等差等比数列知识点梳理与经典例题.docx

A、等差数列知识点及经典例题一、数列由4与S”的关系求册由S"求4时，要分n=1.和nN2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为巴=<ST(11=1)SfTd2)K例1根据下列条件，确定数列%的通项公式。(I)Q1.=1.¾r-=3f1.+2j(2) =1>an-=(m+1)w；2S,分析：(I)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化，而后利用句与S”的关系求解。=4+2:+÷1.=3(art÷1.)>:1=3,解答：(I)-G+I-3%十2,+1.二数列an÷1.为等比数列,公比q=3,又a÷1=2-Qn+=71+1.0n+1=23r1.=23'-1.VrM=(九+1)1,(2)-7b-n-1j一=3,/,%1.a_Iea累乘可得=,X"-1)X"-2)×X3X2X1=11!.故册="!.由崂g得S,=(&、2)(3) Z6a>2肝_Qq_(为+2M(%I+2»当B2时，4Sn-Sn-I-gg，8=(n÷an1÷4)(-),(n÷,I)(11-an-4)=0>VnO,÷71.>O,1.-o4=0,即4=4,二数列%为等差数列，且公差d=4.寸C(«+2)又=Si=，O二=2ja=2+4(n一D=4九一2.二、等差数列及其前n项和(一)等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，%4=d(常数X2),第二种是利用等差中项，即24=4+%52)°2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。(1)通项法：若数列册的通项公式为n的一次函数，即%=An+B,则%是等差数列；(2)前n项和法：若数列的前n项和S“是S,=A/+B的形式(A,B是常数)，则4是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。k例已知数列%的前n项和为S“，且满足5“Sm+2S“Sm=0(2),%=;(1)求证：工是等差数列；(2)求的表达式。分析：(1)S“SI+2S“SI=0与；一的关系结论；(2)由的关系式"S”的关系式"a”St1.解答：(1)等式两边同除以SjS"得'-工+2=0,BP-=2(n2).是以二,二2及n-1CfCrCfCfCrCf为首项，以2为公差的等差数列。1111(2)由(1)知=+(n-1)d=2÷(n-1)×2=2n,.*.S=,当nN2时，a2SS1:S"Sn2nnn-12n(n-1.)又.=g,不适合上式，故。=<IS=I)(112)211(11-1.)【例】已知数列丽的各项均为正数，“I=1.其前项和S“满足2S"=2p成+期一PgR),则.的通项公式为.Q1.=1,2qi=2q?+qi-p,即2=2p+1.-p,得=1.于是2Sz=2底+斯一1.当112时，有2S11-12cH1.-1+a11-11,两式相减，得2an=22c-an-an-1,整理，得2a11-a11-)ana11-5)=0.又;斯>0,.斯一斯1=；,于是斯是等差数列，故斯=1+(1.I)士=(二)等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式4二%+(n-1)d及前n项和公式Sn=、4+%)=M+"51)d,共涉及五n22个量,猴，d,n,S“，“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为91.=4+%4=+(1)4,故数列2是等差数列。n222nK例1已知数列%的首项为二3,通项=2"+夕(双*,夕为常数)，且尤1，X4,看成等差数列。求：(1) PM的值;(2)数列%的前n项和S"的公式。分析：（1）由七二3与3，/成等差数列列出方程组即可求出夕应；（2）通过Z利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由玉=3得2p+q=3又羽=24p+4,x5=25p+5q,且X1.+x5=2x4,得3+22+5=+由联立得=1.q=1。（2）由（1）得，Z=2"+S”.T一.z,*.w=2222"（1“23n）="I9.（1）乙J乙.（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。2、等差数列的简单性质：略典型例题1 .等差数列%中，若S=255“=100,则S3”2 .（厦门）在等差数列4中，g+G=4,则其前9项的和S9等于（A）A.18B27C36D93、（全国卷I理）设等差数列2的前项和为S,，若品=72,贝!|2+%+9=94、等差数列如的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（C）（八）130（B）170（C）210（D）1605.