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练习三十六练习三十六 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程 二、二、一、一、A. 1221 ),( . 1CxCyxPy D. 2,|ln211CxCyCy , ),( . 2dydPPyyPy Cy 三、三、 四、四、 .)cos(ln21ccxy 原题原题 .)(1212CCxCy . 12 xy二、二、2. yyyy 2)(解解 ),( yPy 令令, PPy 则则代代入入原原方方程程得得：、将将yy ,2PPPyP , 01 PPyP,11 0yPyPP 或或)(任意常数任意常数Cy 1111)( CdyeyeyPdyydyy或或11Cyy )(任意常数任意常数Cy 1111)( CdyeyeyPdyydyy或或,11Cyy 11Cyyy ,1yCyy 分离变量得分离变量得 ,1dxdyCyy ,1Cy .1为任意常数为任意常数C两边积分得两边积分得 ,|ln211CxCyCy .21为任意常数为任意常数、其中其中CC故所求通解为故所求通解为 ,|ln211CxCyCy .21为任意常数为任意常数、其中其中CC的特解的特解. 三、三、求求 解解代入方程得代入方程得 两边积分得两边积分得 因此满足所给条件的特解为因此满足所给条件的特解为 ),(ypy 013 yy,ppy ,13dyypdp ,12212yyCp , 122 xy则则 令令 满足满足 1)0()0( yy, 1)0()0( yy, 01 C,122yp , 1 yp,dxydy .212Cxy , 1)0( y,21 C. 12 xy, 1)0()0( yy, 1 yp的通解的通解. 三、三、求求 解解代入方程得代入方程得 两边积分得两边积分得 从而将方程降为一阶方程从而将方程降为一阶方程 ),(ypy 013 yy,ppy ,13dyypdp ,12212yyCp ,12yCydxdy 则则 令令 ,12dxdyCyy 分离变量得分离变量得 ,12dxdyCyy 求得其通解为求得其通解为 .)(1212CCxCy ,12dxdyCyy 分离变量得分离变量得 ,12dxdyCyy ,1)1(21122CxCyCydC ,1112CxCyC ,112CCxCy 的通解的通解. 四、四、求求 解解代入方程得代入方程得 求得求得 即即 故所求通解为故所求通解为 01)(2 yy ),(xpy ),1(2pdxdp ,12dxpdp ),tan(1cxp ),tan(1cxdxdy .)cos(ln21ccxy 令令 , py 则则 分离变量得分离变量得 自测题七自测题七 一、一、1.A 2.A 3.C 4.B 5.B 二、二、1. 一阶一阶 xxey2 . 2 044 . 3 yyy0243 . 4)2()3( yyyy23 . 52 xCe354 . 1 yyx 三、三、Cxxys |lnin . 2xxeCCyx 22121 . 3 通解为通解为xCxy 2ln . 421通解为通解为Cyxx 2cot . 5 通解为通解为xxxexxeCeCy22322121 四、四、122)( xxxf五、五、, 1 , 2 , 3 六、六、xxxxeeCeCy 221通解通解1)(2 xxf七、七、 xxxexeCeCy)1(221 或或高等数学（一）模拟试卷解答高等数学（一）模拟试卷解答 .29 5. ;121 4. ;21 ,22 ,213. 3; 2. ; 1 . 1 一、一、BBBBA 5. 4. 3. 2. . 1 二、二、61 2. . 1 32 e三、三、dxxexx2cos2 . 1 2sin2 四、四、212arctan2 . 2xxx dxexyedyyxyx . 33241 . 4tty Cx 2sin3ln . 1 五、五、Cxxx 993arcsin29 . 22629 . 32arctan2 . 4 103 V六、六、七、七、 xxxxFarctan)1ln()1()( 八、令八、令 xaxaaxdttfdttfxF2)()(1)()(九、令九、令0433220432 zyxzyx或或期终复习期终复习 常见题型常见题型 1. 选择题选择题 2. 填空题填空题 3. 计算题计算题 4. 应用题应用题 5. 证明题证明题 连续性、间断点类型的判断、可导性、连续性、间断点类型的判断、可导性、中值定理、不定积分的概念、原函数、中值定理、不定积分的概念、原函数、积分上限的函数求导、定积分的性质、积分上限的函数求导、定积分的性质、 弧微分、曲率、一阶微分方程的概念弧微分、曲率、一阶微分方程的概念 求极限、导数、不定积分、定积分求极限、导数、不定积分、定积分 函数图形的描绘、求极值、求面积、函数图形的描绘、求极值、求面积、 求体积、求弧长、求曲线方程求体积、求弧长、求曲线方程 证明方程根的存在性、证明不等式、证明方程根的存在性、证明不等式、 证明积分恒等式证明积分恒等式注意注意 1. 求极限、导数、积分时，求解一阶微分求极限、导数、积分时，求解一阶微分 方程时首先判断类型方程时首先判断类型 2. 求不定积分时，要加求不定积分时，要加C 3. 定积分是常数，不能加定积分是常数，不能加C 4. 求面积、体积时，先画出图形求面积、体积时，先画出图形 5. 考试时，带好尺规考试时，带好尺规 Cxxx cossin一、填空题（每小题一、填空题（每小题4 4分，共分，共1616分）分）处处的的切切线线方方程程为为在在曲曲线线 1 arctan)1ln( . 22 ttytx_ 0 0 2)( . 3 axxaxexfx连连续续，则则设设函函数数 _cos . 4 xdxxBA )2ln(214 xy 2的的大大小小关关系系为为与与 ln ln . 143243 xdxBxdxA二、选择题（每小题二、选择题（每小题4 4分，共分，共1616分）分）_ . 