抽样调查第2章简单随机抽样.ppt
返回2.1 2.1 定义与符号定义与符号 一、定义简单随机抽样：N个单元的总体中随机 抽取n个单元组成样本。1.若抽样是放回的,则所有可能的样本有nN个，每个样本被抽中的概率为 ，这种抽样方放回简单随机抽样。nN1nNC2.若抽样是不放回的,则所有可能的样本有个，每个样本被抽中的概率为nNC1，这种抽样方不放回简单随机抽样。返回1.1.简单随机抽样是等概抽样简单随机抽样是等概抽样,即每个总体单元即每个总体单元都有相同的入样概率都有相同的入样概率;2.2.随机抽取是有严格要求的随机抽取是有严格要求的,不是随便抽取，不是随便抽取，必须按照某一随机原则进行。必须按照某一随机原则进行。注意注意返回【例 2.1】设总体有5个单元（1,2,3,4,5)，按放回简单随机抽样的方式抽2个单元，则所有可能的样本为2552个（考虑样本单元的顺序）1,11,21,31,41,52,12,22,32,42,53,13,23,33,43,54,14,24,34,44,55,15,25,35,45,5(放回简单随机抽样所有可能的样本)返回【例 2.2】设总体有5个单元（1,2,3,4,5)，按不放回简单随机抽样的方式抽2个单元，则所有可1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,5(不放回简单随机抽样所有可能的样本)能的样本为个。10nNC在实际工作中，更多地采用不放回简单随机抽样，所以在实际工作中，更多地采用不放回简单随机抽样，所以以下讨论的简单随机抽样一般都指不放回简单随机抽样以下讨论的简单随机抽样一般都指不放回简单随机抽样.返回二、符号大写字母表示总体单元的标志值：如小写字母表示样本单元的标志值：如NYYY,21nyyy,21调查的总体目标量主要有：总体总量 Y；总体均值 Y；总体某一指标的比例 P；两个总体总量的比率 R。对估计精度进行计算时，要涉及到总体方差和样本方差等。下面分别列出：返回总体方差样本方差NiiYYNS122)(11niiyyns122)(11还有一些其他符号,分别说明如下:返回总 体NNiiYYYYY211NYYYYNYNNii2111NiiYNNAP11（10或iY）XYXYXYRNiiNii11，NiiYYNS122)(1121NN样 本将左边式子中将左边式子中的大写字母改的大写字母改为小写字母为小写字母。返回总体指标值上面带符号“”的表示由样本得到的总体指标的估计。如RPYY,称为RPYY,的估计。估计量的方差用V表示，如);(YV标准差用S表示，如).()(YVYS对)(YV的样本估计不用)(YV而用)(Yv.)()()(表示的估计用YvYsYS称Nn为抽样比，记为f.返回2.2 简单估计量及其性质 无论调查对象是何种总体参数，其实所有估计无论调查对象是何种总体参数，其实所有估计量通常都是样本均值的某种线性组合，因此在抽样量通常都是样本均值的某种线性组合，因此在抽样中不管讨论何种估计的基本性质，都只围绕样本均中不管讨论何种估计的基本性质，都只围绕样本均值进行。而对样本均值这个核心估计量的研究则分值进行。而对样本均值这个核心估计量的研究则分为两个方面：为两个方面：一方面是求样本均值对所有可能样本的数学期望一方面是求样本均值对所有可能样本的数学期望 （检验估计量是否无偏）。（检验估计量是否无偏）。另一方面是求样本均值对所有可能样本的方差另一方面是求样本均值对所有可能样本的方差 （检验估计量误差的大小）。（检验估计量误差的大小）。返回 为了讨论简单估计的性质，首先我们来看两为了讨论简单估计的性质，首先我们来看两个引理：个引理：引理一 从大小为从大小为N的总体中抽取一个样本量的总体中抽取一个样本量为为n的简单随机样本，则总体中每个特定单元的的简单随机样本，则总体中每个特定单元的入样概率为：入样概率为：两个特定单元都入样的概率为：两个特定单元都入样的概率为：Nn1122NnNnCCnNnN返回NnCCnNnN/112222nNCCjY)1()1(/2222NNnnCCCnNnNnNCnNCiY引理一引理一的证明：在的证明：在N N个单元中取个单元中取n n个单元为样本，个单元为样本，共有共有 个样本。