解析几何难题——教师版-附解答.docx
解析几何【例011点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,相交于点M,且它们的斜率之积为2'(1)求点M轨迹C的方程.(2)假设过点。(2,0)的直线/与中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在D、JF之间),试求AoDE与NODF面积之比的取值范围(O为坐标原点).解设点M的坐标为(x,y),TKMMBM=,，二二=工2XX2Y2整理，得爹+V=1(w),这就是动点M的轨迹方程.(2)方法一由题意知直线/的斜率存在，设/的方程为y=左(x2)(左士)842%1+%2=79242+184221221+1将代入万+y2=1,得(2/+1)-Sk2.+(8左22)=0,由A>0,解得0<<g.设EQ,%),F(x2,y2),那么<令几=包些，那么X=回1,即bE=4B户，即七一2=；I(Xl2),且0<4<l.SAoBFBF由得，(Xl-2)+(X2-2)=-7,乙K十1(x1-2)(X2_2)=x1x2-2(x1+x2)+4=f)=岛,Ka)?TA22+l11n,241r=,即Zr=r一一(1+)28(1+A)22C广1日4211b4110<女<一且化/.0<<一且7-24(1+2)222(1+2)224解得32<；l<3+2且；l!.0<；l<l,;.32i<X<l且；l1.33.OBE与aOB歹面积之比的取值范围是(3-2立,；1Q,lj.方法二由题意知直线/的斜率存在，设/的方程为X=Sy+2(s±2)将代入'+V=I,整理，得(s2+2)V+4sy+2=0,由>),解得S?>2.令=eSAOBF4s设E(XQI),S+22=TTi-0<2<l.将M=Xy2代入，(2+l)y2=-4sTT2,./+I)?285252+2-2=2(2+1)262-22-l>2且2(2+1)26-2-l,14.BP22-62+l<0M-.3解得32<2<3+2且；l!.O<<1,；.32<X<1且XL.33PT故AOBE与AOBF面积之比的取值范围是3-22,1【例02】在4ABC中，A点的坐标为(3,O),JBC边长为2,且BC在y轴上的区间-3,3上滑动.求aABC外心的轨迹方程.(2)设直线/：y=3x+方与(1)的轨迹交于E、尸两点，原点到直线/的距离为d,求名巴的最d大值并求出此时b的值.解设5点的坐标为(0,%),那么C点坐标为(O,y0+2)(-3y0<1),那么BC边的垂直平分线为尸治+1y+及=3(x-3)由消去打，得2%2=6x-8.Y-3>ol,二2<y=%+l<2.故所求的aABC外心的轨迹方程为：/=6x-8(-2y2).(2)将y=3x+b代入/=6x8得9炉+6(6l)x+/+8=0.由=6x8及一2<y<2,得2.所以方程在区间j,2有两个实根.设/(x)=92+6S-l)x+8,那么方程4在,2上有两个不等实根的充要条件是:3=6(-l)2-49(fc2+8)>0,/()=9()2+6(-l)+2+80,-4-3/(2)=922+6(-l)2+2+80,4-6S-I)<,132-9.I|=1-4.7=IE7-IEFI=ViTFIx1-X2I=i-2-7又原点到直线I的距离为d=里,四=®声I=®Lz_2=20L7j+1v+11Od3Vb23b2b3V7；711111Eb54b-3,.±±上.当士=士，即/?=-4时，IMl=巳.364b4dmax322【例03】椭圆G：4+3=1(。60)的右顶点为A(LO),过Cl的焦点且垂直长轴的弦长为L(I)求椭圆G的方程.(2)设点尸在抛物线C2：y=f+丸eR)上，G在点尸处的切线与G交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值.b=lr02a=2VC2=1解由题意得，：.，所求的椭圆方程为J+Y=1,()不妨设Ma,%),刈,为)，2(/+),那么抛物线。2在点P处的切线斜率为y'k=2,直线MN的方程为y=2比/+力，将上式代入椭圆Cl的方程中，得4必+(2江+024=o,即4(1+r2)X2-4r(r2-h)x+(r2-)2-4=O,因为直线MN与椭圆G有两个不同的交点，所以有1=164+2(+2)2-2+4>0,设线段MN的中点的横坐标是马，那么_x1+x2_t(t1-h)XL22(1+产)'设线段物的中点的横坐标是4，那么=一，由题意得演=%，即有产+(1+丸»+1=0,其中的42=(1+)2-40,.l或h-3；当z-3时有无+2<0,4后<o,因此不等式=16/+2(丸+2)/肥+4>0不成立；因此hl,当Zz=I时代入方程产+(1+丸»+1=0得=1,将=1/=1代入不等式1=16六+2(/2+2)/2+4>0成立，因此的最小值为L【例04抛物线C：£=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为一.-4(1)求P与m的值.(2)设抛物线C上一点P的横坐标为“/>0),过尸的直线交C于另一点。，交X轴于点M,过点。作PQ的垂线交C于另一点N.