-有限元分析法概述.docx

W-WA(y)=(v+uy)t_dy>v-I/)第十一章有限元分析方法概述1、根本概念有限元分析方法是随着电子计算机的进展而快速进展起来的一种现代没计计算方法。它是20世纪50年月首先在连续体力学领域一飞机构造睇、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题“在工程分析和科学争论中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题.如位移场、应力场和温度场等问题.求解这类场问感的方法主要有两种：用解析法求得准确解；用数值解法求其近似解。应当指出，能用解析法求出准确解的只是方程性质比较简洁I1.几何边界相当规章的少数问题。而对于绝大多数问题,则很少能得出解析解。这就需要争论它的数值解法，以求出近似解。目前工程中有用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用的为广泛.下面通过个具体例了，分别承受解析法和数值解法进展求解，从而体会下有限元分析方法的含义及其相关的一些根本概念。如以下图所示为变横截面杆，杆的端固定，另端承受负荷P.试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。其中，杆的上边宽度为W,下边宽度为W,厚度为t,长度为1.12杆的材料弹性模量为E。P=4450&W=50nm,W=25wn,f=3rm,/，=250mn,E=72GPa,承受解析法准确求解,2假设杆任一横截面面积为H(y),其上平均应力为。，应变为£.依据静力平衡条件有：P-11A(y)=Q依据虎克定律有:C=EE而任横截面面积为:任一横截面产生的应变为：C=%dy将上述方程代入静力平衡条件，进展变换后有：jPJ1.au=.ayEA(M沿杆的长度方向对上这两边进展积分,可得：/加=PdyJOO1.Ay)OWEtw+1招4川表达式代入上式，并对两边进展枳分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量：P1.w-wu(y)=111(W+Uy)-InwFt(iv-iv)i1.i当分别取0,62.5、125,187.5.250值时，变截面杆相应横戕面处的沿杆长方向的变形量分别为：u=Om;u=27.51×1()-*m;U=59.27x10WU=96.83X1.oYm:u=142.80×IO*>/nI2344承受数值解法近似求解T1.1.大X3X4单单单单12345fPU1.7TWW将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段承受等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变故面杆横极面面枳的平均面枳表示，每一小段称为一个总元，小段之间通过节点连接起来。这样，变横截面杆就可以用5个节点和4个单元组成的模型来近似表示，如右图所示。假设任一横截面面积为,长为/的等截面直杆，在轴向拉力F的作用产生.变形量/,则该直杆横截面上的应力和应变分别为：ct-f/AI依据庞克定律：=Fc可得：F=W上述方程与线性弹筑的方程尸=依极为相像，说明一个中心点集中受力且横截面相等的等截面直杆可以等效为一个弹簧，其等效刚度为：k=任eqI因此，变横截面杆可以看作由四个线性弹簧串联起来的模型来近似表示，如以下图所示,每一个单元都可以视为一个线性弹簧，其弛性行为符合以F方程：f=k(U-U)=ANiiE(U)=!'.二'J'(u-U)V，/1i2/1/下面考虑每一个节点的受力，依据静力平衡条件，每一个节点上的受力总和为O,即：节点hR-k(u-U)=01121节点2：k(u-U)-k(u-U)=0I21232节点3：*(“一U)-Aw-U)=O25234J节点4：N(UjUJ-kjuJUj=O节点5：k(u-u)-P=O聘反作用力R1.和外力P从内力中分别出来，IR对上述五个方程组成的方程组进展变换,得：节点1：ku-ku=-RIII2I节点2：-ku+(k+k)uku=OIII2223节点3：-ku+(+k)u-ku=02223334节点4：-ku+(k+k)u-ku=03334445节点5：-ku+kU=P44S5将上述方程组写成矩阵形式，仃：一-4000I-kk+k-k°°II2，400-k+-k0U=0223y3o0心k,+k,-k*01.000-(AJI1.P将反作用力和外力分别出来，可以重组上述矩阵,得:'-RIkI-k0Io0Uj0-I0-f1<+k,-A,o0U200=0-A,k+k*23-kS0%001.001.00-,0oK+k,-A40P写成一般形式，可得：R=IKU-F即表示：反作用力矩阵=总体刚度矩阵位移矩阵T负荷矩阵10000U0-kIk+kI2-k00IU200-kk+-k0U=0223330o'-ky-kW401.00-k4k4U5jP£1.