在个样本。在 个样本中，包含某个样本中，包含某个特定单元个特定单元 的样本数为：的样本数为：每个样本被每个样本被抽中的概率为：抽中的概率为：。1111nNCCiY同时包含两个特定单元同时包含两个特定单元 的样本数为的样本数为 每个样本被抽中的概率为每个样本被抽中的概率为:返回 引理二 从总体规模为从总体规模为N N的总体中抽取一个样的总体中抽取一个样本量为本量为n的简单随机样本。若对总体中的每个单的简单随机样本。若对总体中的每个单元元 ，引进随机变量，引进随机变量 如下：如下：iYia),2,10,1NiYYaiii不入样（，若入样若由二项分布可知：由二项分布可知：返回1)1()1()1()()()(),cov()1()1()0()1()()()1()1()1()1(1(0)1()1(1)()1(01)(2222NfffNNnnaEaEaaEaaffNnfNnfaEaEaVNNnnNNnnNNnnaaEfNnNnaEjijijiiiijii)1()1(10,)1()1(110,1NNnnaaPNNnnaaPNnaPNnaPjijiii所以，不难推出：所以，不难推出：返回简单估计量的性质 u YyE)(是性质1Y的无偏估计,即y 下面我们用两种与数理统计中不同的方法下面我们用两种与数理统计中不同的方法来证明这一性质。来证明这一性质。思考思考：为什么不能用数理为什么不能用数理统计中常用的方法？统计中常用的方法？返回有了这些准备，我们很容易证明YyE)(YYNnnNnYnaEYnyEYanynyNiiNiiiNiiNiiinii111111)(1)(1)(11根据前面提到的关于根据前面提到的关于 的定义，有下式的定义，有下式ia返回 第二种方法证明 u YyE)(证明：对于一个大小为N的总体，样本量为n的简单随机样本有nNC个，因此返回NiiNnNnNnNnNiiCiinNnCinNYYNYCYCYCnnCYYYnCyyynCyEnnNnN11121111112111)(1)(1)(11)(21返回其他几个估计量的无偏性可容易推出：其他几个估计量的无偏性可容易推出：1、对于总体总量YYNyNEYEyNY)()(,2、对于总体比例PpEPEpP)()(,返回y性质2对于简单随机抽样，的方差为：式中，n为样本量；f=Nn为抽样比；1-f为有限总体校正系数。V（y）=221SnfSNnnN(2.5)返回证明方法一证明方法一)1()1(1)(1111)(112)1(11)1(2)1(1),cov(2)(111)(2112211212212212211NiiNiiNiiNiiNjijiNiijNjiiNiijijNjiiiNiiNiiiniiYNNYNnfYNYNNnNfYYNYfNnnNfNnYYfNnYnaaYYaVYnYanVynVyV返回)1()()1(1)()1(1)1(1221122212fnSYYNnfYYNnfYNYNnfNiiNiiNii即21)(SnfyV返回 证明方法二:由定义212212)(1)1()()(YyEnYynEYyEyVniinii)(1)(12212YyYyEnYyEnjjiinii2121)()(YYNnYyEniinii而)()1()1()(YYYYNNnnYyYyEjjiijjii 返回 因此有)(1)(1)(2212YyYyEnYyEnyVjjiinii)()1()1(1)(12212YYYYNNnnnYYNnnjjiinii)()1()1(1)(1221YYYYNnnYYnNjjiiNii)(11)(112121YYNnYYNnNiiNii返回NiNiiiYYNnYYNnnN1122)(11)()111(121)(11YYNnNnNNii221)(111SnNnNYYNNnNnNii 21)(SnfyV即返回性质3 V（y）的无偏估计为：21snf2s式中，为样本方差。)