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第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一考点一 相似三角形的定义相似三角形的定义定义：如果两个三角形的各角对应定义：如果两个三角形的各角对应 ，各对应边，各对应边 ，那，那么这两个三角形相似么这两个三角形相似考点二考点二 相似三角形的性质相似三角形的性质1 1相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边，对应边 . .2 2相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于等于_._.3.3.相似三角形的周长之比等于相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于，面积之比等于 . .相等相等的比相等的比相等相等相等的比相等的比相等相似比相似比相似比的平方相似比的平方相似比相似比考点三考点三 相似三角形的判定相似三角形的判定1 1两组对应边两组对应边 ，且夹角，且夹角 的两个三角形相似的两个三角形相似2 2两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似3 3三组对应边三组对应边 的两个三角形相似的两个三角形相似温馨提示：温馨提示：直角三角形相似的条件：（直角三角形相似的条件：（1 1）两直角边对应成比例的两个直角三角）两直角边对应成比例的两个直角三角形相似形相似. .（2 2）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似. .（3 3）有斜边和一）有斜边和一直角边的比对应相等的两个直角三角形相似直角边的比对应相等的两个直角三角形相似. .的比相等的比相等相等相等的比相等的比相等考点知识精讲上一页上一页下一页下一页首首 页页第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三 (1)(2011 (1)(2011深圳深圳) )如图所示，小正方形的边长均为如图所示，小正方形的边长均为1 1，则下列图中的三角形则下列图中的三角形( (阴影部分阴影部分) )与与ABCABC相似的是相似的是( () )(2)(2011(2)(2011铜仁铜仁) )已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中，中，AEDAEDBB，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是( () )(3)(2011(3)(2011重庆重庆) )如图，在如图，在ABCABC中，中，DEBCDEBC，DEDE分别交边分别交边ABAB、ACAC于于D D、E E两点，若两点，若ADABADAB1313，则，则ADEADE与与ABCABC的面积的面积比为比为_【点拨点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定本组题重点考查相似三角形的性质和判定目目 录录-46OXYAB 例例 在平面直角坐标系中，矩形在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的顶点的顶点O O在在坐标原点，边坐标原点，边OAOA在在X X轴上，轴上，OCOC在在Y Y轴上，如果矩形轴上，如果矩形ODEFODEF与矩形与矩形OABCOABC关于点关于点O O位似，且矩形位似，且矩形ODEFODEF的面积的面积等于矩形等于矩形OABCOABC面积的面积的 ，那么点，那么点E E的坐标是多少？的坐标是多少？41目目 录录AB E D H C F K G例例2如图如图,矩形矩形EFGH的顶点的顶点F,G分别分别在三角形在三角形ABC的两边上的两边上,EH在在BC边边上上.AD是三角形的高是三角形的高,已知已知BC=120,AD=80,设设EF=X,矩形的面矩形的面积为积为S,求求S关于关于X的关系式的关系式,并求当并求当X取何值时取何值时,S最大最大.目目 录录用相似或勾股定理求线段长度：用相似或勾股定理求线段长度：例例1.如图，已知如图，已知E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边的延边的延长线上的一点，且长线上的一点，且CE=DC，连接，连接AE分别交分别交BC、BD于于F、G。（1）求证：）求证：AFB EFC (2)若若BD=12cm，求，求DG的长。的长。B AGFE C D目目 录录如图：如图：P是是 O的半径的半径OA上的一点，上的一点，D在在 O上，且上，且 PD=PO，过点，过点D作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点C，延长延长DP交交 O于于K，连接，连接KO，OD.（1）证明：）证明：PC=PD（2）若该圆半径为）若该圆半径为5，CDKO， 请求出请求出OC的长。的长。DC A P O K目目 录录 在正方形在正方形ABCD中，过点中，过点A引射线引射线AH，交边，交边CD于点于点H(点点H与点与点D不重不重合合)，通过翻折，使点，通过翻折，使点B落在射线落在射线AH上的点上的点G处，折痕处，折痕AE交交BC于于E，延长，延长EG交交CD于于F感知感知：如图：如图1，当点，当点H与点与点C重合时，可得重合时，可得FG=FD。探究探究：如图：如图2，当点，当点H为边为边CD上任意一点是时，猜想上任意一点是时，猜想FG与与FD的数量关的数量关 系，并说明理由。系，并说明理由。应用应用：在图：在图2中，当中，当AB=5,BE=3时，利用探究的结论，求时，利用探究的结论，求FG的长。的长。A D A DB E C B E CF F GG(H)H目目 录录例例 在平面直角坐标系中，直角三角形在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点的顶点A,B分别分别落在坐标轴上，落在坐标轴上，O为原点，点为原点，点A的坐标为的坐标为(6,0),点点B的坐标的坐标(0,8)，动点，动点M从点从点O出发。沿出发。沿OA向终点向终点A以每秒以每秒1个单位的速个单位的速度运动，同时动点度运动，同时动点N从从A出发，沿出发，沿AB向终点向终点B以每秒以每秒 个单个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点停止运动，设动点M,N运动的时间为运动的时间为t秒（秒（t0），当），当t为何值为何值时，时，MNA是一个等腰三角形？