函数的单调性.docx

函数的单调性雨京师大附中向淮林一、内容和内容解析函数的单调性是探讨当门变瞅*不断增大时，它的正数V增大还是只小的性质.如函数单间增衣现为“1.½若.1憎人.r也增大r这特征.叮南数的奇儡性不同.段数的奇偶件是探讨X成为相反数时，V是否也成为相反1.班函敬的对称帙质.函数的限调性与函数的极值类似，是函数的同部性质，在整个定义域上不肯定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大伤、圾小伯不问，它的是函数在整个定义域上的性质.困数日调性的探讨方法也几仃典型尊义，体现了对阙数探讨的般方法.这就是，加强数,与“杉”的结合，UiH观到抽gt：山特殊到般.首先借助对由数图奴的机赛、分析、归纳.发觉函数的埔.减改变的宜观特征.进一步At化.发觉增、t变数字特价.从而进一步用数学符号刻画.成数单调件的概/是探讨详细函数取调性的依据,在探讨函数的值域、定义域、最大信、址小值件件砥中行，K要危用（内剂）：在解不等式、怔明不等式、数列的件收等数学的其他内容的探讨中也有出婴的应用（外部）.可见，不论隹呐数内新还是在外部，画数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位.教学的重点是，引导学生对函数在区间（。，上“随者X增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间（b）上随意取M.加，当xVm时，有，（.）>（X）（城/m）<（x）=,则称由f（）羽才间（5/>>上单.调增域单调犍）.二、目标和目标解析本节课要求学生理献函数右:某M间卜.单调的意义,驾驭川南北单调性的定义宜明简洁南数在某区间上具有某种小两性的方法（步骤）.1 .能够以详细的例子说明某函数在某区间上是增修数还处减函数：2 .能够举例，并逸过绘用图形说明函数在定义展的次（区间上R行通调性，而在然个定义域上人必具仃小调性，说明除数的单调性是函数的局就性随：3 .对J个详细的函数，饯/用单谢性的定义.证明它是增除数还是诚函数：在区间上随意收此.4.曰M<*.作1/（KnCm,然后推断这个音的iE.长.从而证明南数在该区间上足增的数还是战演数.三、教学间迎诊断分析学生2行的认知狄础是，初中学习过函数的概:,初步相识到H数是,个刻画某些运动变数帚关系的教学概念；进入中学以后.乂进步学习了函数的概合，相识到函数是两个数4之间的-柠山吃学生汪广豺南数1：种菜东方法.特殊是可以借助图以对M数特务麻，；、”；：.此外汪学习过次在收、次画数、反比例由/等J1.1.响沾而详邹的函数.解它'：的区M"XtV.1.!It用：二:打.,，！；r.:'!小IJWRS1.-,一敛是上升的，函数是单.调增的；图/是卜降的.函数是单调减的”仅就图较用收自观描述南数胞调性的特征学生并不感到困难.困难在于,把详细的、直观形皱的函数单调件的特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“随/X的增大,Y也增大”（雌谓增)这特征用该IX间上“随意:的Me4.行f(XIc(g)'(单调增进行刻伍.K中难理解的足为什么要在区间上“防法”取两个大小不等的XI，a教一中.通过：次函数这个详细的数的图取及数值改变特征的探i1.得到“图丁是上升的“，相应隹,即“随在r的增大，、也用大：初步提出单调增的说法.通过探讨、沟通，止学牛.交试.就般状况进行刻画,提出“花奖M间上,假如对随意的火有f5)76)”则函数在该X间匕具自“图奴是匕开的“、“陋着X的增大.y也增大”的特价.进一步给出函数单调性的定义.然后通过辨析、缥习等带助学生理蟀这一概念.企图在节i¾中完成学生对函数维调性的H正理解可能是不现实的.在今用.