第5章曲线与曲面1.ppt
2023-11-151第五章第五章 曲线与曲面（曲线与曲面（1 1）2023-11-152 自然界中的事物形态总是以曲线、曲面的自然界中的事物形态总是以曲线、曲面的形式出现的。要建立三维物体的模型，曲线和形式出现的。要建立三维物体的模型，曲线和曲面是必不可少的研究内容。曲线是曲面的基曲面是必不可少的研究内容。曲线是曲面的基础，当生成了一条曲线后，即可运用平移、旋础，当生成了一条曲线后，即可运用平移、旋转等变换来生成复杂曲面（转等变换来生成复杂曲面（如一条平面直线沿如一条平面直线沿某个方向的平移轨迹是一个平面；绕另一中心某个方向的平移轨迹是一个平面；绕另一中心轴直线旋转会生成一个曲面；一个半圆绕其一轴直线旋转会生成一个曲面；一个半圆绕其一中心轴旋转会生成一个球面中心轴旋转会生成一个球面），进而构造出三），进而构造出三维物体。因而曲线曲面的表示是计算机图形学维物体。因而曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。的重要研究内容之一。本章从一些规则的曲线和曲面出发，主要本章从一些规则的曲线和曲面出发，主要介绍自由曲线和自由曲面的基础知识和其常见介绍自由曲线和自由曲面的基础知识和其常见的表示形式。的表示形式。2023-11-153常用的曲线曲面的类型：常用的曲线曲面的类型：BzierBzier曲线（面）曲线（面）0P1P2P3PB B样条曲线（面）样条曲线（面）孔斯曲面孔斯曲面 这些曲线曲面都可以这些曲线曲面都可以用参数方程表示，并具用参数方程表示，并具有以下的优点：有以下的优点：曲线曲面的形状不依赖于曲线曲面的形状不依赖于 坐标系的选择坐标系的选择人机交互直观人机交互直观易于计算易于计算易于拼接易于拼接造型灵活造型灵活 2023-11-1545.1 曲线、曲面的参数表示的基础知识曲线、曲面的参数表示的基础知识n 其一是规则的曲线和曲面，如直线（平面）、圆锥曲线（面），这些曲线（面）都可以用函数方程（显示和隐式）或参数方程（一般都为一个一次或二次方程）给出；工程中经常遇到的曲线和曲面有两种：工程中经常遇到的曲线和曲面有两种：n 其二是形状比较复杂，不能用二次方程描述的曲线和曲面，称为自由曲线和曲面，如船体、水波面（见演示）、车身和机翼的曲线和曲面，如何表示这些自由的曲线和曲面成了工程设计与制造中遇到的首要问题。同时这些自由曲线和曲面构型日益艺术化也不断地成就和壮大了今天的汽车、船舶和飞机工业。2023-11-155构造曲面模拟帆船构造曲面模拟帆船用曲面模拟海水用曲面模拟海水5.1 曲线、曲面的参数表示的基础知识曲线、曲面的参数表示的基础知识链接链接链接链接2023-11-156一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数。一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数。平面曲线显式表示的一般形式是：平面曲线显式表示的一般形式是：一条直线方程：一条直线方程：一个三维空间直线的显示表示：一个三维空间直线的显示表示：在平面直线的表示中，每一个在平面直线的表示中，每一个x x值只对应一个值只对应一个y y值值用显式方程不能表示封闭或多值曲线。用显式方程不能表示封闭或多值曲线。如不能表示一如不能表示一个完整的圆弧个完整的圆弧 ()yf xym xb5.1.1 5.1.1 曲线的三种表示方法曲线的三种表示方法n显式表示显式表示()yf x(,)0(,)0fx y zg x y z(,)0(,)0fxyzgxyz(,)0(,)0fxyzgxyz(,)0(,)0fxyzgxyz2023-11-157平面曲线隐式表示的平面曲线隐式表示的般形式为：般形式为：三维空间曲线的隐式表示式为交面式（用两个曲面三维空间曲线的隐式表示式为交面式（用两个曲面相交的方式）相交的方式）:(,)0f x y(,)0(,)0f x y zg x y z5.1.1 5.1.1 曲线的三种表示方法曲线的三种表示方法n隐式表示隐式表示曲线的显示和隐式表示统称为非参数表示，非参数表示曲线的显示和隐式表示统称为非参数表示，非参数表示曲线存在下列问题：曲线存在下列问题：与坐标系相关与坐标系相关会出现斜率为无穷大的情况会出现斜率为无穷大的情况(如垂线如垂线)非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示不利于计算和编程不利于计算和编程 2023-11-158()(),(),()tx t y t z tP0,1t其中其中 ，和和 分别是参数分别是参数 的显式、单值函数：的显式、单值函数：)(tx)(ty)(tztn参数表示参数表示u形式形式将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数 的函数形式的函数形式 t5.1.1 5.1.1 曲线的三种表示方法曲线的三种表示方法)()()(tzztyytxx2023-11-159参数表示中，通常将参数区间规范化为参数表示中，通常将参数区间规范化为0,10,1；参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等；参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等；连接连接 和和 两点的直线段的参数方程可写为：两点的直线段的参数方程可写为：000(,)xyP111(,)x yP5.1.1 5.1.1 曲线的三种表示方法曲线的三种表示方法n参数表示参数表示u说明说明0,1t 010010010(),()(),xxxx tPtyyyy tPPP2023-11-15105.1.1 5.1.1 曲线的三种表示方法曲线的三种表示方法n参数表示参数表示u说明说明一条参数曲线的表示形式并不是惟一的一条参数曲线的表示形式并不是惟一的例如：在第一象限内的单位圆弧既可表例如：在第一象限内的单位圆弧既可表 示成（示成（右图右图(a)）：）：又可表示成：（令又可表示成：（令t为为 半角的正切半角的正切)（右图右图(b)）222cos(1)(1)sin2(1)xttytt(a)y01x取角度取角度为参数时，为参数时，x和和y y的关系如图的关系如图(a)(a)所示所示y(b)01x取取t为参数时，为参数时，x和和y y的关系的关系如图如图(b)(b)所示所示图中图中和和t为等距取值为等距取值 222cos(1)(1)sin2(1)xttytt20222cos(1)(1)sin2(1)xttytt222cos(1)(1)sin2(1)xttytt0t12023-11-15115.1.1 5.1.1 曲线的三种表示方法曲线的三种表示方法n参数表示参数表示u优点优点曲线的边界容易确定。