(yv212)(11yynsnii)()(11221YynYynnii证明:将 改写成:2s返回由前面性质1证明用过的对称论证法有:由性质2有:22121)1()()(SNNnYYNnYyENiinii2221)(SnNnNSnfYyE返回)()(11)(2212YynEYyEnsEnii)1(1122SnNnNnSNNnn22)()1()1(SnNNnnNS返回下面我们从关系式21)(SnfyV可以推出其他几个估计量的方差)1(111)()(1)()()(222PNPnnfpVPVSnfNyVNyNVYV返回 总体总量的估计量方差是总体均值方差的直接总体总量的估计量方差是总体均值方差的直接推导，下面我们来推导总体比例估计量的方差。推导，下面我们来推导总体比例估计量的方差。即可。（只需证明此时)111)1(111)(2PNPNSPNPNnfPV返回 设设N N个样本单元中有个样本单元中有N1N1个具有某一特个具有某一特性性,即有即有N1N1个单元取值为个单元取值为1,1,有有N-N1N-N1个单元个单元取值为取值为0.0.)()1(112112112NNNNNNNNSNNNNNNNNNNNN11111)(11)1(11PNPN返回同理对样本方差有)1(11pnpns)1(111)(PNPNnfPV因此返回)1(11)1(111)()(1)()(22ppnfpnpnnfpvPvsnfNyNvYv同样下面我们从关系式21)(snfyv可以推出返回估计量的方差是衡量估计量精度的度量。)(yV 从式可以看出，影响估计量方差的因素有：21)(SnfyV样本量n;总体未入样比率1-f;2S 总体方差分析见教材P38,39返回 N N通常很大，当通常很大，当f0.05f0.05时，可将时，可将1-1-f f近似取为近似取为1 1，这时影响估计量方差的，这时影响估计量方差的主要因素是样本量主要因素是样本量n n和总体方差和总体方差 。的大小是我们无法改变的，因此，要的大小是我们无法改变的，因此，要提高估计量的精度就只有加大样本量。提高估计量的精度就只有加大样本量。2S2S注 意返回【例2.3】我们从某个N=100的总体中抽出一个大小为n=10的简单随机样本，要估计总体平均水平并给出置信度95%的置信区间。序号i1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 5 2 0 4 6 6 15 0 8iy解：依题意，N=100,n=10,f=1.010010样本均值为：5105011niiyny返回样本方差为：111.199172)(11212yynsnii因此，总体平均值的估计为：5yYy的方差为：y的方标准差为：s.3115.1)()(YvY的置信度95%的置信区间为：)(.2YszyY即 2.4295，7.5705.72.1111.19101.0112snf)(Yv返回niiyny11，的无偏估计是Yy。其方差为：V（22111)nsnNNy的无偏估计为)(yV21)(snyvu 放回简单随机抽样简单估计量返回 注意:不放回时的方差为放回时的约1-f倍，而1-f1,因此不放回抽样的估计精度比放回抽样的估计精度高。返回【例2.4】我们从某个N=100的总体中抽出一个大小为n=10的简单随机样本，要估计总体总量并给出在置信度95%的条件下，估计量的相对误差。序号i1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 5 2 0 4 6 6 15 0 8iY解 依题意，N=100，由例2.3可知：1111.19,52sy,因此，对总体总量的估计为：Y=1005=500。返回对V（Y）的样本估计为：17201111.19101.01100)(2Yv0其标准差为：1488.131)()(Yvys因此，在置信度95%的条件下（对应的t=1.96),Y的相对误差为：5141.05001488.13196.1)(YYst=51.41%返回【例2.5】