（湖北卷）已知两个等差数列七和耳的前项和分别为4和纥，且A=如手，则使得答为整数纥"+3bn的正整数孔的个数是（D）A.2B.3C.4D.56、在数列“中，若“=1.,ttn+=2÷3（111.）,则该数列的通项曲=.由斯+=2斯+3,则有斯+3=2（即+3）,g=2所以数列斯+3是以41+3为首项、公比为2的等比数列，即即+3=421.i=2"+,所以斯=2#一3.7、已知方程(“22%+m)(%22%+)=0的四个根组成一个首项为1的等差数列，则加一小的值等于.如图所示，易知抛物线y=x22x+m与y=x2-2x+几有相同的对称轴x=1,它们与X轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为XA=",35又A5=5C=C0,所以独=不XC=不故Ik川=IXW×IN8、在等差数列中，1=-3,115=5813,则数列曲的前项和S的最小值为.设公差为d,则11(-3+4或=5(3+7或13,d=.数列斯为递增数列.令&W0,3÷(n-1)0,w,."N*.29，前6项均为负值，JS的最小值为S6=一了.6 .若两个等差数列为和也的前项和分别为S和7；,且满足鼠=四纪，则"=.Tn+37 .(北京卷)(16)(本小题共13分)已知为为等差数列，且。3=-6,4=0。(I)求%的通项公式；(11)若等差数列j满足4=-8,b2=ai+a2+a3f求的前n项和公式解：(I)设等差数列的公差d。因为。3=6,%=。1÷2d6,所以1,解得%=T0,d=2a+5d-Q所以=10+(1)2=2"12(II)设等比数列2的公比为q因为，-a+2+¾-24,=-8所以的=24即”3所以2的前几项和公式为Sr1.=T)=4(1-3")i-q等差数列的最值：若4是等差数列，求前n项和的最值时，aO(1)若a>O,d>O,且满足，前n项和S"最大；1.¾÷10a<0(2)若aKO,d>O,且满足<，前n项和S最小；1.10(3)除上面方法外，还可将%的前n项和的最值问题看作S关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意N*°例已知数列%是等差数列。(1)若am=n,ar1.=m(m)，求.+；(2)若黑=%S71=m(m>n),求鼠+.解答：设首项为生,公差为d,z1r-,n-m1(1)由根=凡=根，a=-1m-n.*.am+nam+m+n-rri)d=+x(1.)=O.m=nai（2）由已知可得qn-mai2m(m1)d2,解得d=22n+m+mn-m-nmn-2(m+n)mnOz、(m+11)(m+11-1.),/、Si=+)q+2d=-(m+n)【例】已知数列斯的各项均为正数，S”为其前项和，对于任意的"N*,满足关系式2Sn=3斯一3.(1)求数列斯的通项公式；(2)设数列瓦的通项公式是为=藤W嬴，前八项和为，求证：对于任意的正整数人总有<1.解当n=1.时,由2Sn=3an3得,2a=3a3,6Z1=3.当；时，由2S=3b一3得，2Sn-=3an-3.两式相减得：2(SnSn-')=3an3an-1,即2an-3an-3an-,.an=3an-i,又.=30,斯是等比数列，"=3".验证：当扑=1时，Q1.=3也适合念=3”.斯的通项公式为an=3n.(2)证明*b11-=iVjq11+iIog31.og3+11.og33111.og33111 1(11+1.)11nn+1.,*Tk=+211bn=d-+-)+-等差数列习题1 .设a为等差数列，S为2的前刀项和，S=7,515=75,已知Tn为数列2的前刀项数，求Tn.n2 .已知数列%是等差数列，其前n项和为S“，的=6,S3=i2.（1）求数列%的通项公式；（2）求111S1.S?Sr1.12.解：设数列4的公差为，则S=T721+?（771）d.7a+21=7,：f'=75,k为+105d=75'f<3=2d=1S11.*.=<3+(7?-1)d=2-(771)'弟一弓=g'数列弓是等差数列，其首项为一2,公差为今：.Tn=n,(-2)11292=47?477114.解：（1）设数列%的公差为d,由题意得方程组%+2d=63x2，解得3a1+-d=121,二数列%的通项公式为%=%+(一1.)d=2扑，BPan-2n.d=2(2)，：an=2n,.*.Sn=n(n+1).1FHSIS?SnF1×2111+1.123+F1n(n+1)=1B、等比数列知识点及练习题等比数列及其前n项和（一）等比数列的判定判定方法有：(1)定义法：若色旦=乡为非零常数）或&=久q为非零常数且n2）,贝耳4是等比数列;anan-1.（2）中项公式法：若数列%中，%W。且心+=%+2（£N*）,则数列凤是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公