曲线的边界容易确定。规格化的参数区间0,1可以很容易地指定任意一段曲线，而不必用另外的参数去定义边界；点动成线。点动成线。当参数t从0变到1时，曲线段从起点变到终点；具有几何不变性。具有几何不变性。参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，当坐标系改变时，参数方程的形式不变；易于处理斜率为无穷大的情形。易于处理斜率为无穷大的情形。在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现无穷大的情况；易于变换。易于变换。对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋转等几何变换比较容易；交互能力强。交互能力强。参数表示具有直观、明确的几何意义，并提高了自由度，容易自由地控制整个曲线、曲面的形状。2023-11-1512 5.1.2 5.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率，曲线上任一点的位置矢量可表示为：曲线上任一点的位置矢量可表示为：()(),(),()tx ty tz tP设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为 ,0,1t()(),(),()tx ty tz tP参数曲线的位置矢量参数曲线的位置矢量P(t)P(t+t)yxzPP(t)S1位置矢量位置矢量2023-11-1513设 和 是曲线上的两点，记 ()tP()ttP()()ttt PPP参数曲线的切矢参数曲线的切矢P(t)P(t)P(t+t)yxzPS当 时，导数矢量 的方向趋近于P点处的切线方向，记为 =亦称为P点的切矢量0t tP()dtdtP()tP 5.1.2 5.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率2切矢量切矢量2023-11-1514 在极限情况下，弦长 和弧长 相等，即：Ps T 称为 处切线方向的单位矢量。上式说明：如果以弧长为参数，曲线在任意点的切线为单位矢量()tP参数曲线的单位切矢参数曲线的单位切矢xP(t)P(t)P(t+t)yzPSdtdPdtds0limsdsds PPT5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率2切矢量切矢量2023-11-1515 0()()ttt dtSP11()niiinLPP 从微积分的意义讲，上式是曲线从 到 的折线长度的极限，令：(0)P()tPn()()ntLS当时 对于正则曲线 ，从点 到点 的弧长定义为(0)P()tP()tP5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率3弧长弧长2023-11-1516设以弧长s为参数，曲线上的点 和点 处的单位切矢量分别为 和 。()sP()ssP()sT()ssTP(s)T(s)P(s+s)T(s+s)5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率4曲率曲率记两单位切矢的夹角为 ，其改变量()()sssTTT 而 是弧长的改变量，所以通常用 与 比的绝对值 来度量弧 的弯曲程度。ss|s|()()|sss PPT(s+s)T(s)Ts2023-11-1517当 时,曲线在点 处的曲率 为：()sP()sK0s 0()lim/sss K当 时，称为曲线在点 的曲率半径()0s K1()()ssK()sP0lim|1 T由于 和 都是单位长度，()sT()ss T因此：5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率4曲率曲率00()lim|lim|ssdsssds TTK0limsdsds PPT22()|dsdsPK2023-11-1518对于一条空间三维曲线，任何垂直于切矢量T的矢量都 称为法矢量法矢量。T是单位切矢量且|T|=1，两边对s求导得矢量dT/ds，且 dT/ds垂直于单位T，与T垂直的矢量很多，但我们：称与矢量dT/ds同方向的单位矢量N N为单位主法矢量，单位主法矢量，有有 以下式子（以下式子（其中其中K为曲率(曲率非矢量）)：5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率5主法矢量和副法矢量主法矢量和副法矢量称称KN称为曲线的曲率矢量称为曲线的曲率矢量dddsdsTTNKNdddsdsdtds dtdtTTKN矢量矢量 垂直于垂直于T 和和N B T NB称为单位副法线矢量称为单位副法线矢量2023-11-1519过曲线上任一点有三个两两垂直的单位矢量T、N、B，即满足 、。TN BNB TBTN密切平面：密切平面：通过给定点且包含切矢量T和主法矢量N的平面5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6密切平面、法平面、化直平面和密切圆密切平面、法平面、化直平面和密切圆法平面法平面密切密切平面平面N：参数曲线的密切平面参数曲线的密切平面TB化直化直平面平面：RMQR密切密切圆圆2023-11-1520法平面：法平面：通过给定点且包含主法矢量N和副法矢量B的平面的平面化直平面：化直平面：通过给定点且包含副法矢量B和切矢量T的平面5.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率6密切平面、法平面、化直平面和密切圆密切平面、法平面、化直平面和密切圆法平面法平面密切密切平面平面N：参数曲线的密切平面参数曲线的密切平面TB化直化直平面平面：RMQR密切密切圆圆2023-11-15215.1.25.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲
