第6讲 一元二次方程.docx
第6讲一元二次方程重难点1一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2019随州)已知关于X的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根xi,x2.(1)求k的取值范围；(2)若J+=1,求k的值.X1.X2【思路点拨】(1)根据方程的系数结合根的判别式/>0,即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x+x2=-2k-3,xx2=k2,结合工+工=-1即可得出关于k的分式方程，解X1.X2之经检验即可得出结论.【自主解答】解：(I)：关于X的一元二次方程2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，.J=(2k+3)2-4k2>0.3解得k>一本(2)VX1，X2是方程2+(2k+3)x+k2=0的实数根，x+x2=-2k3,xX2=k2.J_J_x1+x2(2k+3)*X1X2-X1X2-k2-解得k=3,k2=-1.经检验，k=3,k2=1都是原分式方程的根.3又,3>一本.,.k=3.方法指导1 .判断一元二次方程根的情况，要明确a,b,C的值，然后比较b2-4ac与0的大小.2 .利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有X1+X2与X1X2的式子.易错提示I解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时,容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次项系数a0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数a0的条件下求解.【变式训练11(易错易混)若关于X的一元二次方程(k1.)2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是kW5且k1.【变式训练2(2019南充)已知关于X的一元二次方程x2-(2m-2)x+(m2-2m)=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为Xi,x2,且+9=10,求m的值.解：(1)由题意可知，J=-(2m2)24(m22m)=4>0,方程有两个不相等的实数根.(2)*.*Xi+X2=2m2,xX2=m2-2m,X1+x2=(X1.+X2)22xiX2=10.,.(2m2)22(m22m)=10.*.m22m3=0.*.m=-1或m=3.(山西中考,7分)解方程：2(x-3)2=x2-9.解：2(x-3)2=(x+3)(x-3).1分2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.2分(x-3)(2-6-X-3)=0.3分(-3)(-9)=0.*.-3=0或X9=0.*X1.=3,X2=9.重难点2一元二次方程的应用某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进I(X)个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2019年单价为200元，2019年单价为162元.(1)求2019年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【思路点拨】(1)设2019年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为X,根据2019年及2019年该品牌足球的单价，即可得出关于X的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论.【自主解答】解：(1)设2019年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为X,根据题意，得200×(1-X)2=162.解得x=0.1=10%或X=1.9(舍去).答：2019年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的.百分率为10%.(2)在A商城需要的费用为162义90+(10099)=14742(元)，9在B商城需要的费用为162X10OX元=14580(元).14742>14580.答：去B商场购买足球更优惠.【变式训练3】(2019兰州)王叔叔从市场上买一块长80皿，宽70刖的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长Xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3OOOcm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C)A. (80-)(70-)=3000B. 80×70-4x2=3000C. (80-2x)(70-2x)=3000D. 80×70-4x2-(70+80)x=3000【变式训练4】某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.现在要使利润为6120元，每件商品应降价（八）A.3元B.2.5TUC.2TUrD5元【变式训练5】(2019通辽)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请X个球队参赛，根据题意，可列方程为IX(X1)=21.方法指导I列一元二次方程解应用题的常见关系:(1)平均变化率问题：若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为a(1.±x)2=b;利润(2)利润问题：利润=售价一成本；利润率=最无X100%;(3)矩形面积问题镶边矩形：如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S=(a-2x)(b-2x);内嵌十字架型矩形：如图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子，此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S=(a-x)(b-x).易错提示I要检验方程的解是否符合实际意义.考点1一元二次方程及其解法31.（2019临沂）一元二次方程y?y；=0配方后可化为1010I03I03A.(y+1)2=1.B.(y-2)=1C(y+R=WD(y-=42. (2019宁夏)若25是方程x2-4x+c=0的一个根，则C的值是（八）A.1B.3-3C.1.+3D.2+33. (2019铜仁)一元二次方程x24x+3=0的解为(C)A.x=-1.,X2=3B.x=1.,X2=-3C.X=1.,X2=3D.X1.=-1,X2=-34. (2019柳州)一元二次方程x29=0的解是x=3,X2=3.5. (2019淮安)一元二次方程X2-X=O的根是x=0,X2=1.6. (整体思想)(2019扬州)若m是方程2x23x1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为2018.7. (2019荆门)已知x=2是关于X的一元二次方程kx2+(k2-2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为一3.8. (2019黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x210x+21=0的根，则三角形的周长为至.9. 选择适当的方法解下列方程：(1)x2-5x+1=0;解：X25x=-1.X25X+(1)2=1+(1)2.(5、221(xR不X-1=粤5+215-21所以Xi2'X22-(2)(-3)(-1.)=3;解：方程化为x24x=0.r(-4)=0.所以X1.=0,X2=4.(3)2x2-22x-5=0;解：A=(2吸)24X2X(5)=48._2¾±_2¾±45_g2#X2X242.诉I、1也+2小2-23所以xi2，X22-(4)(y+2)2=(3y-1.)2.解：(y+2)2-(3y-1.)2=0.(y+2+3y-1.)(y+2-3y+1.)=0.(4y+1.)(-2y+3)=0.4y+1.=0或一2y+3=0.13所以yi=一不y2=2考点2一元二次方程根的判别式10.（2019上海）下列对一元二次方程2+-3=0根的情况的判断，正确的是A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.有且只有一个实数根D.没有实数根U.（2019山西）下列一元二次方程中，没有实数根的是（C）A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5-212. (2019、吉林)若关于x的一元二次方程x2+2-m=0有两个相等的实数根，则m的值为二1.考点3一元二次方程根与系数的关系13. (2019眉山)若,0是一元二次方程3x?+2x9=0的两根，则的值是(C)_4_5858a27B-27C-27DZ714. (2019长沙)已知关于X的方程x23x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为215. (2019德州)若Xi,X2是一元二次方程x2+x2=0的两个实数根，则X1+x2+x1x2=二3考点4一元二次方程的应用16. (2019大连)如图，有一张矩形纸片，长10c机，宽6。相，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32。川，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是XM:,根据题意可列方程为(B)A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-)(6-)=32D.10×6-4x2=3217. (2019绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(C)A.9人B.10人C.11人D.12人18. (2019沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本.解：(1)设每个月生产成本的下降率为X,根据题意，得400(1-x)2=361,解得xi=0.05=5%,X2=1.95(不合题意,舍去).答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361X(15%)=342.95(万元).答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.19. (2019盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若降价3元，则平均每天销售数量为笈件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？解：设每件商品降价X元时，该商店每天销售利润为1200元.根据题意，得(40-)(20+2x)=1200.整理，得2-30x+200=0.解得X1.=I0,X2=20.要求每件盈利不少于25元，.X2=20应舍去,.*.x=10.答:当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.20. (2019咸宁)已知一元二次方程2x?+2x1=0的两个根为Xi,x2,且x1<x2,下列结论正确的是(。)A.x+x2=1.B.xX2=-1C.x1<x2D.x+x=21. (2019潍坊)已知关于X的一元二次方程mx?(m+2)x+号=0有两个不相等的实数根Xi,X2.若(+=4m
