第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用.docx
第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用22定理在椭圆q+=l(4>6>0)中，假设直线/与椭圆相交于M、N两点，点P(XoDo)ab是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为左“N，那么左mn匹=一4.x0a证明：设M、N两点的坐标分别为(再,%)、(x2,y2),22(1)÷>=1Iab22-,得一2%-V2b22=0.%一必X2-X1为+为X2+x1b22%一M/一七%+为Xi+X2=打=22xX同理可证，在椭圆2+4=1(a>b>O)中，假设直线/与椭圆相交于M、N两点，点ba2P(XO，Vo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为左"N，那么左mn匹XOb典题妙解2例1设椭圆方程为一+?=1'过点火。,1)的直线/交椭圆于点A、B,O为坐标原点，点P满足.1.OP=-(OA+OB),点N的坐标为.当/绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程;(2)INPl的最大值和最小值.解：11)设动点P的坐标为(x,y).由平行四边形法那么可知：点P是弦AB的中点.焦点在y上，/=4/2=1.假设直线/的斜率存在.整理，得：4x2+y2-y=0.当直线/的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点O(0,0),也满足方程。.所求的轨迹方程为4x2+y2-y=0.、ZX251112酉己方，得：I-1.X一.1144164»11/.iVP2=(x-)2+(y-)2=()2+1_炉24=-3(x+-)2+-6121 »11»21.当X=时，INPlnlm=了；当x=Z时，INPInlaX=14 466例2在直角坐标系Xoy中，经过点(0,J5)且斜率为左的直线/与椭圆3-+：/=1有两个不同的交点P和Q.(1)求左的取值范围；(2)设椭圆与X轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量丽+而与M共线？如果存在，求上的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：1直线/的方程为y=左x+VIy=kx+72,由得：(2左2+1)%2+4丘+2=0.+y2=l.127尤2直线/与椭圆+y2=1有两个不同的交点，266=32左2-8(2/+1)>0.解之得：J或k>J.22.左的取值范围是-QO9一2Y/2U2JY2II-I-在椭圆5+/=i中，焦点在X轴上,a=42,b=l,.A(2,0),B(0,l),AB=(-2,1).设弦PQ的中点为M(Xo,%)，那么OM=(,y10).由平行四边形法那么可知：OP+OQ=2OM.0尸+0。与43共线，厂.00与43共线.W=九，从而&=_Yl21Xq2由kpo久-b2V2J41由m可知人二号时直线，与椭圆没有两个公共点，.不存在符合题意的常数人.例3椭圆=+匚=1U>b>Q的左、右焦点分别为匕、F2,离心率e=<2,右准线方ab22程为x=2.(I)求椭圆的标准方程;(II)过点F的直线/与该椭圆相交于M、N两点，且I小+不|=2手，求直线/的方程.解：I)根据题意，得f_C_41e=-=-,2<a2.4=LC=I.所求的椭圆方程为±+/=La12X=2.II)椭圆的焦点为4(-1,0)、B(Lo)设直线/被椭圆所截的弦MN的中点为尸(羽y).由平行四边形法那么知：F2M+F2N=2F2P.由|府+可得：I行I=孚(Xl)2+y2=?假设直线/的斜率不存在，那么/，1轴，这时点P与4(-1,0)重合，F2M+F2N2F2Fi|=4,与题设相矛盾，故直线/的斜率存在.721由上MN.)=T得：-=.,.y2=(2+x).Xax+1x22代入，得(X1)2lc+)=竺.2917?整理，得：9%245%17=0.解之得：X=,或X=.331r7G1由可知，X=不合题意.X=,从而y=±L.左=二L=±1.333X+1.所求的直线/方程为y=x+l,或y=%1.22C例4椭圆C：+A=lO>7>0)的离心率为发，过右焦点F的直线/与C相交于A、ab23B两点.当/的斜率为1时，坐标原点O至!W的距离为一.2(1)求。涉的值;有8=Q4+O5成立？假设存在,(2)C上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时,求出所有点P的坐标与/的方程；假设不存在，说明理由.解：1)椭圆的右焦点为尸(G0),直线/的斜率为1时，那么其方程为y=x。