl6)-DV(Z)I=常数=If(Z)I=常数，令Y+.=C分别对演求偏导数得=0若2十包&包办!/!/22VV+22Z<®、OO=<§¥包力Kijm-VW包axw-&=OIv2=v=0,/(z)=0=0若2+v20,u.unvv1=O=O,V则&dy,故=常数，由cR条件私分为常数=Z)=常数*5.思考题：(1)复变函数/S)在一点ZO可导与在z。解析有什么区别？答：/(Z)在Zo解析则必在ZO可导，反之不对。这是因为/(Z)在Zo解析，不但要求/(Z)在Zo可导，而且要求/(Z)在Z。的某个邻域内可导，因此，F(Z)在Zo解析比/(Z)在ZO可导的要求高得多，如/=IZl在ZO=O处可导，但在Z。二°处不解析。(2)函数/(Z)在区域D内解析与/(Z)在区域D内可导有无区别？答：无，(两者等价)。(3)用C-R条件判断/(Z)=u(x,y)+iv(x,y)解析时应注意些什么？答：(居y),y(,y)是否可微。(4)判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。答：一是定义。二是充要条件。三是可导(解析)函数的和、差、积、商与复合仍可导(解析)函数练习四1 .由下列条件
