论文----浅谈微积分思想在几何中的应用.docx
汤Je伊粘夫答毕业论文题目：浅谈微积分思想在几何问题中的应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学毕业年限：2013年学生姓名：学号：*指导教师：*指导教师预评评语指导教师职称预评成绩年月日辩论小组评审见辩论小组评定成绩辩论委员会终评见辩论委员会终评成绩辩论小组组长（签字）：年月日辩论委员会主任（签章）：年月日说明：L成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。2.评语内容包括：学术价值、实际意义、到达水平、学术观点及论证有无错误等。目录摘要2关键字2Abstract2Keywords21微积分介绍31. 1微积分的根本内容32微分在几何问题中的应用52. 1一元微分的几何应用53. 2多元微分的几何应用73积分在几何问题中的应用94. 1定积分的几何应用93.2二重积分的几何应用163.3三重积分的几何应用17结束语20参考文献21浅谈微积分思想在几何问题中的应用*图三._1求曲线y=I77的交点，解得=l,y=LX=2一f1121所以在区间0,1,Sl=JO5无一公=不。在区间工质，S?=/*=!故所围成图形的面积为S=S+S=L+工=生。-61212例10、计算包围在双纽线r2=2cos2e内部及圆r="外部图形的面积。解：易见双纽线函数，=2cos26的周期为，且根据双纽线函数的定义区间和余弦函数性质知在工<2。<3"即工<e<3万局部没有图形，由周期性知在*)<9<Z万也没有图形。224444且其图形对称于极轴，从而其图形分布在-16二及3万<e<9万之间。4444设所求图形面积为A,那么有对称性知A应为第一象限局部面积的四倍。以下图阴影局部是位于第一象限中的情形。例11、求y=V(0尤1)的曲线绕X轴旋转所成图形的外表积。解：由y=3得A=211+(3x2)2dx=(ioio-i)27求立体的体积.1旋转体体积由连续曲线>=(x)在区间“上围成的曲边梯形绕X轴旋转一周形成的旋转体的体积为匕=可：产(X岫。由曲线X=g(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为Vy=»Jg2(y)dyo例12、求好7+2=0,2y-x-2=0,九=0及X=I围成的图形围绕X轴旋转所得的旋转体的体积。解：易见所求旋转体体积等于y=/+2(即2->+2=o)在0区间上围绕X轴形成的旋转体与y=；x+l(即2y-%-2=0在,l区间上围绕轴X形成的旋转体的体积之差。由图五可知，在0,1区间上，x+1<x2+2=-(x2+2)2-(+l)2ifo=tv(X4+x-x+3)dx_15,53U542_79=一1120.2平行截面表达式的立体体积设所给立体垂直于X轴的截面面积为4(尤)，A(X)区间LU上连续，那么对应于小区间Cbx,X+x的体积元素为dV=Axdx,因此所求立体体积为V=fA(X)dx。Ja例13、设有一几何体，其底面为Xy平面上的圆V+y2=2(>0),而用任何位于_。,同区间而垂直于X轴的平面去截该几何体，截面都是正三角形。求其体积。解：过X轴上-兄司区间任意点作垂直于X轴的平面与几何体相交，得截面为正三角形，因而其面积为A(x)=(2y)(3v)=3y2=3(2-)从而知该几何体体积为一3aV=y3(a2-x2)dx=3a2x-J-03-一433. 2二重积分的几何应用求曲线围成的面积.1在直角坐标系下当所求区域。为工型区域£)=(丁)|3；1反弘(无；)%(1)时，有f(x,y)dy；f(x,y)dxdy=£(,：f(x,y)dyyx=L：当所求区域。为y型区域D=(x,y)cyd,玉(y)xX2(y)时，那么有f(,y)dxo例14、用二重积分求曲线y=sin%,y=cos%及y轴在第一象限所围成的区域的面积。解：记所求区域为。，其面积为A,那么1111CCpcOSXpA=JIdxdy=ydxdy-(cosx-sinx)dxD11-(sinx+cosx)=V2-10.2在极坐标系下如果。=&,。)卜6尸川(，)/以。),那么在极坐标系下有/(x,y)dxdy-j'd分/(rcos6,rsin)rdrDa"例15、计算心脏线r=l+si11e所围成的平面区域的面积。解：因为对任意。，r=l+si11eO,所以心脏线r=l+si11e所围区域可表示为O=(r,9)062乃,0rl+sin6,故其面积为2(t(*p211fl+sinp21A=JjdCr=L到rdr=0-(1+sin(9)dD21<31211311=-6>-2cos6>-sin26>=2(24J2求立体的体积体积V=Jf(x,y)d,其中f(x,y)(0)为曲顶柱体的曲顶。