假设MN是C的切线，求才的最小值.解(I)由抛物线方程得其准线方程：y=-p-,根据抛物线定义2点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+言=*解得p=g抛物线方程为：/=y,将A(%4)代入抛物线方程，解得m=±2(II)由题意知，过点Pc/)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为人.C-kt_24-kt那么p0:y/=左(XT),当y=0,x='那么(二-,0).kk联立方程'':k"),整理得：X2-kx+t(k-t)Q犷=y即：x-t)x-k-t)=0,解得x=%,或X=左一，.Q(k-t,(k-t)2),而QNJ_QP,二直线NQ斜率为工k整理得：+-x-(k-t)-(k-t)2=0,即：kjc+x-(k-t)k(k-t)+r=Okkkx+k(k-Z)+1x-0-0>解得：X=一一""I,或X=左一，k伙(J)+If.n(k(k-t)+k(k-t)+12心(k2-kt+1)22k(kT)2k,k,ki'_nmk(k-t)+l-t2+ktk(t2-k2-V)kk而抛物线在点N处切线斜率：k切=yf以J网X=kMN是抛物线的切线，.(左;一左：1)2=-2k(kT)-2,整理得/+次+12/=ok(t2-k2-V)k7r)r)M=产-4"")。，解得，"耳(舍去)或屋【例05】双曲线(？：=4=l(0°)的离心率为6,右准线方程为X=且ab3(I)求双曲线C的方程.设直线/是圆O：必+y2=2上动点P(0,y0)(0y00)处的切线，/与双曲线C交于不同的两点A,3,证明ZAOB的大小为定值.【解法11此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力.(I)由题意，得C3,解得=l,c=6,b2c2-a22,所求双曲线C的方程为(Il)点尸(Xo,%)(%为0)在圆f+y2=2上,X-12x0x+y0y=2圆在点P(X0,%)处的切线方程为y-%=.(xX。)，化简得XOX+%y=2.及xj+y=2得(3尤j-4)%?4-XqX+8_2莅=0>Y切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0焉2,3xj-40,且A=16*4(3片4)(82片)>0,设A、B两点的坐标分别为(内,%),(%2，%)，那么石+%2=t"°,石入2=8/"°,43«4VcosZAOB=OAOBOAOB且OA-OB=x1x2+yxy2=x1X2+(2-x0x1)(2-x0x2),4-2x°(x+-2=7¾+I4一17+小学J-zVqJ人0I。VqJ人0'J人.IQ_9v2Q_9V2=_Xb=0.ZAoB的大小为90°.3片一43%4【解法2】（I）同解法L（II）点尸（%,%）（40%°）在圆必+V=2上，圆在点P（XO，%）处的切线方程为炉匕=1化简得XoX+%y=2.由<2及；+y：=2得x0x+y0y=2（3Xd-4）x4XqX+8-2%q=O（3尤jy8%x8+2x=O切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,且0<%<2,3x-40,设4、3两点的坐标分别为（ApyI）,（w，%），Q_222Y2-R那么七马=2Te，%=；，'OA-OB=x1x2+yly2,NAe出的大小为90°.3043%o4（,.君+常=2且/%/0,；.0<%；<2,0<常<2,从而当3片一4Wo时，方程和方程的判别式均大于零）.22【例06】椭圆E:+=l（>b>0）过M（2,2）,N（«,1）两点，。为坐标原点.ab（1）求椭圆E的方程.（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,并且OALOB?假设存在，写出该圆的方程，并求IABI的取值范围，假设不存在说明理由.解:（1）因为椭圆E:=+T=ab.4211-T+7=1=所以5,解得？611+=lF=abVb（2）假设存在圆心在原点的圆,设该圆的切线方程为1(以方>0)过M(2,2),N(6,1)两点，_TC2_O22?所以，椭圆E的方程为土+匕=1J_b2=4844使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。4,OB,y=kx+my=Ax+加解方程组<f2得x2+2(kx+m)-8,即+=1I84(1+2左2)2+4kmx+2m2-8=0,2,2那么=16k1m1-4(1+2k1)(2m2-8)=8(8Z:2-m2+4)>O,即Sk2-m2+4>04km2m2-8X1X2=Z-k2(2m2-8)4k2m2121+2左2y1y2=(kX+m)(kx2+ni)=k2xlx2+km(xl+%2)+m2=2f112XZT/2Rk?OALOB,需使XIX2+%=O，即r+-=O>所以3/8左28=0,所以1+2k1+2kk23m-80X82-m2+4>0,所以,m2>23射8,所以/号，即机侦或Z<侦，因为直线y=Ax+m为圆心在原点
