非对称情形下两个企业的利润函数.docx
附录A非对称情形下两个企业的利润函数给定两家企业的个人信息保护策略RA,随着两个企业产品价格的变化,消费者的购买决策可能出现五种情形。(1) p-p2<此时企业1相对于企业2的价格和非价格优势都非常大，因此企业1占据整个市场，即4=1,4=0,企业利润函数和消费者剩余分别为72=0和CS=s-lx-pl)dydx=S-plo(2) -tpi-p2<mint,-ty购买企业1产品Pi-Pi-Hl-2x)购买企业2产品I一01图Al企业1保护消费者信息情形下的市场分割此时，无差异消费者所处的位置由图AI虚线所示，记=(p2-p+f)(2),两家企业的市场需求分别为1=，,f÷,fIdMX=I_(,+P=P)和w=+p=0)：yJoJOyJ须JpI-P2(-2)4/y4fy消费者剩余为CS=o(5-t-p)"加4Xij)(ST(I - XAPJdydK+牙(RST(L=(”0)一好(，+2。,JxJo2ty其中前两项表示购买企业1产品的消费者剩余，第三项表示购买企业2产品的消费者剩余。(3) min,-px-p2<maxz,-7/购买企业1产品/./PI-Pz-Hl-2),/J''购买企业2产品y购买企业1产品Pl-P2-1(1-2X).购买企业2产品OIO图A2市场分割(<2)此时需要进一步考虑两种情形。情形1:<2t注意到，2表示所有消费者的平均隐私成本，因此情形1意味着消费者不太重视个人隐私。此时无差异消费者所处的位置由图A2左图虚线所示，因此两家企业的市场需求分别为M的2(色+<+和d2=>4o*0JoJ.VJpI-PzT(l-2x)4.其中X=(P2-P+。/),W=(P2-Pi+,+分/)。消费者剩余为CS=J:j：(S*-P1)dydr+1(S-t(-x)-p,)ddx*0JOyJ*JPl-22-41-2月)+"：,''0xs-t(-x')-p2-y)dd+j(S-t(-x)-p2-y)ddx=(3(p1-p2)2-6(pl+p2)r-3r2-3(pl-p2+r)+y(12r)。情形2:2t此时无差异消费者所处的位置由图A2右图虚线所示，因此两家企业的市场需求分别为j1=lf,r嬉曲2二八和4=2RJoJp-p2-f(-2x)消费者剩余为CS=JSTd7)M)办公+ri""(ST(I)一P2-7)力公产-3>a+2pJ+3(p/p2)26/(4) max,-px-p2<y+t购买企业1产品Pi-p2-r(1-2x)购买企业2产品图A3市场分割此时，无差异消费者所处的位置由图A3虚线所示，此时两家企业的市场需(2-四 +f +斤求分别为J1=iffddx=JOJ八-(-2x)其中x2=(P2-P+f+y)(2z)。消费者剩余为CST:工-)(Sfed加(SYlT)-P2摩+i,(S-t(-x)-p2-)ddx*0浮-3尸(f+P1-p2)i(f-Pi+pj+31(P-2)-2(p+P?)2t(5) p,-p2+t此时企业2相对于企业1的价格优势非常大，因此企业2占据整个市场，即4=0,d2=f企业利润函数和消费者剩余分别为再=°，/=Pz+r和CS=i'(5-rx-p1-)ddx=S-p2-综合上述情形(1)(5),两家企业的利润函数分别为PPl(1-(r+pl-p2)7(4z/)P(f + > - P|+2)2/(4 次)OPdi-t<p-p1<min,-rmin-r)pi-p2<maxz,-r»max-)p1-p2<+t其中%3 =Pi (7 + 2(-p1 + p2)(4r) PI(A-Pl+ P2 )/7r<2t 2tO(z÷A-P2)2(r + P2)(4z)pl-p2<-t-tpi-p2 <min,-r)乃2 =,N(r+ p2)2(t+ pi- p2)-2 -(t-pl+ p2)2(4t)mint,-t pi- p2< max,-,maxr,-r p1一0 </ +，P2+rPId+t其中% =(2(r + P1 - P2 )-)(r+ P2 )(4r) (P1-P2)(r+P2)/<2r/ 2r可以验证，和万2均为价格（田卬2）的连续函数。-P2+z附录B引理3的证明注意到>2f和>>2f两种情形下和%的表达式不同，为了求解反应函数,我们需要分别讨论两种情形。下面将详细分析72r的情形(>>2f的情形可以类似得到)。1 .求解企业1的反应函数当72f时，企业1的利润函数为Plp (l-(f+ P-P2 )7(4 斤)P (F + 2(f-A+P2)(4z)P(f +7一网+生)2/(4 次)Pi<P2-fp2-tpi<p2+-tp2+-tpl<p2+tp2+t<pl<p2+tPP2+Y+t企业1的目标是选择价格P1最大化3(p,P2)，但是(P,P2)为分段函数，并且分界点与P?和参数G")密切相关。因此本文的分析思路是：分别讨论利润函数在每个区间关于Pl的特征(主要是单调性)，然后把它们合并起来，从而求解Pl的最优取值。(1)在区间Pi(-,p2-r)内，%(p,P2)关于Pl线性增加。