MSD_ 专题21 数量积、角度及参数型定值问题(解析版).docx

专题21数量积、角度及参数型定值问题题型一数量积型定值问题【例题选讲】例1已知椭圆u+方=1(。人。)的离心率为叩，右焦点为尸(1，0)，直线/经过点F且与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线/绕点厂转动时，试问：在X轴上是否存在定点，使得M凝为常数?若存在，求出定点”的坐标；若不存在，请说明理由.规范解答(1)由题意可知，c=l,又e=(=半，解得。=也，所以/=/=,所以椭圆的方程为弓+y2=.(2)若直线不/垂直于X轴，可设/的方程为y=左(x1).联立椭圆方程弓+V=1,化为(1+2m)4+2-2=0,、422k12设A(X1,y),B(X2,y2),则Xi+%2=2呼+】,XIX2=2,+设MM0),则磁=(Xl,y),讼=(X2一九”),磁谦=(Xl-%,Jl)(%2t,竺)=(XlO(X2t)+yiyi=(XlOa2¢+2(X11)(X21)22-24人=(l+2)X1X2(+2)(xi+x2)+z2+2=(1+2)2F+«+/)27+/2(22-4+l)+2-22一+1,要使得扇凝=Au为常数)，只要F毛;？+12:.即(2P4/+12外3+(户一2一2)=0.对于任意实数左，要使上式恒成立，只要2/一书+l2丸=0,"2T=。,解得.5片不=16若直线/垂直于X轴，其方程为X=I,此时，直线/与椭圆两交点为A（l,乎），BQ,乎）,取点昭*0),有M=(一：,乎)，旋=(一鼻，一坐)，磁林=(-1)(-1)+乎(一乎)=-=A.综上所述，过定点尸(1,0)的动直线/与椭圆相交于A,B两点，当直线/绕点尸转动时，存在定点M(90),使得磁.讼=一例2已知。为坐标原点，椭圆C2+>2=1上一点石在第一象限，若IOEI=亭.求点E的坐标；椭圆C两个顶点分别为A(2,O),BQ,0),过点M(0,1)的直线/交椭圆。于点。，交X轴于点、P,若直线AO与直线相交于点。求证：办改为定值.Pjj规范解答设E(xo,jo)(xo>O,Jo>O),因为QEI=+，所以NM)2+比2=苧,2又因为点石在椭圆上，所以于+y02=，Xo=1,广由解得：i3，所以E的坐标为(1,;X)=2'(2)设点O(X1,%),则直线ZM的方程为y=g(x+2)，直线的方程为y=%1，由解得利=幺"沔?，又直线OM的方程为y=咛L1,JCN'-1-乙t令尸。，解得白=一所以海诙=3M-=1*三,Jy-r2匕x2y+2州十2xy+x-2y+2又苧+-2=1,所以源.丽=公堂土生4.xyi+Xi+-例3椭圆有两顶点A(1,O),B(l,0),过其焦点厂(0,1)的直线/与椭圆交于C。两点，并与X轴交于点P.直线AC与直线交于点Q.(1)当ISl=平时，求直线/的方程；(2)当点P异于A,B两点时，求证：办丽为定值.22规范解答(1)因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为3+方=12由已知得。=1,C=I,所以a=45,椭圆方程为为5+2=l.直线/垂直于X轴时与题意不符.设直线/的方程为y=Ax+l,将其代入椭圆方程化简得，(F+2)f+2区一1=0.、2k1设C(XI,yi),0(X2,yi),则.Xl+%2=廿+2,XlX2=-/+2,Ia)|=、+HIXl_&|=、+2-4=2当?严)=芈,解得=±2.所以直线I的方程为y=y2x+l或y=-y2x+l.(2)直线/与X轴垂直时与题意不符.设直线/的方程为y=息+1(ZO且厚±1),所以尸点坐标为(一£0).设C(X1,y),D(x2,yi),由(1)知Xl+&2k_12+2'用"2=一,+2'直线AC的方程为y=(x+l),直线BD的方程为y=El(X1),XlIi12十1将两直线方程联立，消去y得总因为一1为，应1,所以总与产异号.y-ly(x2-1)-lJi2k1x+122(X1+1)22_%22(兄1+1)2(1+/)(1+%2)1+2y+2%一12(%-Py2(%2I)22-Xi2(%2I)2(1-Xi)(1X2)2k1(左+1),1e+2+e+29l112(1左)(1+左)又Jiy2=zx1x2+k(x+%2)+1=+22(1+左)2k12+2k-1k1,I-%+1,kIlLx-1k1.干与以"丹万,口与干同",E=干解得x=k,因此。点坐标为(一院加).芬丽=(£0)(一左，泗)=1,故分诙为定值.fV211-例4如图，点M在椭圆了十方=1,(0<<2)±,且位于第一象限，Fi,尸2为椭圆的两个焦点，过F,F2,M的圆与y轴交于点P,Q(P在。的上方)，Q4QQI=L(1)求b的值;(2)直线PW与直线x=2交于点N,试问，在X轴上是否存在定点7,使得奇木为定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由.规范解答(1)设圆心(0,则圆的方程为：x2+(y-02=c2+/2.令X=0,得：y2-2tyc2=0(),.,.10P10Q=ypyo=c2=l.b=a2c2=l.