第8 讲 应用举例.docx
第8讲应用举例A级课时对点练（时间:40分钟满分：60分）一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）1.如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a,从C、D两点测得A点的仰角分别是、（）,则点A离地面的高AB等于（）A.asinsinsin一B.asinsincos一C.acoscossin一D.acoscoscos一解析：在AADC中，DAC=，由正弦定理，ACsin=asin一,得AC=asinsin一.在RtABC中，AB=ACsin=asinsinsin一.答案：A2.（2010烟台调研）在AABC中，如果BC=6,AB=4,cosB=13,那么Ae等于（）A.6B.26C.36D.46解析：由余弦定理得，AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=42+6224613=6.答案：A3.在AABC中，AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为（）A.322B.323C.32D.33解析：如图，BD为AC边上的高.方法一：cosB=32+132-422313=113,sinB=2313.SABC=12ABBCsinB=12ACBD,3132313=4BD,BD=323.方法二：VcosA=32+42-132234=12,sinA=32.BD=ABsinA=323.答案：B4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这只船的速度是每小时（）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里解析：如图，依题意有BAC=60,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10,在RtABC中，可得AB=5,于是这只船的速度是50.5=10（海里/小时）.答案：C5.（2010绍兴模拟）在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30,测得湖中之影的俯角为45,则云距湖面的高度为（精确到0.1m）（）A.2.7mB.17.3mC.37.3mD.373m解析：依题意画出示意图.则CMIOtan30=CM+IOtan45CM=tan45+tan30tan45tan301037.3.答案：C二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）6.在AABC中，BC=LB=3,当AABC的面积等于3时，tanC=,解析：SABC=12acsinB=3,C=4.由余弦定理：cosC=a2+b2c22abb2=a2+c22accosB=13,=-113,sinC=1213,tanC=-12=-23.答案：-237.如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=IO,AB=14,BDA=60,BCD=135,贝JBC=.解析：在AABD中，设BD=X,则BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA,即142=x2+102-210xcos60,整理得x2IOx-96=0,解得xl=16,x2=6（舍去）.由正弦定理得BCSinCDB=BDsinBCD,BC=16sin135sin30=82.答案：828.（2010浙江教育考试院）如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35米，在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米，从A观测电视发射塔CD的视角（CAD）为45,则这座电视发射塔的高度CD为米.解析：AB=912-352=84,tanCAB=BCAB=3584=512.由CD+3584=tan（45+CAB）=I+5121512=177得CD=169.答案：169三、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）9.（2010陕西卷）在AABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.解：在AADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得COSADC=AD2+DC2-AC22ADDC=100+36-1962106=-12,ADC=120,ADB=60.在AABD中，AD=10,B=45,ADB=60,由正弦定理得ABsinADB=ADsinB,AB=ADsinADBsinB=IOsin60sin45=103222=56.10.（2009陕西卷）如图，A,B是海面上位于东西方向相距5（3+3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：依题意知AB=5（3+3）海里.DBA=90-60=30,DAB=45,ADB=105,在ADAB中，由正弦定理得DBSinDAB=ABSinADB.DB=ABsinDABsinADB=S3+3sin45sin105=53+3sin45sin45cos60+sin60cos45=533+13+12=103（海里）,又DBC=DBA+ABC=30+（9060）=60,BC=203海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC22BDBCcosDBC=300+1200-210320312=900,CD=30（海里），则需要的时间t=3030=1（小时）.所以救援船队到达D需要1小时.B级素能提升练（时间：30分钟满分：40分）一、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1.（2010银川模拟）在三角形ABC中，已知B=60,最大边与最小边的比为3+12,则三角形的最大角为（）A.60B.75C.90D.115解析：不妨设a为最大边.由题意，则ac=sinAsinC=3÷12,即SinASin120-A=3+12sinA32cosA+12sinA=3+12,(33)sinA=(3÷3)cosA,tanA=2+3,A=75.答案:B2.据新华社报道，强台风珍珠在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，树的上半部分折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是（）A.2063米B.106米C.1063米D.202米解析：如图，设树干底部为0,树尖着地处为B,折断点为A,则ABO=45,AOB=75,OAB=60.由正弦定理知，AOsin45=20sin60,AO=2063（米）.答案：A二、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）3.（2010天津调研）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足a+b+c=2+1,sinA÷sinB=2sinC,则c=；若C=3,则AABC的面积S=.解析：依题意及正弦定理得a+b=2c,且a+b÷c=2+L因此c+2c=2+1,c=1.当C=3时，c2=a2÷b22abcosC=a2+b2ab=1,（a÷b）23ab=1.又a÷b=2,因此23ab=1,ab=13,则AABC的面积S=12absinC=1213sin3=312.答案：13124.线段AB外有一点C,ABC=60,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值.由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos60=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12900t242000t+40000.当t=7043时，DE最小.答案：7043三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5.(2010鞍山二模)已知在AABC中，三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且SinA-BsinA÷B=-a+cc.(1)求角B的大小；(2)求函数y2sin2A+cos32A的值域.解：(1)sinA-BsinA+B=a+cc,得sinABsinC=-sinA+sinCsinC,sin(A-B)=sinAsinC,即sin(A-B)=-sinAsin(A+B),sinAcosB-cosAsinB=sinA-sinAcosBcosAsinB.化简得2sinAcosB=sinA,VsinA0,cosB=-12.又TOVBV,B=23.由y=2sin2A+cos32A,得y=1cos2A+cos3cos2A+sin3sin2A=32sin2A12cos2A+1=sin2A6+1,VB=23,0<A<3,-6<2A-6<2,-12<sin2A6<1,12<y<2,即y=2sin2A+cos3-2A的值域为12,2.6.（2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位:m）,如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角ABE=,ADE=.（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m）,使与之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时，一最大?解：（1）HAD=tanAD=Htan,同理：AB=Htan,BD=htan.AD-AB=DB,故得Htan-Htan=htan,解得：H=htantantan=41.241.241.20=124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.由题设知d=AB,得tan=Hd,tan=HAD=hDB=H-hd,tan（一）=tantan1+tantan=Hd-H-hl+HddH-hd=hdd2+HHh=hd+HH-hd,d+HH-hd2HHh（当且仅当d=HH-h=125121=555时，取等号），故当d=555时，tan（一）最大.因为0<<<2,则0<<2,所以当d=555时，一最大.故所求的d是555m.