在区间P2-"z+yT)内，«，1，2)=1(|一(，+1-0)2/(4次)，该函数是关于Pl的三次多项式，并且P：系数为负。它存在两个极值,极小值Pl=g(20-2-12+(-p2)2j和极大值=；(20-2+12+(-p2)2J。接下来比较两个极值与区间b卬2+力一)两个边界值之间的关系，这样可以确定(P,P?)在该区间的单调变化特征。因为0T-IWs2-，)+12次+(p2-)>0»(2-f)=g(j(02)+12次-(0»Pl_ A = O = p2 =3/-3/2 0情形(2.1)当p2<3t-32时,i>p2-r>p1-t>P,此时可(“也)在区间氏T,P2+5）内关于Pl严格递增（图形为三次多项式（最高次系数为负）两个极值之间的递增区域）；情形（2.2）当p2>3r-3/2时，p2-r÷>p*>p2-t>p*,此时1（pl,p2）在区域血,P2+5）内关于Pl先递增后递减（图形为三次多项式极大值左右两侧区域）。（3）在区间PjW0+，）内，3（Pl，P2）=Pl（>+2（f-Pi+P2）/（4f）,该函数是关于Pl的开口向下的二次函数。它存在一个极大值Pl=；伉+2（+pJ）,与两个边界值相比较，容易得到情形1）当p2<（7-2/）/2时，pl>p2+t>p2+-t,此时x（pvp2）在区间Pz+歹,P?+/）内关于Pl严格递增（图形为抛物线极大值左侧递增区域）；情形（3.2）当0-2）2p23r-3力2时,p2+r>p1>p2+-r,此时为也也）在区间0+t,P2+E）内关于Pl先递增后递减（图形为抛物线极大值左右两侧区域）。情形（3.3）当p2>3r-32时，p2+/>p2+/-/>pl,此时MPT,p2）在区间P2+7-，P2+E）内关于Pl单调递减（图形为抛物线极大值右侧递减区域）。在区间PlP2+人2+7+。内，乃|（Pl，2）=PlU+A-PI+2/（4次），该函数是关于Pl的三次多项式，并且P：系数为正。它存在两个极值，极大值p；=仇+f+）3和极小值p；=r+/+p2o可以发现极小值正好是右边界，因此只需要比较极大值和左边界之间的大小，情形（4.1）当p2<-t-时，p*>p2+t>p2+t,此时（pvp2）在区间P2+r,0+7+r）内关于Pl严格递增（图形为三次多项式（最高次系数为正）极大值左侧递增区域）；情形（4.2）当T-7P2（7-2r）/2时，p2+t>p*>p2+t,此时/（P,P2）在区域P2+r,P2+7+r）内关于Pl先递增后递减（图形为三次多项式极大值左右两侧区域)。情形(4.3)当p2>(7-2r)2时,p2+r+t>p2+t>Pt,此时再(Pi，p2)在区域P?+7-,乌+。内关于Pj单调递减(图形为三次多项式(最高次系数为正)两个极值之间递减区域)。(5)在区间Ple(P2+7+r,+oo)内，利润=(四也)=0与价格PI无关。综合上面的五种情形可以得到(1)当P2<T->时，/(P|，P2)在区间Ple(-,P2+/+内严格单调递增，在区间Ple(p2+÷÷o°)内再(Pl，P2)=°，因此Rl(P2)=5+/+7,+00);当T-7P2(7-2t)2时，他也)在区间pe(F,而内严格单调递增，在区间P1(X,+)内先严格递减，之后1(PpP2)=O,因此R(P1)=W=M3冲；(3)当0-2z)2p233>2时，”回也)在区间四(-8,pJ内严格单调递增，在区间P1(pp+00)内先严格递减，之后可(”2)=0，因此N3)=P=；伉+2(/+2);(4)当p2>3/-3/2时，l(ppp2)在区间Ple(o,p"内严格单调递增，在区间Pt(P:,+<»)内先严格递减,之后(P,P2)=O,因此Rl(PD=P：=；,P?-2f+J12-+(f-0)2);上述四种情形用分段函数表示为"他)=2+z+»+) (P2+")/?(20+/+ 2/)/4-2p2-2t + ypl-2tp2+t2 + l2tp2<-r-t -t< P2 < 2-1 2-t< p2 < 3r-3/2p23t-322 .求解企业2的反应函数利用类似求解企业1反应函数的方法可以得到p1+00)P1<-r-t(pl-2r+)3-r-t<p1<32-r-t鸟(，1)=<(2p-2r+2-7)/432-r-tpl<3t-r-2。-r-2/-27+(p,+r-r-)+12rJPl2>t-r-2同样可以分析2f情形下两家企业的反应函数，分别为Rl(P2)=lp2+t+f+) (p2+r + r)3 (2p2÷ 2/)/4§(22 -2/ + Jp； -2卬2 +/+ P<-Y-t-t p2 <2t-C -一C 和2r-/ p2 <-2tPgy - 21Lp1+/,+OO)(Pi -2-+/)/3%(Pl)= (2p-2r)4PIVTT-r-t Pl <2t-r 2t-r py <2/-2r-r 0pl 2-2t-r将72f和2f两种情形下的反应函数合并，即可得到引理3。附录C推论2的详细分析过程下面分析外生参数