(2)设M(XO,yo),Xo>0,yo>O将MX0,加)代入圆与椭圆的方程，可得.xo2+yo2-201=0,xo2+2yo2=2,消去M),得t=12；°，代入(*)得：y21y1=0,即丁一(抵一yo)y1=0,所以(ye)(y+yo)=O,过尸1,F2,"的圆与y轴交于点尸，Q(P在。的上方).所以W=/，yQ=yo11刈m泗m1则而M=T-则直线尸W的方程为y=T-x+7,XoXoJo由直线PW与x=2的交点为N.所以在直线尸M的方程中，令x=2,_1_公y°c-l_2GO2_1)1_lxoI-XQ侍',一o+州XOyo+%一州侍'加'、H1Xo设T(d,0),TMTN=(Xod,yo)(2d,-)=(一(24+l一次=(1Xod(2J)+l.要使得7MTN为定值，即与M的坐标无关.当d=l时，荡.前=0为定值.存在定点T(1,0),使得俞示为定值0.例5已知椭圆C：过右焦点且垂直于%轴的直线Zi与椭圆C交于规范解答(1)联立"2'解得y=±,故等=也，e=5=乎，a2=b2+c2,J=C,联立可得=IO=c=l,故椭圆C的标准方程为曰+y2=i.古人5再令X=不95(1÷22)-5m2÷32m2-2*yj22(x-m)(%2-m),再令Xm,=1,(2)设M>,州)，N(X2,丁2),联立方程<消元得(1+22)x24m2x+2m222=0,j=k(x-m),4ZTZ2加2於2J=I6m244(1+22)(22m22)=8(222m2+1),.x+x2=.+j,XIX2=21+1'扁曲=(Xl)(X2-)+yij2=XlX2一脑1+%2)+ff+HXI一机)(松一m).05l0.25.OO(3m25m2)2-225=(l+2)XlX2(4÷加2)(XI+兄2)+jg+2m2=27+记，(这里的计算使用点乘双根法更便捷)令(1+22)%24m2x÷22m2-2=(1÷22)(xx)(%2-x),55(3m25m2)2225(xiR(X2R+yi?=+记(选择自己熟练的计算方法进行计算，务必保证计算不能出错)又嬴1.乐/是一个与左无关的常数，.35m2=4,即3/一5根+2=0,、23»171=或相=Q,又根不JTl-l,当机=1时，J>0,直线/1与椭圆。交于两点，满足题意，.相=1.题后悟通本题的关键点就在于如何使(3m25m2)2222+l成为一个与左无关的常数，在这里应用了比例的性质，即令分子分母中的同类项成比例，可以观察到分子分母的常数项的比例为一2,则令分子分母中S的系数的比例也为一2,即令3根25m一2=4,则可求出参数的值.【对点训练】1.已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆的左顶点坐标为(一L0),离心率为e=乎.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线/交E于P、。两点，试问：在无轴上是否存在一个定点使磁血为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.1 .设椭圆E的方程为u+方=l(>QO),由已知得jc巫a=2，解得,仁F所以一所以椭圆E的方程为上+y2=l.(2)假设存在符合条件的点M办0),设AS,y),Bg»),则磁=(Xl相，y),M=(x2m,yi),=(%m)(%2m)+yy2=xX2m(Xl+兄2)+加2+”，当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为y=k(x1),联立椭圆方程弓+y2=l,化为(1+2F)X24后兄+2尸一2=0,42212k1则Xl+%2=27+，=2=+'yy2=2(Xl+%2)+%1尬+1=2.+，2(2m24m+l)+m2-2MQ=+1对于任意的左值，上式为定值，故2根24根+1=2(相22),解得，m=,此时，磁=/一2=一5为定值；当直线/的斜率不存在时，直线/：X1?XlX2=1,Xl+%2=2,yy一由，m=,得血痴=1-2%挤+!|；=一专为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为号，0).222 .已知椭圆a+%=l(>8>0)的一个焦点与抛物线y2=45x的焦点方重合，且椭圆短轴的两个端点与点方构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线/与椭圆交于不同的两点P,。，试问在X轴上是否存在定点£(机，0),使用旗恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.2 .解析(1)由题意，知抛物线的焦点为尸(小，0),所以c=:2一。2=小.因为椭圆短轴的两个端点与尸构成正三角形，所以O=小X坐=L可求得4=2,故椭圆的方程为Y+/=1.假设存在满足条件的点区当直线/的斜率存在时设其斜率为鼠则/的方程为丁=左(%1).rx2+y2=Z1,4得(42+1)x2-82x+42-4=0.设尸(Xi,y),Q(X2,>2),J=Z(Ll),y),2=(m-一y2),8诏4F4所以Xl+尬=4左2+，XlX2=4/+则屋=(根即，所以Pk-Qk=(m%)(m-a：2)+y1y2m2-m(%+x2)+%2+y1y2=m2-m(x+x2)+x%2+2