资料分析公式.docx
合成增长率数量分别为A与B的两个部分，分别增长a%与b%。那么“A、B整体”的增长率；应该满足下面的关系(我们将;称为a%与b%的合成增长率)：-0/_A×a%+B×b¾r4A+B混合增长率如果第2期相对第1期的增长率为r1,第3期相对第2期的增长率为。，第N+1期相对第N期的增长率为r”那么第N÷l期相对于第1期的增长率r,称为r,r2,-,rN的混合增长率。根据公式可得：r=W-1=aX(1+GXXCl+rz)_1=(1+rj).(1+rN)-j3ja1平均增长率如果第1期的值为a,N期之后的第N+1期的值为an+,那么从第1期到第N+1期的平均噌长率T满足以下定义关系式：az+=a×(1+?)N或者：*ii=(l+)”31根据前面对“混合增长率”的定义，我们还可以推出下面的公式：(l+)N=典=l+r=(l+n)xX(l+rQ冉-1=vzT+r1=vz,(1+1)××(1÷n)-I注：以年为周期的平均增长率,被称为“年平均增长率”或者“年均增长率”、“年均增幅”、“年均增速”。一、增长率逆推近似公式方法点睛如果第一期为A。，第二期的值为A,第二期相对第一期的增长率为x%,则：AAA=AoX(I+x%)=>A。=AX(I-X%)AX(1x%)如果第一期为A0,第二期的值为A,第二期相对第一期的减少率为x%,则：A=A0×(1-)=5>A0rj7=A×(l+x%)+-57(x%)2A×(l+x)1-XZO1XZo二、合成增长率之十字交叉法原理点睛数量分别为A与B的两个部分,分别增长a%与b%,整体增长率为r%,那么我们可以得到下面的关系：r一kA×a+B×b%=(A+B)r>=J-2Bar像上面这种两部分合成增长率的题型，我们一般不用列式子的方式而采用“十字交叉法”的方式来求解，即将上述式子转换成如下形式：A: arb/AJbr=/Ba-rB: bar注：上面这种方式计算得到的比例，是增长之前的比例而不是增长之后的比例.核心提示所谓“十字交叉法”，本质上是一种“加权平均问题”。两部分各自的增长率对最后的合成增长率都有影响，各自影响的大小，由其本身值的大小所决定，这就是“十字交叉法”的本质所在。瞽如一个地区的城市人口和农村人口之比为3:7,城市人口增长5%,农村人口增长6%,那么整个地区的人口增长率应该在5%和6%之间。城市人口占3份，农村人口占7份，那么城市、农村对最终合成增长率的影响力之比为3：7,即这个合成增长率与5%、6%的距离之比应该是7：3,即5.7%.这样的结果是比较容易口算得出的，但一定要注意这个比例对应的是增长之前本部分我们首先介绍“年均增长率”与“各年增长率”之间的数量近似关系，下一部分我们将介招“年均增长率"与“混合增长率”之间的数量近似关系。根据前面的介绍，我们知道：=>r=(l+r1)××(l+rN)-l在数学上，又有下面的近似公式：vz(l+r1)××(1÷n)+F(1÷n)于是，就得到了需要的这个近似公式：=吉(1+r1)+(1+n)-1="按照上面的公式近似得到的结果一般会比真实的数值略大一些，并且“各年增长率”越是接近，误差越小。我们前面讲述了“年均增长率”与“各年增长率”之间的数量近似公式，当我们知道各年的增长率时，我们用上面那个公式来求解“年均增长率”。但有时候，我们并不知道每一年各自的增长率，仅仅只知道或者只关心初值和末值(即“混合增长率”)，那么我们就需要运用另外的公式来近似求解了.根据本节开始的介绍，我们知道：在数学上，我们又有下面的近似公式(所谓“泰勒展开”)：/1I、NILNTIN(N-1),ILNlIN(N1)2(1÷t)n=1÷NtH-2÷l÷Nd-T2于是，就得到了我们需要的这个近似公式：Z,N(N-I)2r=NTd2从上面的推导可以看出，按照上面的公式近似得到的“混合增长率”一般会比真实的数值略小一些，并且“年均增长率”越小，误差同时也越小。另夕卜，我们还有一个结论也经常用到，即：r>Nr或者TV吉当两个变量分别发生一定的变化，它们的“乘积”以及“比值”又会发生什么样的变化呢？