学生通过推断函数的单调性,找力函景的单调区间,运用函数的单调性解决详细问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念.四教学支持条件分析为了有效实现教学目标,条件许可，可以借助计包机或者计算器绘函敏图象.冏时辅以坐标计算.跟踪点以及等手段视察函数的数字改变特征.五、教学熟本流程六'教学过程设计“函败的单调低”一课的教学过程设计(第一稿.请指示:1 .用好节前语，引出课SS函数是描述事物速动改变规律的数学模型.假如了解/函数的改变规律.那么也就与驭了相应事物的改变规律，因此探讨函数的性质非常必要.在事物改变过程，保持不变的特征就是这个产物的性质,-4忘4÷H二ft内第什么叫芈物的性m汕相贮问题1视图!中各个函数的图t.你能说说它们分别反映相应函数的哪次交规律叫？问题I现小图I斗咯午曲数的图t,你能说说它们分别反映后相应生数的咏用变规图1设计意图：从形到数，借助对函数图象的视察，想较相应的函数的性质.引导单调函数的“直观定义”.可能的回答是.第一个图中的函数图象自左而右是上升的：其次个图中的函数图象.自左而右，有时是上升的有时是下降的：第三个图中的函数图象，自左而右也是有时上升有时下降的，而且是关于）轴对称的.师：时于运动改变向鹿，加荔本的就是描述改变的快与慢、增与减相应的，函数的特征就包含：函数的增与减.我们把函数的这种性质称为“单调性”.老师结合上述直观相识,写出课题：函数的单调性.2 .函数单调性的“直观定义”结合上述直观相识，给出单调函数的“且观定义”；设函数的定义域为/,区间"u4一在区间。上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的,则林函数在区间。上是增函数.区间。称为函数的单调地区间：在区间。上,若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间/）上是函数，区间/称为函数的单调诫区间.例1（教科H第29页例1）图2是定义在区间1一5,51上的函数v="x）的图纹,依据函数图象说出函数的总调区间,以及在每一个单询区间上,它是增函数还是减函数？谀计意图：用“宜规定义”推断单两性，并强调单谓性的“同部性”T-图23 .函数单调性的“描述性定义”仪从图象上视察出函数的性质,只玷得到了“定性刻图”，对函数的改变状况只是“大致了解“，明显不泌，我们冷里“业化”，这样才能精确.老师借助几何画板作出函数y=/的图像，并在函数y=的图像上任画一点P,测号出其横坐标与纵坐标，制作表格.拖动点A表格自动增行.问题2依据函数的定义,对于自变瓜X的诲一个确定的值，变J1.tF行唯一确定的值与它对应那么，当一个谓数在某一区间上是单调增（或单调减的时候，相应的，自变业的值与对应的函数值的改变规律是怎样的嗯？设计意图：对函数的单调性的刻加,从图形的刻画过渡到数届关系,即从图形谱言的表述过渡到自然泄吉的表述.由上面的火格可见,点尸的纵坐标(即函数伯的改变规律：在区间(-8.0|±,Bfi若自变量K增大，南数值F削取：在区间0,+8)上.版着自变城X地大，函数值y也增大.由此得到雎谓函数的“描述性定义”：设函数的定义域为/,区间OG/一在区间。上,若随着自变量K增大.南数值)也增大，则称南数在区向。上是地函数：在区间。上，若随着自变量X埒大，函数值y反而减小.则称函数在区间。上是减函数.4 .从“定性定义"过渡到“定量定义”虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语宫的表述，但这样的描述还不是“此化”的.所以，要把定性的数M改变关系转化为定量的数讹改变关系.这是本课的曲点，也是难点所在.从上面的结论,可以存到.函数在区间。J1.是增函数.那么随着自变量X增大.函数伯y也增大.问题3假如对于区间Q,)上的前意X有/"(X)><f1.),则函数/()在区间(“)上国调增.这个说法对吗？