中科大光学讲义01光的波动模型.docx
物理学是一门实验科学，这就是说，物理学的理论来源于实验，物理学的理 论也必须要经过实验的检验。对于光的本质，人们通过观察，最初曾得到了不同 的结论。在早期，实验无法对这些结论进行检验，因而它们都是假说。这些优势 是相互对立的假说，不管理论上如何完美，都不足以使反对的一方完全信服。正 如我们所熟知的，NeWtOn和HUygenS分别提出了光的微粒说和波动说，这两种假 说的争论持续了一百多年。即使NeWlOn建立力学的崇高威望和他的众多的追随 者也没有使相信Huygens的人放弃他们的信念。1801年，T. YoUng在光通过双孔的实验中，首次观察到了与水波的干涉现 象相似的光的干涉现象，即光经过双孔后，由于干涉，光能量在空间重新分布， 显示为明暗交错的条纹，这些条纹被称作干涉条纹。这一实验称为杨氏干涉。杨 氏干涉证明了光的波动性。后来人们又观察到了光的衍射及偏振现象，由此建立了波动光学。1865年，MaXWell总结出了关于电磁场规律的方程组，提出了电磁波理论。由这一理论，可以得出电磁波的传播速度为=1/4，£0。当时，RudolphKohIraUSCh以及WilheIm Weber等人通过测量磁导率和介电常数，计算所得出的 电磁波的速度竟然与已经测量到的光的速度相一致。这就使得Maxwell推测光就 是电磁波。1887年这一推测被HeinriCh Hertz的实验所证实。而此时Maxwell已 去世8年。麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 183Pl879) 赫兹 (HertZ,HR 1857- 1894)1.1 光的电磁波理论光是电磁波，这是我们所熟知的结论，或者说，光是电磁辐射频谱的一段， 如图Ll所示。我们所说的光，通常是指可见光，即波长约在400760nm的一段 电磁辐射。在光学中，研究的范围通常还包括波长较长的红外光和波长较短的紫 外光。(nni)v(Hz)E(MeV)o7IO5IOY二丫射线-IO2-IO21IO6IOSIoT- t-IOx -IO4IO-2-1-IO1910,IA IOT- -4- X射线-IOu IO2_ IO17 10-J_紫外光一 IO 0-1图1.1电磁辐射谱既然光是电磁波，光的所有物理性质和物理行为都应当遵循电磁理论。1.1.1 Maxwell 方程组电磁场的基本特性可以用电场强度矢量E和磁感应强度矢量3来表示。为了 表示电磁场在介质中的特性，又引入了另外一组物理量：电流密度矢量J,电位 移矢量。和磁场强度矢量，电磁场的规律用MaXWeIl方程组和反映介质电磁 性质的物质方程组描述。VD = PcDV× = + 加电磁场的能流密度，即Poynting矢量为S = E×H (1.1.3)1.1.2 无源各向同性介质中的MaXWeH方程组电磁场的性质由空间中电荷、电流的分布、介质的介电常数、磁导率、电导 率以及边界条件所决定。原则上，只要上述各个参数是一定的，就可以通过求解 Maxwell方程组得到电磁场的分布，即得到E和3的数学表达式。例如，在自由空间或均匀介质(其中电荷P=O ,电流J = O)中，上述MaXWeH 方程组可以化为(D = OVXH= 一设介质是稳定和各向同性的，即物质方程中的磁化率和介电常数等都是恒定 值。取第二式的旋度，并利用物质方程的第二式、第一式以及MaXWeH方程组的 第四式，得到VX(VXE) = YVX5 = 一=7乂" = 一"安=一«达?a d(7*而根据矢量分析公式Vx (VxE) = V(V-E)-V2E由于是各向同性的无源场，VE = V(- D ) = - 1 V D = O则有-72E = -r,ir令 PMNo = 乂，即 U = 1 (1.1.5) 'J凡 M¥Fq可以得到齐次方程21。2£VE- = 0 (1.1.6)V2 t2 同样可以得到，1 0 2jVB- =0 (1.1.7)V2 t2在真空中，r= 1, r= 1,记GA = !，即c = -j-! (1.1.8)有2 1 %VE- =0 (1.1.9) c2 t221 ?BV-=0 (1. 1.10)上述方虐是资型的波动方程，在特定的边界条件下，可以严格求解。 1.1.3特定边界条件下波动方程的通解1 .平面场在直角坐标系中，设在与解垂直的平面上，电场分量和磁场分量分别有相同的值，即E和3的值与x、y无关，则上述方程(1.1. 9)可以写作如下形式：图2平面电磁场-± = 0(1.1.11)z V t或者对于其中的任一分量，用标量方程表示为2E /I 2EV t1L = O , = x,y,z (1. 1.12)引入参量P = z W, q = z + Vt由于她+立为"+且z dp z q z dp q:、=今嫣+今)*针针针铲=A +看靖+3p p q z q dp q z Op q p q=+ 2+p1 pq q2 i) . q,、 = 1 + = v(-) t dp t q t dp q2 _d_d_ &_ _a a _ a a_ _a _a_A次厂 ' pqp q, t 十 %q SP q)dl 一 ' 5 q"p qv(7-2+ 2)pq q代入方程(LLI2),得到Ne:O (1.1. 