第三章函数极限.docx
第三章函数极限教学目标：1 .掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。2 .掌握极限存在性的判定及应用。3 .熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限Iim皿，Iim(I+工-及其X0XX-XOX应用。4 .掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。重点：函数极限的概念、性质及计算。难点：Heine定理与CaUChy准则的应用。教学内容：§3.1函数极限概念一、X趋于8时函数的极限定义1设f为定义在a,+8)上的函数，A为定数。若对D£>0,m正数M(2a),使得当x>M时有f(x)-A<,则称函数f当X趋于+8时以A为极限，记作Iimf(x)=A或f(x)->A(f+8).X4>注1.Iimf(X)=A可看作数列极限Iimf(n)=a的直接推广。它们不同之处在于，X+<30n这里所考虑的是所有大于M的实数(连续)，而不仅仅是正整数(跳跃性的)。注2.Iimf(X)=A的几何意义。X+oO注3.Iimf(X)A=%o>0,对VM>a,3x,>M使得3)-A2即.+例L证明：Iim=0；x÷3XC,1.3x+13(2) Iim=;x+3c2x-12(3) IimarctanX=X-KC2定义1'设f是定义在U(-8)(即(-8,b)上的函数，A为定数.若对D£>0,3正数M(-MWb),使得当XV-M时有f(x)-A<,则称f当X趋于-8时以A为极限，记作Iimf(x)=A或f(x)-*A(-*-8).X-QO(ii)设f是定义在U(8)(即x2a)上的函数,A为定数.若对W£>0,m正数M(2a),使得当冈>M时有f(x)-A<,则称f当X趋于8时以A为极限，记作Iimf(x)=A或f(x)-*A(->oo).x0o思考题：用“£-M”语言叙述Iimf(x)A及Iimf(X)A.XT-COX它们的几何意义？例2.证明：Iiml-2x2(2) Iimax=O(a>l);"00(3) Iimarctanx=-.X-CO2例3.证明：(1)Iim=0;X-XCX(4) IimJI+4=1.ooIlX2命题设f为定义在U(8)上的函数，则Iimf(x)=A<=>Iimf(x)=Iimf(x)=A.X0X+<30XT-OO注：IimarCtanX不存在.Xo二、X趋于Xo时函数的极限定义2(函数极限的定义)设函数f在点Xo的某空心邻域Uo(X0；)内有定义,A为定数.若对D£>0,3>0(<,),使得当OVIX-XOIV5时有f(x)-A<,则称函数f当X趋于Xo时以A为极限，记作Iimf(x)=A或f(x)fA(fXo).XTXo例4.证明：(I)Iim(2x+4)=6：xl2_4(5) Iim=4；2x-2(6) limsgnx=1.例5.证明：(1)Iimsinx=sinxo；x->xo(2)Iimcosx=csoxo.XTXO例7.证明：(1)IimVx=Jx7:XTXo(2)Iim71-x2=7 Iim X；-xo(lol1).XTXO由£-6定义立得Iimc=c,IimX=Xo(C为常数，Xo为定实数)xx0xx0注1.定义2中的5,相当于数列极限£-N定义中的N,它依赖于£,但也不是由E所唯一确定.一般，£愈小，5相应也小一些.注2.Iimf(x)=A研究的只是XfXo这一过程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)XTXO在点XO是否有定义或取什么值无关.因此，只需在XO的空心邻域中考虑.注3.0<x-x0<ou0(x0;)；f(x)-A<£<=>f(x)U(A;).于是，Iimf(x)=A<>>0,3>0,当WU°(x°3)时有f(x)U(A;).XTXQOD£>0,3>0,使得f(U°(xo;)U(A;£).注4.£6定义的几何意义.定义3设函数f在U；(xo；6)=(o,o+D(或U?(xo；5')=(xo-5；xo)内有定义，A为定数.若对Ve>0,3>0(<,),使得当XOVXVXO+6(或Xo-VVo)时有f(x)-A<£,则称数A为函数f当X趋于Xx或X6)时的右(左)极限，记作Iimf(x)=A(Iimf(x)=A)X-X°X-Xq或f(x)fA()(f(x)-A(XfXJ)右极限与左极限统称为单侧极限。常把f在点Xo的右、左极限记作f(xo÷O)>f(xo-O),即f(xo+O)=Iimf(x),f(xo-O)=Iimf(x).XXqXXq例8.求下列函数在指定点的单侧极限：(l)f(x)=卜2,x0,在=o点；x,x<0.(2)f(x)=sgnx在X=O点；f(x)=Jl-2在X=±1点4-x2例9.证明Iim=0.Xf2-2-定理3.1Hmf(X)=A=Iimf(x)=Iimf(x0)=A.XX0XXoXXo注1.Iimf(X)WAOIimf(X)A或Iimf(X)WA.xxXTXXXTXG注2.Iimf(x)不三OIimf(x)与Iimf(x)至少有一个不3；xxoXTqXXo或Iimf(x)与Iimf(x)均三,但不相等.XTXJxxeg：IimSgnX不工x0§3.2函数极限的性质下面以Iimf(X)为代表叙述函数极限的性质，这些性质对其余5种类型的函数极限XTXO也成立.