函数的基本性质教案.docx

我的函数的基本性质教案I.函数的单调性(1)设Nqw0同为工七则(-S-2)(xi)-(2)>Oo"WW>Oo外在1.上是增函数；X"X2(-x,)Gvi)-(a)<O<=>"A1.)二/区)<OO/(X)在”力上是减函数.一(2)设函数y=(x)在某个区间内可3,假如/V)>0,则/(x)为增函数：假如Jx)<O,则/(x)为臧函数.注：假如函数/V)和以外都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；假如函数y=/(“)和“=g")在其对应的定义域上都是减函数,则史合函数y=g*)是增函数.2 .奇偶函数的图象特征.函数奇偶性的判定奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，假如个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；假如个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.注：若函数),=/是偶函数，则/(x+)=/(Ti)：若函数y="+)是偶函数，则/(x+)=(-+)注：对J-函数y=/(x)(XGR),/(x+)=/S7)恒成立,则函数/(x)的对称轴是函数X=(；两个函数y=f(x+)与y=S-x)的图象关于直线x=3对称.2注：I若X)=(r+a),则函数v=f(x)的图象关于点(10)对称；若/(x)=-/(-V+G,则函数y=/(x)为周期为2«的周期函数.3 .多项式函数P(K)=%的奇偶性多项式函数P(K)是奇函数=P(X)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数oPU)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数)=(x)的图象的对称性(1)函数.¥=f(x)的图象关于直线X="对称<=>(+A)=f(a-X)=/(2-)=(.v).函数y=/(x)的图象关于克线.r=对称o/(+nv)=fib-tnx)f(a+h-nx)=f(nix).4 .两个函数图象的对称性函数=/(X)与函数产的图象关于直线X=O(即,轴)对称.函数V=八九r-。)与函数y=/(-“)的图象关于直线X=空对2m称.(3)函数y=()和>=-'()的图象关于直线y=对称.25.若将函数y=(x)的图象右移。、上移个单位，得到函数y=(-)+。的图象；若将曲线f(,),)=O的图象右移“、上移个单位，得到曲线一,yb)=0的图象.5 .互为反函数的两个函数的关系f（八）=bof'(b)=a.27.若函数y=/供a+与存在反函数，则其反函数为,，=I1.r()-川井K不是y=f'(kx+b),而函数y=.f'(kx+b)是y=-J-()-/，的反函数.k6 .几个常见的函数方程(1)正比例函数/(x)=G,f(x+y)=f(x)+f(y),f()c.(2)指数函数/(x)=«/(+y)=/(*)/()，)J=0/0.(3)对数函数/(x)=1.og,.X,/(D)=/()+/(>),/(«)=1(«>0,«I).帚函数f(x)=Xa,KXy)=/(x)(y)(I)=Q.(5)余弦函数/(X)=COSX,正弦函数g(x)=sinx,/(x-51)=/(AW)+g()g(y),/(O)=1.1.im这=1.*ox7 .几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x)=f(x+a),则f(x)的周期T=a；(2) f(x)=/(+«)=(),或f(x+a)=°bhX(x+<i)=-(/(x)0),/(x)或;+*)-F(X)=/V+W(X)«0,巾,则/(x)的周期T=2a;(另解)先化简：/(x"2"+i*+1.+1.明显/为偶函数:从这可以看出，化简后再解决要简洁得多。(2)须要分两段探讨：设x>Q,.-x<O.(-x)(Ux.x)HU-r-r三-1(7x*1-x)=-f(*x+1.-x设x<.-x>O,.X-)-i<-x÷1.-V)-Iw?11-ta(1.-x-/(X)1.-x+-x当=0时f(4)=0,也满意f(A-)=-/(%)；由、知，对XeR有“一X)=-()./Cr)为奇函数:1.-0,.函数的定义域为X=±1,-Jj"=】E-INo.)=1.ogJ=0(=±1.),即A*)的图象由两个点A(-U0)与目(1,0)组成，这两点既关JJ，轴对称，乂关于原点对称，.f(x)既是奇函数，又是偶函数：(4)a耍分a>0与a<0两类探讨，!"函数的定义域框(-<M0U(O.a)1.当a0时，1.x+f1.f1.2-Ua>o.(x)g.当a0时,ZX力为奇函数;-1IaKo.一叵孑.取定义域内关于JR点丽的两能»当三-x-2a22；吗女,4。Q当汇用既不是奇函数，也不是偶函数.点评：推断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必需是等价变换过程(要保证定义域不变)。例2.(2002天津文.16)设函数f(x)在(-8,+)内有定义，下列函数：尸一"(*)I；尸*r(父)：尸一f(一X)；尸/'(X)-f(-')必为奇函数的有(要求填写正确答案的序号)答案：；解析：y=(x)(X)1J=一"(")=-y；y=f(.