12的结果为的结果为 bxtdtedxdxeA 、22 xxeB 、2 xeC 、22 xbeeD 、_)( ),()( . 2 dxxfdxf连续，则连续，则在在设函数设函数dxxfA)( 、CxfC )( 、)( xfD、dxxfB)( 、CA_)( )( . 3 xdfxxfx，则，则已知已知xxAxln )dxxxDx 1 ) dxxxCx)ln1( ) dxxBx 1 ) C_0 , 0 , 0, 0 ,1)( . 42处的导数是处的导数是则在则在 xxxxexfx1 )A1 ) B0 )C不存在不存在 )D三三. 求下列各积分（每小题求下列各积分（每小题5分，共分，共35分）分）dxxx 53cossin . 1B xxdxcossincos25 xdxxcos)cos1(cos25Cxx 86cos81cos61dxx arctan . 2dxxxxx 211arctanCxxx )1ln(21arctan2dxex 403 . 3tx tdtet2203 tdet32032 dteettt3202033232 929106 e exxdx12)ln3( . 4 exxd12ln3lnex13lnarctan31 36 tdtdx2 dxxx 40296 . 5dxx 403 4330)3()3(dxxdxx432302321213 xxxx5 dxxx 541 . 62dxx 1)2(12dxxtt 2 2 1)2(1limttttxx2 2 )2arctan(lim)2arctan(lim dxxtt 2 21)2(1 limdxxx 831 . 7四、求下列各极限（每小题四、求下列各极限（每小题5 5分，共分，共1010分）分） xexx111lim . 10 244)(1)(41xxdCx 4arctan41)1(1lim0 xxxexex201limxexxx xexx21lim0 xxx2lim0 21 5020)1(lim. 222xdtextx 4205)1(2lim4xexxx 45054limxxx 0 六、求心形线六、求心形线 的全长的全长(7(7分分).).)cos1(2 rdxxxA 4121413ln31 xx2ln221 drrs 0222 d 022sin4)cos1(22 d 0cos224 d 02cos18 d 02cos8162sin160 解解解解五、求曲线五、求曲线4,1,2 xxyxy所围图形的面积所围图形的面积(7(7分分) ) 4xyo1oxdxyVx 602 dttt 202)cos1(3)cos1(9 dtt 203)cos1(27dtttt 2032)coscos3cos31(27 20203cos2722cos13cos3127tdtdttt 20220sincos272sin43sin32527ttdttt 135 解解7 7求摆线求摆线 一拱与一拱与x轴所围图形轴所围图形 )cos1(3)sin(3tyttx绕绕x轴旋转一周所成立体体积（轴旋转一周所成立体体积（7 7分）分）. . )(xya 2a 241.(x)f(x)x八、分析函数-2的特性并描绘图形八、分析函数-2的特性并描绘图形解解 )., 0()0 ,( f (x)的定义域为的定义域为 ,)2(43xxy ; 2 x驻点为驻点为,)3(84xxy , 3 x使二阶导数为零的点为使二阶导数为零的点为 定义域内无使一阶及二阶导数不存在的点定义域内无使一阶及二阶导数不存在的点 . 2)1(4lim)(lim2xxxfxx; 2 y曲线有水平渐近线曲线有水平渐近线, 2 ,2)1(4 lim)(lim200 xxx fxx又又. 0 x曲线有垂直渐近线曲线有垂直渐近线)3,( )2, 3( 3 )0 , 2( 0 极小值极小值3)2( f2 ), 0( 982 , 3 拐点拐点 0 xy y y列表讨论列表讨论 f (x) 的单调性、凹凸性：的单调性、凹凸性： 3)2(4xxy 4)3(8xxy xy1o32 3 23121 1 2 3 6454 0)31( f 补充点：补充点：2)1( f 6)1( f 1)2( f 92)3( f 1612)4( f)3,( )2, 3( 3 )0 , 2( 极小值极小值2 ), 0( 拐点拐点xy九、证明：函数九、证明：函数 在在 上的最大值不超过上的最大值不超过 ，其中，其中n为正整数（为正整数（8 8分）分）. . xdtnttxf0)1ln()1()() , 0 6n 证明证明 10)1ln()1()1()(dtnttfxf )1ln()1()(nxxxf 10)1(ntdtt 102)(dtttn10323121 ttn.6n x)(xf )(xf)1,0 1), 1( 0 )1(f 最最大大值值)1( ,)1ln( xxx, 1 x0 令令.2113)1ln(2212nnnn 一、选择题（每小题一、选择题（每小题3 3分，共分，共1515分）分）C2、 0 x是是 的（的（ ）间断点）间断点. xxxf1sin)( A) 振荡振荡 B) 跳跃跳跃 C) 可去可去 D) 无穷无穷 CA) ) ( )(ln 3 dyxfy则则设设、B)C) D) dxxf)(ln )(ln)(lnxdxf dxxf 1 xdxf1)(lnB1、设、设 , 0)( xf且且 ，则，则 （ ） axfx )(lim00 aA) B) C) D) 符号不能确定符号不能确定 0 a0 aaA) ) ()()( , )()( 5 badxxgxfbxaxgdxxdf则则设设、B)C) D） )()(afbf )()(agbg 2/)()(22afbf 2/)()(22agbg C4、方程、方程 是（是（ ） 015 xxA) 有三个不同的实根有三个不同的实根 D) 没有实根没有实根 B) 有且仅有一个实根有且仅有一个实根 C) 有且仅有两个不同的实根有且仅有两个不同的实根 B _3 . 4的拐点是的拐点是函数曲线函数曲线xxey ._ ),4(1 718