，即x-y-c-0.原点O至U/的距离:22c-2亏一7c=l.又e，=乌a3/.a-3.从而b-V2.a-3，b-V.V-V2椭圆的方程为3-+1=l设弦AB的中点为。(羽y).由。=Q4+OB可知，点Q4y2是线段OP的中点，点P的坐标为(2%2y).亍+2y2=1.假设直线/的斜率不存在，那么X轴，这时点Q与少(LO)重合，。尸二(2,0),点P不在椭圆上，故直线/的斜率存在.xax-139由和解得：%=-,y=±-.44二.当=3,y=Yl时，左钻=上=上，点p的坐标为(3,Yl),直线/的方程为44x-122yp2x+y-2=O；当=正时，七3=上=上，点P的坐标为(上，遮)，直线/的方程为44x-1222x-y-2=O.金指点睛1 .椭圆2+2y2=4,那么以(U)为中点的弦的长度为(B.23A.322 .(06江西)椭圆Q：+=1a>b>Q的右焦点为尸(G0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.(1)求点P的轨迹H的方程；(2)略.3 .(05上海)(1)求右焦点坐标是(2,0)且过点(-2,-后)的椭圆的标准方程；22(2)椭圆C的方程为1+4=1(Q>8>0).设斜率为左的直线/,交椭圆C于A、B两点，abAB的中点为M.证明：当直线/平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；(3)略.4.(05湖北)设A、B是椭圆3/+/=4上的两点，点N(L3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(1)确定2的取值范围，并求直线AB的方程;(2)略.225.椭圆C的中心在原点，并以双曲线2-L=I的焦点为焦点，以抛物线/=6布的准线为42其中一条准线.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线Ay=履+2(左0)与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线/:y=小+1(机0)对称，求左的值.参考答案22L解：由2+2)？=4得二+乙=1,aa2=49b2=2.42721弦MN的中点(1,1),由MWN"=T得左MN=,直线MN的方程为y1=(x1).xa22即X=2y+3.k由17得：6y12y+5=0.X-Iy+3设Af(Xl,y)N(X2,y2)，那么为+为=2,乃为=26IMNI=JQ+)(¾+J2)2-4y1y2_30一亍故答案选C.2 .解：1设点P的坐标为(X,y),由左ab"=T得：'=T，Xax-cXa整理，得：b1x1+ay1-b1cxQ.点P的轨迹H的方程为b2x2+a2y2-b2cx=0.3 .解：1)右焦点坐标是(2,0),二.左焦点坐标是(2,0).c=2.由椭圆的第一定义知，=(-2-2)2+(-2)2+(-2+2)2+(-2)2=42,/.=22.,.b2a2c2=4.22所求椭圆的标准方程为二十二=1.842）设点M的坐标为（羽y）,由心屋2=一一T得：k上=-整理得：b2x+a2ky=0.XaXava>b、k为定值,.当直线I平行移动时，动点M在一条过原点的定直线b2x+a2ky=O上.4.解：1点N（l,3）在椭圆3+y2=%内，.3i2+32<4,即丸12.2的取值范围是（12,+8）.22n由3+y2=%得二十1二1,.=%/=4,焦点在y轴上.A3假设直线AB的斜率不存在，那么直线ABL1轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在X轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在.丁73471由左AB=正倚：七§.1=_7，Kab=Ti二.所求直线AB的方程为y3=l（x1）,即x+y4=0.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为y3=l（x1）,即xy+2=0.225.解：1）在双曲线2=1中，a=2,b=V2,c=ya2+b2-V,42.焦点为K（O,衣）,K（,C）.在抛物线=一2中，=准线为y=手.2二.在椭圆中，土=*.从而a=3=ic222所求椭圆C的方程为二十二=1.932设弦AB的中点为P（XO,%）,那么点P是直线/与直线/'的交点，且直线1.m=.k2kAB=T得：左=3,.*.ky0=3x0bXO由%=一-%+1得：ky0=-x0+k.kk3由、得:x0=-,y0=.又%=左+2,3kh4+2,即左2=1.22左=±1.在y=幻c+2中，当X=O时，y=2,即直线/经过定点/(0,2).而定点M(0,2)在椭圆的内部,故直线/与椭圆一定相交于两个不同的交点.左的值为±1.