-x)-f(y>=-ya点评：该题考察了推断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维实力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例3.(2002上海春，4)设是定义在R上的奇函数，若当*20时，r(x)=Io所(1+a).则f(-2)=o答案：一1：解：因为*20时，f()=1.o1(1+-),又为奇函数，所以(x)=f(%),设XV0,所以f(x)=f(.x)=f(1.-x),所以r(-2)=-1.og,3=-1.°点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在劝称区域上函数的取值。例4.已知定义在R上的函数*/U)满意"2+x)=(2-x),且人力是偶函数，当*0,2时，f(x)=2x-,求x-4,0时HX)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间-4,0分成两段考虑：若x一2,0,0,2,.U)为偶函数，当*-2,0时，/Ir)=f(-)=-2-,若-4,2),4+j0,2),.,2+)+f(2-),.*.,)三f(4-),.f(x)=f-)=/(4一(-A)=4+x)=2(a÷4)-1=2户7；pr+7(-4x=2)综上，I-2*-1(T<O)点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：推断证明函数的单调性/(x)三÷4例5.(2001天津，19)设。>0,/是R上的偶函数。(I)求。的值；(2)证明，(目在(03W)上为增函数。1Iar«，.解：(1)依题意，对一切xwA,有/(0=(x),即二匚?。(-1")s/'=O对一切XWA成立，则,.=±1.,.,>0,.=1.,(定义法)设°q<马，则“6(R=j"k7TX六-D=dgi-畛二fij>O,>O,->O得j+x2>0rt-1.>01一才3<o,.()-x3)<0,即0)<),.)在(0,HD)上为增函数。(导数法).=1.,jct(0,w)rw=(÷4=*,-A>o.(0在(Qhd)上为增函数点评：本题用两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例6.已知八x)是定义在R上的增函数，对xR有()>0,且/(5)=1,1设户(X)=(a)+,探讨尸(动的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应当用单调性定义解决。在R上任取汨、x2,设XK吊，,/XxJ=f(x1.),*,-txw+7-1.K)-)-)1.f(*)是R上的增函数，且F(IO)=I,当晨10时0</UX1.,而当*>10时/Cv)>1.;若航<是<5,则0<U)<F(m)<1,另法(仅限"i卬能够解出的状况)：8s'"-Res。+2R一2>0对于0G0,恒成立，等价于於(2es'<(28S)对于G0,2恒成立当"WO,G时，(2-s2)(2-cos0)W4-2>5,点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例11.(2002全国理，21)设a为实数，函数f(幻二+|x川+1,XR"(1)探讨/C)的奇偶性：(2>求/(*)的最小值。解:(1)当斫0时.，函数F(一幻=(-)2+-+1=,(x),此时£3为偶函数。当a#0时，f（八）=+1.,(-a)=+2a+1.,(-a)f（八）,(-a)-f（八）此时函数F(X)既不是奇函数，也不是偶函数。13(2)当a时，函数r(x)=f-m1.=(X-2)41若aWE,则函数/Xx)在(-8,G上单调递减，从而，函数r(x)在(一8,a)上的最小值为f（八）=a2+1.0113若a>Q,则函数F(X)在(-8,a上的最小值为F(G)=彳+小1且/(石)Wf（八）。13当a时，函数f(x)"+*m1.=(+2)'a+4<.113若a-5,则函数r(x)在+8)上的最小值为(-Q)=4-1a,且f(-G)Wf（八）。1若<?>-2,则函数f(x)在a,+8上单调递增，从而，函数f（八）在a,+上的最小值为r（八）=J+1。13综上，当aW一豆时，函数f(x)的最小值是711当一QVaWE时，函数f(*)的最小值是才+1。13当时，函数f(x)的最小值是界展，点评：函数奇偶性的探讨问题是中学数学的基本问题，假如平常留意学问的积累，对解此题会有较大帮助.因为WRf(0)=+10,由此解除F(X)是奇函数的可能性,运用偶函数的定义分析可知，当犷0时，f(X)是偶函数，第2题主要考查学生的分类探讨思想、对称思想。例12.设用是实数，记伊(例m>1,/(x)1.og1.(Ar1-4w+4f1.f+f1.r三-1.)«.(1)证明：当加RW时,f(*)对全部实数都有意义;反之，若八力对全部实数都有意义，则0思(2)当m，时，求函数人力的最小值；(3)求证：对每个mM函数f(x)的最小值都不小于U1证明:先将f(力变形：)=1.ogj(%2w)'÷z÷三-1,I当/“EV时，11i>,(%f1.)+H-三-I>0恒成立,故/X力的定义域为R反之，若/U)对全部实数X都有意义，则只