微分几何练习题库及参考答案(已修改).docx
微分几何复习题与参考答案一、填空题1 .极限IimK期、1万-力+E=13r-8+*.2 .设W)=(Sinr)i+rj,g()=(r+1)1+j,求im(2)gS)=_Q.H3 .已知，rm=T,2,3),p(r)dz=-2J,2,«=2.1,1,fr=1.-I.O),则J)Xr()(1.f+bfar(k=3,-9.5).4 .己知产=4(0为常向量)，则Fa)=m+d.5 .已知产S)=依，(G为常向量),则Aa)=-Ca+c.26 .4“贴近”空间1.线的直线和平面分别是该曲线的一切线和亲密平面一.7 .曲率恒等于零的曲线是反线.8 .挠率恒等于零的曲线是平面曲线.9 .切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为一般副线.10 .曲线/=%)在/=2处有方=3#，则曲线在/=2处的曲率K=_3_.11 .若在点(4,%)处,彳0,则3“,%)为曲面的一正常点.12 .已知/(/)=(2+1)了+(Inr)E,f()=(sin-(cosr)J.r>0.'J(gk=2-6cos4.13 .曲线了(，)=/4在随意点的切向贵为心犷石卜14曲线迎)=acosht,aSinh,m在r=0点的切向量为0,.15 .曲线")=.cos7,sin.M在r=0点的切向量为,Z>.1y一16 .设曲线UX=e,y=e1=J,当,=1时的切线方程为=三1.e2e17 .设曲线K=e'cos”=e'sinr,z=。'，当r=0时的切线方程为XT=Iy=z-1.18 .曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是一fA三e.19 .一曲线(y一曲线)的正交轨线的微分方程是£d“+Fdy=O(d"+Gdv=O),20 .在欧拉公式4,=KCoS,O+&sin*中，夕是方向(加.与“一曲线的夹角.21 .曲面的三个基本形式1.U,HI、裔斯曲率K、平均曲率H之间的关系是HI-2【1+KI=O.22 .已知(“4)=“+v,"-v,uv,其中“=/.v=sinr,则=2r+cosr.2，-8sf,2vr+"co23 .已知3®)=acoseCOS仇"cos夕sin®,sin.,其中W=r,=t',则=-43nOCOS-2«/CaSeM1.1，-asin8sin0+2"cos°cos”,cos>.24 .设>=«“,v)为曲面的参数表示，假如己X"则称参数曲面是正则的：假如八GTr(G)是一一对应的，则称曲面是简洁曲面.25 .假如“-曲线族和V-曲线族到处不相切,则称相应的坐标网为正规坐标网.26 .平面«“.，)=Wm0的第一基本形式为电»匕，面积微元为她.27 .悬链面f(".v)=cosh"cosy.cosh"sinvM第一茶本量是K=cosh%F=0,G=COSiu.28 .曲面z=,r，上坐标曲线x=%,y=此的交角的余弦值是IS±4+Xi+/%?)29 .正螺面r(w.v)=Msv.wsin'.bv的第一基本形式是d/+面+从Xhj.30 .双曲地物面(",V)=("+v),仅M-V),2wv的第一基本形式是('+Z+4)dJ+2(/-h'+4wv)drdv+(1+h'+4mJdv1.31 .正螺面r(u,v)=tcosvj/sinv,v的平均曲率为0.32 .方向(d)=d“:dv是渐近方向的充要条件是4(4)=0或，.而+2M,A"%+W/=0.33 .方向(d)=du:dv和()=w:Sv共匏的充要条件是IUdr.r)=。或ZdwE+M(du<|>v+d,u)+Ndv6v=0.34 .N是主曲率的充要条件是f.=0.AF-MAG-N35.(d)=d"S是主方向的充要条件是EAu+FdvFd+GdvJv'1.du+AfdvCT.=OpXEMd”十NdV-dudvdFG=0.MN36 .依据罗德里格斯定理，假如方向(d)=(d“:dv)是主方向，则曲=-kndr,其中人,是沿方向(d)的法曲率.37 .旋转曲面中的微小曲面是谢或悬徒面.38 .测地曲率的几何.意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的肯定值等于等)在，点的切平面11上的正投影曲线(C*)的曲率.39 .木勺,儿之间的关系是二40 .假如曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为041 .正交网时测地线的方.程为=-cos-1T=Sineds2EG2GEducos而dvSine飞F42.曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1 .已知r(r)=e*e,则F(O)为(A).11.0.1；B.-1.,0,1.；C.0J.1.；D.1.,0.-1.2 .已知尸")=(，),4为常数，则/为(C).1.xB.H：C.es'diD.ed.其中。为常向量.3 .曲线(C)是一股螺线，以卜命题不正确的是(D).A.切线与固定方向成固定角：B.副法线与固定方向成固定角：C.主法线与固定方向垂直：D.副法线与固定方向垂直.4 .曲面在每一点处的主方向(A)A.至少有两个；B.只有一个：C.只有两个：D,可能没有.5 .球面上的大圆不行能是球面上的(D)A.测地线；B曲率线：C.法截线：D.渐近线.6 .已知)，)=.%)，,小,求小j(1.2)为(D).A.ck,d),tk+2d),：B.dr+d>',d.v-dy,)：C.d,v-dy,dr+dv,0：D.dr,dy,2dx+dy.7 .圆柱螺线尸=cos,sin"的切线与Z轴(C).A.