消你举例说明理由(举例或者画图)理由.设计意图：接着企图通过对描述性定义的辨析，渐渐引出定居定义,必需是两个改变的盘的比较.问SS4_函数/i(x)在区间(,h)上有多数个自变量,使得当<x<x2<<<h时，(o)<<x)</(X1)<S,他不能说明它在"，b>单圜增？他说明理由(举例或者画图).设计意图；本问题较为贴近描述性定义，但这是对描述性定义的误会.通过对函数描述性定义的辨析，渐渐使得同学们相识到要使函数/(X在区间(5b)上具有单调墙的特征，必需允许自变Btx在区间(小b)上“随意取”,且只要“取两个”就好了.也给学生运用符号说明单调性以示范或提示.从上面的探讨可以看到，函数/()在区间(0,b)X>)fi/(x>>/(“)，也不能说明它在(“，)单调增：在区间(G就上有多数个自变量X，使得当VV应vv<hHF.()</<x)</(x2)<</(fc)也不能说明它在(,)常调增二_那么臼变麻X在区间Q,)上窕竟该怎样取便好呢？我们再来看一看详细的函数f()=F-老师利用几何画板演示：在困数/()=N的图象上，位于区间0,+8)任选两个点，自变量大的曲数值也泞定大_一并提出问题5在函数JU)=F,xc10,+8)的图象上反道任取两点，自变址大的函数值也杵定大，能否说明函数/(幻=F在0,+8)上单调增？设计息图：由问题4可见，刻画函数单调性不在于所取自变地个数的多少，关键在于是否能好随意取值,而且必需随意取两个一_这个问趣的答案是明叔的二老师弓上提出-“怎样用符号来表示？"-的问题.引导学生获得也是T"只要随意XI<4,MW/(X1.)V/(M)二即可经过分论.获得共识函数单询性的定义.i般地.设函数/（X的定义域为八.假如对于定义域/内的某个区间”上的陆意两个自变量的伯X“X2,当M<X2时，都有/（X1）<（t2）,那么就说函数/（X在区间Q上是增函数；对于定义域/内的某个区间。上的随意两个自变量的值XI，X2，当MVA时,都有/（为）>/（«）.那么就说函数/X）在区间。上是减函数.这个定义中的关键词是什么呢？是“题意”二字.5 .单调性定义的应用（课党练习）练习1位出反比例的数/（X=±的图象,并回答下列何趣：CD指出这个函数的单调性：（2）是否可以说“这个函数是定义域，上是单调减?"为什么？设计意图：通过详细何时,使学生相识函数的单词性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的同部性成（在整体上未必有.迸一步相识“随意”二字的意义，加深对函数单圜性的相识.答：（1）函数/（X）=：在区间（一8.0）上单调减，在区间（0.+8）上也单调减.（图象略（+2）这个函数的定义域/=（-8.0）U（0.48.不能说“这个函数在定义域/上是单调减”.事实上，取的=-1.m=1.,而f（-D=-,（1.）=1.（-1）</（1）.练习2物理学中的波利尔定律P=9是正常数）告知我们，对于肯定量的气体.当体枳V减小.张强。将增大.试用函数的单询件证明之.（教科书第29页例2）设计意图：函数单调件概念的应用,逐步驾驭利用总调性定义证明一个函数在某区间上具有某种单调性的步骤.加深对函数单圜性的理解.分析怎样来证明“体枳V减小，压强P将增大”呢，依据函数总调性的定义，只要证明函数P=符（”人是正常数）是M因数.怎样证明函数P=皓4是正常数）是减函数呢，只要在区间（0,+）（因为体枳1，>0）以1意取两个大小不相等的伯，证明较小的伯对应的函数值较大，即设HV妁，去证明例>龙.也就是只要证明四一位>0.证明：设V1.V匕，V.V2<0,+8）.kkkkk(V?-V1.)JKK-VJ"f西Fi=一匕因为人是正常数，v1<v2,所以话包p>p所以.体枳丫减小,压强P制增大.这。要提炼一下“依和i定义解造的0件44定义指明白热伟步骤6 .课堂小结老丁可以总结下探4的曲也方法：图形出现到数展