D例16、计算由三个平面无=0,y=0,龙+y=1所围成的柱体被平面Z=O及z=l+x+y截得的立体的体积。解：所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是：z=l+x+yo区域。x,0<x<l,所以V=(1+X+y)d=£dx(l+x+y)dyD_563.3三重积分的几何应用(求立体的体积)在空间直角坐标系下设积分区域V由集合V=(,y,z)z1(%,y)zz2(x,y),以。)y%(%)M<%<圻所确定，这里V在Ay平面上的投影区域。=(x,y)(九)y%(x),尤>是一个X型区域，它对于平行于Z轴且通过。内点的直线与的V边界至多交于两点。现设/(x,y,z)在V上连续，ZI(X,y),Z2(x,y)在上。连续，%(x),%(x)在a,b上连续，那么有f(x,y,z)dzJJjf(x,u,z)dxdydz=Jjdxdy2(：f(x,y,z)dza广乃()rz2(,y)dxdyJaJyI(%)Jz1(x,y)同样的，当把区域丫投影到平面或yx平面上时，也可写出相应的累次积分。例17、计算Jyt等其中V为由平面"=l,x=2,z=°,y=x与z=y所围的区域。解：丫在孙平面上的投影区域D=(x,y)0ylx<2是X型区域，这里zl(x,y)=0,z2(x,y=y,所以有2%7C211+y)dx-InIdx,OJi2在柱面坐标下柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系：x=rcos,Or<+,T:<y=rsin,0<<211,由于变换T的函数行列式z=z,-<z<+.CoSe-rsin(9O)(r,e,z)=si11ercosQ=r,所以，三重积分的柱面坐标换元公式为OO1f(x,y,z)dxdydz=/(rcos6>,rsin,z)rdrddz,这里V'为在V柱面坐标变换T下的VV'原象。例18、计算口(/+/yZxdydz,其中V是由曲面2(，+y2)=z与z=4为界面的区域。解：V在孙平面上的投影区域D为/+V2。按柱面坐标变换，区域V，可表示为V'=(r,6),z)2r2z4,0r2?0<<211.以有JJjridrddzJJJ(x2+y2)dxdydz=Vv,JoJoJlr23在球面坐标下球面坐标系与直角坐标系变量间的关系:X=rsincos,0r<+,y=rsi11osine,Q<<11,由于变换T的函数行列式Z=/CoS0,082九.SinoCoSercoscosJ(Y,=SineSinercos°sin9CoSe-TSine-rsinsinrsin。CoSe=r2sin,当。在,初上取值时,Osi110O所以，三重积分的柱面坐标换元公式为f(x,y,z)dxdydz=/(rsin0cos。/sin°sin。/cos。)/sin(pdrd(pd,这里V'为丫V'在球面坐标变换T下的原象。例19、求由圆锥体zGcot/和球体/+V+(z-a/所确定的立体体积，其中。4和。(>°)为常数。解：在球坐标变换下，球面方程2+y2+(z-)2=/可表示成=2cos°,锥面方程Z=J12+y2COt4可表示成夕=万。因止匕Vf=(r,)0r2cos,0<<fi<<2.求得V的体积为dV-f"dejdac°"pr2sindr-3(l-cos4)。V0003结束语微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求曲线的长、求图形的面积、求立体的体积。也许还有其他应用，这就需要我们去探索研究。参考文献1龚升.林立军.简明微积分开展史M.湖南：湖南教育出版社，2005.2王宝富.钮海.多元函数微积分第二版M.北京：高等教育出版社，2010.3李启文.谢季坚.微积分学习指导与解题指南（第二版M.北京：高等教育出版社，2004.4于新凯.金少华.郭献洲.微积分典型问题分析与习题精选M.天津：天津大学出版社，2009.5张银升.安建业.微积分名师导学M.北京：中国人民大学出版社，2004.6张景中.直来直去的微积分出.北京：科学出版社，2010.7华东师范大学数学系.数学分析下册第三版M.北京：高等教育出版社，2001.8贾晓峰.微积分与数学模型（上册）M.北京：高等教育出版社，1999.9美G.B.小托马士.R.L.芬尼.微积分与解析几何详解上册）M.北京：晓园出版社，1994.