平行：B.垂直：C.有固定夹角巴：D.有固定夹角二.438 .设平面曲线C4=(三),s为自然参数，圆方是曲线的基本向盘.叙述错误的是(C).A.d为单位向盘；B.d1.dzC.d=-k0；D.=-ka+y.9 .直线的曲率为(B).A.-1；B.0；C.1：D.2.10 .关于平面曲线的曲率C疗=网S)不正确的是(D).A.k(三)=<()：B.A(三)=I飘s),。为4($)的旋转角：C.Jt(5)=-sD.(,v)=>(.?)1.11 .对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）.A,充分不必要条件：B,必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件：D.充要条件.12 .下列论述不正确的是（D）.,y均为单位向量；B.<21.iC.1.D.13 .对于空间曲线C,“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）.充分不必要条件：B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件：D,充要条件.14 .X=4"-sin。,），=（1.-cos）,z=Msin1在点I=工的切线与2轴关系为<D）.22A.垂宜：B.平行；C.成巴的角：D.成色的角.3422215 .椭球面E+=1.的参数表示为（C）.a'b'c'.x,y,z=cos”OSacOS0sinasin夕:B. .r,y,z=acoscom0,hcos>sin0,Sin：C. x,y,z=acos88s,cos0sin，,c$inW：x,y,z=aCoSeCOS4力SineCos。,CSin2。.16 .曲面下（“,1，）=2“-1，,“2+1，“'_叫在点“（357）的切平面方程为（B）.A.21.v+3,y-52+20=0：B.18.v+3y-4-41=0：C.7.t+5,y-62-i8=0;D.18x+5y-3z+16=0.17 .球面1（"J）=?CoS“cosI1,/?COS“sinv,拉sin”的第,基本形式为（D）.2（d+sin2dv2）；B.R2（du2+cosh2rdv2）；C.i（dr+sinh2wdv2）；D.R2（du2+cos2zdv2）.18 .正圆柱面/1（",v）=?CoSHASinVM的第一基本形式为（C）.A.dw:+dv2：B.du2-dv2：Cdu+R2dv2：I）.d«*-2dv2.19 .在第一基本形式为Md/"）=dM+Sin1.fm1./的曲面上，方程为“=v（v,vS匕）的曲线段的<长为（B）.coshv,-coshv1sB.sinhv,-sinhv1.；C.coshv1.-coshx,2；D.sinhv1-sinh,.20 .设/为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）.A.E=0:B.F=OsC.G=0;D.M=O.21 .高斯曲率为零的的曲面称为（A）.A.微小曲面；B.球面：C.常高斯曲率曲面：D.平面.22.曲面上直线（假如存在）的测地曲率等于（A）.0：B.1；C.2;D.3.23.当参数曲线构成正交网时,参数曲线U-曲线的测地曲率为（B）.InEIC1.nE比2在&，三B.7=-；2GOv1,1<5InG12InEc2E加：D.=.2G5u24.假如测地线同时为渐近线，则它必为（A）.直线：B.平面曲线：C.抛物线：D.圆柱螺线.三、推新题（正确打J,错误打X）1 .向量函数r=>具有固定长度，则/！尸（r）2 .向量函数尸=N/）具有固定方向，则0%）.3 .向量函数W关乎，的旋转速度等其微商的模|/（".×4 .曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺纹×5 .若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.6 .圆柱面尸=R8se.Csin6.z）.z-线是渐近线.7 .两个曲面间的变换等矩的充要条件是它们的第一基本形式成比例.X8 .两个曲面间的变换等用的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9 .等距变换肯定是保角变换.10 .保角变换肯定是等距变换.X11 .空间曲线的位置和形态由曲率与挠率唯一幽定,×12 .在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯，X13 .若曲线的全部切线都经过定点，则该曲线肯定是直线.714 .在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向.15 .高斯曲率与其次基本形式有关，不是内蕴量.×16 .曲面上的直线肯定是测地线.17 .微分方程A（",v）血+B（,v）4i，=0表示曲面上曲线族.×18 .二阶微分方程A（“.v）市J+28（"j,）d“小+C（".M小；=0总表示曲面上两族曲线.X19 .坐标曲线网是正交网的充要条件是产=0,这里/是第一基本量.20 .高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲而21 .连接曲面上两点的全部曲线段中，测地线肯定是最短的×22 .球面上的圆肯定是测地线.X23 .球面上经线忖定是测地线.24 .测地曲率是曲面的内苑址四、计算题1 .求旋轮线X=(r-sinr),y="(1.-CoSr)的0r2乃一段的煎长.解旋轮线>