对于这个问题，在前面做过定性的分析,但由于这样的问题非常重要,我们有必要在这里进一步进行定量分析.我们假定两个变量A、B分别增长了r%、v%(取负值时代表为“下降”)，那么其乘积“AXB”与比值“A/B”分别发生如下比率的变化:1.A×(l+r%)×BX(l+v)AXB-l=(l+r)×(l+v¼)-l=r+v+r×v乘积的增长率:各自增长率的和，加上各自增长率的积。实用提示：由于“增长率的积”一般数值很小,计算的时候给出大致的数值即可，不需要算出非常精细的值。A×(l+r)2.BX(l+v%)1_l+r%1_r%v%l+v1l+vB比值的增长率:各自增长率的差，除以“1加分母的增长率”。实用提示：一般v%很小，我们往往直接用“增长率的差(分子增长率减去分母增长率)”来代替上面这个数值，或者稍微做一点修正即可.翻番近似公式在资料分析的计算当中，我们经常能够碰到“翻一番”即“增长Io0%”的概念，当增长率维持在一定的水平上，多少年可以翻一番呢？这样的问题也就是研究下面式子当中r与N之间的关系：(1+r)"=2=>N=log"+”2很明显，我们在考场上不可能对这样的式子进行手工计算，于是我们运用另外一个近似的公式来代替上面这个需要求“对数”的复杂公式：(l+r)z=2=>N三四我们再次假定两个变量A、B分别增长了r%、v%（取负值时代表为“下降”），那么其比值“A/B”的变化率应该为：等潜。因为这个变化率的分母是正的，所以我们可以知道，比值“A/B”是否变大（即增长率是否为正）取决于分子A的变化率是否大于分母B的变化率.注:所谓“分子A的变化率大于分母B的变化率”，包括A的增长快于B,也包括A的减小慢于B。三大模型基础模型A增长快于B,或A减小慢于BA增长慢于B,或A减小快于B比值变化令变大合变小我们再来进行下面两个数学变形：A_1_1B+A-B7-T-111AAB由上面两个变形我们可以发现念'念这两个式子,与毒的变化具有同样的方向,于是我们得到了另外两个拓展模型:拓展模型IA增长快于B,或A减小慢于BA增长慢于B,或A减小快于B比值变化念变大备变小模型解释：当A的增长快于B,或者A的减小慢于B时,A占“A和B”总体的比重在上升，反之则下降。在资料分析当中，我们经常可以碰到“连续两年”增长的模型,这时候的“混合增长率”与“各年增长率”之间满足比较简单的数量关系：r=(l÷r1)×(l÷r2)-l=r1÷r2÷r1Xr>r1÷r2当r1、q同号时<r1+r2当口、。异号时我们很容易发现，上面这个公式跟我们刚刚学过的“复合变化率公式”当中的“乘积增长率”具有完全相同的形式，但统计意义是不相同的。我们在运用上面公式进行计算的时候，两个增长率的和是主要部分，积是用来修正的次要部分，所以两个增长率的积一般采用大致的估算即可，不需要太高的精度。八、三角上溯模型核心提示“2009年，某地区完成GDP共计8372亿元，同比增长8.2%,增长率提高了L1个百.分点”上面这样的语段经常出现在资料分析当中，我们根据2009年的GDP和其增长率可以算得；2008年的GDP,根据2009年的增长率和增长率的变化可以求得2008年的增长率,最后再通过2008：年的GDP和2008年的增长率便可求得2007年的GDP。由此，我们仅仅通过上段当中关于2009年：当年的描述，便可求得两年之前的2007年的数值,这样的模型我们称之为“三角上溯模型”。：由于这样的模型出现的频率比较高，所以要求大家对这样的模型有一个非常熟练的掌握。我i们不再给出相关的公式，而是仅仅通过对第一段的解析来帮助大家理解和把握这种题型的内涵和I解题方式：当某个经济量保持相同的增长率持续发展时，这个量的各期数值应该构成一个“等差数列”。我们假定这些数值当中相邻的三期数值分别为a、b、c,并且令“a到b",b到c”的增长率都为r,我们可以得到：经过上面这种形式的转化，我们跳过增长率而直接得到各期量之间的关系，从一定程度上简化了计算。但是即便如此,剩下的计算量仍然不小，我们一般还需要通过截位法或者其他的速算方法继续简化计算。