是一个等腰三角形？35O M A XYBN目目 录录例例3. .在平面直角坐标系中矩形在平面直角坐标系中矩形OABCOABC的边的边OA=6cm,OC=10cm,OA=6cm,OC=10cm,正比例函数正比例函数y=3/4xy=3/4x交交ABAB于于点点D,D,动点动点P P以以2 2cm/scm/s的速度沿的速度沿O OA AD DO O动动动动, ,动点动点Q Q以以1 1cm/Scm/S的速度沿的速度沿O OC CB B运动运动, ,两两个动点同时从个动点同时从O O点出发点出发, ,运动时间为运动时间为t,t,两个两个动点当一个停止时动点当一个停止时, ,另一个也随之停止另一个也随之停止, ,在在运动过程中运动过程中, ,记三角形记三角形OPQOPQ的面积为的面积为s.s.(1)(1)直接写出直接写出D D点的坐标和点的坐标和ODOD的长的长(2)(2)求求s s关于关于t t的函数关系式的函数关系式(3)(3)当三角形当三角形OPQOPQ的面积是梯形的面积是梯形ODBCODBC面积的面积的一半时一半时, ,运动时间运动时间t t是多少秒是多少秒? ?A D BO C XY目目 录录例例4.已知抛物线经过点已知抛物线经过点A(0,4),B(1,4),C(3,2),与与X轴正半轴交于点轴正半轴交于点D.(1)求此抛物线的解析式及点求此抛物线的解析式及点D的坐标的坐标2)在在X轴上求一点轴上求一点E使得三角形使得三角形BCE是以是以BC为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形;(3)在在(2)的条件下的条件下,过线段过线段ED上动点上动点P作直作直线线PFBC,与与BE,CE分别交于点分别交于点F,G,将三角将三角形形EFG沿沿FG翻折得到三角形翻折得到三角形EFG,设点设点P(X,0),三角形三角形EFG与四边形与四边形FGCB重合部重合部分的面积为分的面积为S,求求S与与X的函数关系式的函数关系式,及自变及自变量量X的取值范围的取值范围.4 A BCO X (2011 (2011南京南京) )如图如图，P P为为ABCABC内一点，连接内一点，连接PAPA、PBPB、PCPC，在，在PABPAB、PBCPBC和和PACPAC中，如果存在一个三角形与中，如果存在一个三角形与ABCABC相似，那么就称相似，那么就称P P为为ABCABC的自相似点的自相似点(1)(1)如图如图，已知，已知RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ABCABCAA，CDCD是是ABAB上的中上的中线，过点线，过点B B作作BECDBECD，垂足为，垂足为E.E.试说明试说明E E是是ABCABC的自相似点的自相似点(2)(2)在在ABCABC中，中，AABBC.C.如图如图, ,利用尺规作出利用尺规作出ABCABC的相似点的相似点P P( (写出作法并保留作图痕迹写出作法并保留作图痕迹).).若若ABCABC的内心的内心P P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数【点拨点拨】正确理解并确定自相似点，写出相似的两个三角形是解答本正确理解并确定自相似点，写出相似的两个三角形是解答本题的关键题的关键【解答】【解答】(1)(1)在在 RtABCRtABC 中，中，ACBACB9090，CDCD 是是 ABAB 上的中线，上的中线，CDCD1 12 2ABAB，CDCDBD.BCEBD.BCEABC.BECDABC.BECD，BECBEC90.BEC90.BECACB.BCEABC.EACB.BCEABC.E 是是ABCABC 的自相似点的自相似点 目目 录录第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三6 6如图，如图，ABCABC内接于内接于OO，ADAD是是ABCABC的边的边BCBC上的高，上的高，AEAE是是OO的直径，连接的直径，连接BEBE，ABEABE与与ADCADC相似吗？请证明你相似吗？请证明你的结论的结论答案：答案：ABEABE与与ADCADC相似相似理由如下：在理由如下：在ABEABE与与ADCADC中中AEAE是是OO的直径，的直径，ABEABE9090，ADAD是是ABCABC的边的边BCBC上的高，上的高，ADCADC9090，ABEABEADC.ADC.又又同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，BEABEADCA.DCA.ABEABEADC.ADC.1 1如图，在如图，在ABCABC中，点中，点D D、E E分别在分别在ABAB、ACAC边上，边上，DEDEBCBC，若，若ADABADAB3434，AEAE6 6，则，则ACAC等于等于( () )A A3 3B B4 4C C6 D6 D8 8答案：答案：D D2 2如图所示，如图所示，RtRtABC RtABC RtDEFDEF，则，则cosEcosE的值等于的值等于( () )答案：答案：A A举一反三上一页上一页下一页下一页首首 页页第24讲相似三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三相似三角形相似三角形训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分一、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共4848分分) )1 1(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，小正方形的边长均为如图，小正方形的边长均为1 1，则下列图中的，则下列图中的三角形三角形( (阴影部分阴影部分) )与与ABCABC相似的是相似的是( () )【解析解析】观察观察ACBACB得得ACBACB135135，被选项中只有，被选项中只有A A项图中三角形项图中三角形含含135135角角【答案答案】A A【答案答案】B B3 3(2010(2010中考变式题中考变式题) )下列命题中，是真命题的为下列命题中，是真命题的为( () )A A锐角三角形都相似锐角三角形都相似B B直角三角形都相似直角三角形都相似C C等腰三角形都相似等腰三角形都相似D D等边三角形都相似等边三角形都相似【解析解析】本题考查相似三角形的判定方法本题