定理3.2(唯一性)若Iimf(x)存在，则此极限是唯一的.XTXQ定理3.3(局部有界性)若Iimf(x)存在，则f在Xo的某空心邻域U°(xo)内有界XTXo定理3.4(局部保号性)若Iimf(x)=A>O(或VO),则对r(OVr<A)(或OVrVA),XTXO3U0(xo),使得对一切XU°(xo)有f(x)>r>O(或f(x)V-rVO)注.在应用局部保号性时，常取r=3.2定理3.5(保不等式性)设Iimf(x)与Iimg(x)都存在，且在某邻域U0(x0;鼠)内有XTXOxx0f(x)g(x),则Iimf(x)Iimg(x).XTXOXTXO注.即使将条件中不等号改为严格不等号，但结论中不等号不能改为严格不等号！定理3.6.(迫敛性)设Iimf(x)=Iimg(x)=A,且在某U0(x0;6，)内有xx0xx0f(x)h(x)g(x),则Iimh(x)=A.XTXO例L求下列极限：1Csin+2X1(2) Iim(sinJX+1-sinVx)；X-M<O(3) Iimx.oX定理3.7(四则运算法则)设Iimf(X)与Iimg(X)都存在，则函数f±g,fg,若XX0XTXogIimg(x)0)当XfXO时极限也存在，且XTXO1) Iimf(x)±g(x)=Iimf(x)±Iimg(x)；XTXOxx0xx02) Iimf(x)g(x)=Iimf(x)Iimg(x)；xx0XfXoXTXO“X)"mf(x)3) Hm3=一一.XTXog(x)Iimg(x)XTXQ例2.求下列极限：(1)X+2(2) limx=a(aO,nN+);xa(3) Iim(xtanX-1).X4例3.求(1)Iimx；=6x+8:x4xz-5x+4(x+h)3-X3(2) Iim:h0h1 3(3) Iim(-f).XT-IX+1Xj+1例4.证明IimaX=I(a>l).x0§3.3函数极限存在的条件定理3.8(归结原则Heine定理)设f在UO(X0；5，)内有定义。则Iimf(X)存在=XTXO对任何点列xnU0(x0i1)且XnfXO(n-8),极限imf()都存在且相等.n注L归结原则可简述为：Iimf(x)=A=对任何XnfXO(n-8)有Hmf(xn)=A.XTXQn->x>注2.证明极限不存在的两种方法：(I)3xn：XnfXoOlf8),使Iimf(Xn)不存在：X呢刷x：)：X；fo(n-8),x；fo(L8).但Iimf(xQlimf(x：).注3.归结原则的意义.例L证明IimSinL及IimLSinL不存在.x0X0XX对于四种类型的单侧极限，归结原则可表为更强的形式，以fi为例.定理3.9设f在U：(xo)有定义.则Iimf(x)=Ao对任何以Xo为极限的递减数列XTXixnu2(xo),有Iimf(Xn)=A.n相应于数列极限的单调有界定理，四类单侧极限也有相应的定理.仍以X-Xi为例.定理3.10设f为定义在u：(xo)上的单调有界函数，则右极限Hmf(X)存在.××o定理3.11(Cauchy准则)设f在U"x°)内有定义.则Iimf(X)存在OD£>0,XTXO3>0(<,),使得对WX'、x"U0(xo;)Wf(x,M(Xn)I<.注.Iimf(x)不存在=>0,对D>O,3xx"U0(x0;6),使得f(x，)f(")XTXo2£o§3.4两个重要的极限,.sinx.一、Iim=1oX例1.求Iim2空；XTn-Xn1.sinsinx(2)Iim;oX1-cosx(3)Iim；.X0V lim(l + l-V)n.n* n§3.5无穷小量与无穷大量一、大穷小量×X例2.求lim(l+kx)×(kO);x0(2)lim(l-)x；XWX例3.求(1)IimTnsin；noo定义1设f在某u°(xo)内有定义.若Iimf(x)=0XTXo则称f为当XfXO时的无穷小量.若g在某U°(xo)内有界，则称g为当XfXo时的有界量.特别，任何无穷小量必是有界量.注L类似可定义当fx；,X-*Xo»X+8,X-8,X8时的无穷小量与有界量.注2.无穷小量的性质：两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.(ii)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.注3.Iimf(x)=Aof(x)-A是当XfXO时的无穷小量.XTXO二、无穷小量阶的比较1 .高阶无穷小量2 .同阶无穷小量3 .等价无穷小量注意：并不是任何两个无穷小量都可进行这种阶的比较！定理3.12设f、g、h在UO(Xo)内有定义，且有f(x)-g(x)(XfXo)(1)若Iimf(x)h(x)=A,则Iimg(x)h(x)=A；xx0xx0c若Uh(x)d1i1.h(x)(2)*Iim=B,则Iim=B.XTXof(x)XTXOg(x)例1.确定k值，使Jl+3-Jl-3与Xk当Xfo时是同阶无穷小量.例2.利用等价无穷小量代换求下列极限：小1.arctanX(1) hm;osin4x,