13)其通解为Ej(z,f)=f(p) + g(q) =F(Z - vt) + g(z + vt) (1. 1. 14)磁场分量同样有B®, t) = Cf(z vt) + g(z + vt) (1.1. 15)或者写成矢量式，即E (z, t) = F (z vf) + G(z + vt) (1.1.16)B(z,。= CF (z - vt) + G(z, + vf) (1.1.17)设该平面的一般情况下，波场中E和3分别相等的平面可以是任意取向的, 法线为s = sxex + Syey + SZel (1. 1.18)图3平面电磁场则一般的边界条件可以表示为Es = Const. (1.1. 19)和 3 s = Const. (1. 1. 20)在这种情况下，可以将坐标系XyZ旋转得到新的坐标系,并使？轴沿矢量S的方向。此时由于边界条件的要求，E和8的值与、f无关，即2E _d2E2 = d2 = °'仍有/£*)_工£(?八=0 (1.1.21)1 V2 l2形式上与式(LI. 11)完全相同，所以同样得到其通解为E(j) = F(-vt) + G(+vt) (1.1.22)B( t) = F(-vt) + G(+ vt) (1.1. 23)2 .球面场如果电场强度和磁场强度的分布是球面对称的，即它们的数值只与/*有关。在球坐标系中，E (r) = Er(r)er + Er)ee+ E(r)e,可以用标量式表示其分量图4球面电磁场 在球坐标系中寸=5÷ 下(M)+匚/ 'r cr /- snZ?3 “ 厂、”了 Js( 24)此时E与6, 无美,微分方程(1.1. 9)为i (产生)-y(=Oftr dr v21J1 O ,WE、 n E 1 2E H 正 E l 52E由于一一(厂一)=2 + r 2 ,而2(rE) = 2+ r2r dr dr dr dr ffr dr dr所以有"EJJ7 坐 E)=O(L dr v t与式(1.1. 11)有相同的形式，其通解为E(r, t) = -F( vr) + G( + vt) (1. 1.26)FB(r, r)=2F(< - vt) + G(<+ Vt) (1.1.27)t上面的推导过程显示，在特定的边界条件下，例如平面场和球面场，MaXWen 方程组可以用标量方程代替，其通解可以用含有宗量P = z-vt,g=z + W的函 数表示。1 14定态波动方程的解：平面波和球面波由前面的推导，可以知道，在满足一定的边界条件时，可以通过对标量方程 的处理得到原来的矢量方程的解。为了进一步求解方程组，还要采取其它的方法。 常用的就是分离变量法，在这里，就是将空间变量与时间变量分离。介质的磁导率和介电常数如果保持为常数，则可以应用分离变量法。首先对 齐次方程(1.1.9)的标量形式求解。将方程72E(r,t)-L-'r V2E(r) = 1 J，(，) (1. 1.29)Eiri v() d令方程的两端都等于常数/,可以得到-v2=o(1.1.30)和 SJ2E(T) - lE(r) = 0 (1. 131)对于(1. 1.30),通解为-fn = 0 (1.1.28)V2 的解设为E(r ") = E(r)f(t),则方程化为原则上，/可以取任意的常数值，即可以是正数、负数或者复数。这里仅讨 论当/>0的情形，可以令U l = ,即/ = ()2,记a=2,则有可以将液。中的常数并入E(r)中，而将其记作fS = e±3 (1. 1.32)称为电磁波的圆频率或角频率。 而空间部分的方程变为V2E(r)-2E(r) = 0 (1.1.33)这就是HeImholtZ方程的形式。下面将分别求出平面场和球面场中Helmholtz 方程的解。1.平面波在平面场中，利用1.1.3中的结论，可知一般情形下，当电场强度在法线为S =+ syey + szez的平面上有相等的值时，方程的标量形式可以写作dE(") _ 1 d2E(") = U1 V2 drHelmholtz方程为j',j2l2-2E(<)=0 (1. 134)是常微分波动方程，则解为E = E() = E0ek+ (1.1.35)是XrZ坐标系中沿S = S,纥+ &4 +邑6方向任一点的坐标值，也是过该点且与轴垂直的平面上任一点r (4,0在？轴上的投影。而系中的任一点r(f,)，在XyZ坐标系中为r(x, y, z) = xex + yey + Ze二,在S上的投影为s r(x,y, z) = (sxex + syev + s:e:) (xex + yey + ze:) = xsx + ysy + Zg即 = xsx + ysy + zs.如果引入矢量Jt = AS (1. 1.36)则ZC =ks r = k ' r空间部分的解，即(1. 1.35)式可以写成在XYZ坐标系下的表达式，为£(r) = E0ekr+nj (1. 1.37)则平面场中MaXWell方程的解可以写成E(r,f) = Eo*"f恢 (1.1.38)而磁场强度可以用同样的方法求出，为B(r J) = B0eiikri,+'y (1.1.39)说明波是沿着矢量无的方向(