<>wiz.1节点/单元，节点i+1引入边界条件，依据此题的要求，节点1的位移为0,即U=O,则有如下矩阵形式:通过求解上述矩阵方程，可得每个节点的位移，进而可以求得每个节点的反作用力，每一个单元的应力和应变。即：CU-U=，”，O=EE依据变横截面杆构造的参数可得：1.W-W/=(>2,5mmA(y)=(W+uy)t=150-0.3y当y=O时,A=15Omnn1.'0.31.0.3×250当v=_时，A=150-=150-=131.25mmz424421.0.3×21.0.3×2×250当y=时,A=150-=150-=I1.2.5mm?V3-431.0.3×31.0.3×3250当y=时，A=150-=150-93.75njznzT4-4当y=1.时，A-150-0.3X=150-0.3×25075mnu包个单元的等效刚度系数k=竺，坦e21k.空上=吧吧丝吧=162X他N/M1 212×62.5k_巴+A.J"=(131.25+112.5)x72x1*=1404X1.(XN/M2 21265k_巴+”"=(1125+93.75)x72x106=880eNM3 212T65.(4+4)E(93.75+75)×72×106Q704.a.f.k_'4,='=97.2x106N/M4212x62.5总体刚度矩阵：162-1620001,-162162+140.4-140.400Kg=佃0-140.4140.4+118.8-118.8000-118.8118.8+97.2-97.2000-97.297.2应用边界条件=0和负荷P=4450/V,可以得到：110。00pif0-162162+140.4-140.4O0Iu2°IOe1.0-140.4140.4+118.8-118.80Ii/=000-118.8118.8+97.2-97.2fU40000-97.297.2JuJ445J求解该方程，可得：U=011j;u=27.47x10。】；u=59.16×10em；u=96.62×10n;u=142.40x10如而第一种准确求解方法求得的每个节点处的位移分别为：u=0m;u=27.51×10-em;U=59.27×10m;U=96.83x10-，m;U=I42.80XIgm/较两种/果说明：承受数值漏法近似求解的结应与解析法准确求J的结果相当接近,假设将变横被面杆沿杆长方向分别成的单元越多，数值解法求解的结果将与准确解法求得的结果误差将会越来越小。2、有限元法的分析过程2.1 连续体离散化所谓连续体是指所求解的对象（物体或构造），所谓离散化就是将所求解的对象划分为有限个具有规章外形的微小块体，每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过假设干点相互连接，每个连接点称为节点。因而，相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，用这些有限个单元构成的集合体来近似代替原来的连续体。这种由单元和节点构成的集合体称为有限元分析模型。惑散化也称为划分网格或网格化.单元划分后，给每个单元及节点进展合理编号：选定坐标系，计算各个节点坐标：确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。以下图所示为将一悬皆梁建立有限元分析模型的例子，图中将该悬臂梁划分为很多：.角形单元，三角形单元的三个顶点都是节点。构造赵散化后，单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来，单元节点的设置、性质、数目等应视具体问题的性质、描述变形形态的需要和计修精度而定。所以有限元法中分析的构造己不是原有的物体或构造物，而是同样材料的由众多单元以肯定方苴连结成的鹰散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。假设划分单元数目格外多而又合理，则所获得的结果就与实际状况相接近。2.2 雌元特性分析连续体离散化后，即可对单元体进展特性分析,简称为单元特性分析.单元特性分析主要有两项：选择单元位移模式（位移函数）和分析单元的特性，即建立单元刚度矩阵。依据材料学、工程力学原理可知，弹性连续体在载荷或其他因素作用下产生的应力、应变和位移，都可以用位置函数来表示。为了能用节点位移来表示雌元体内任一点的位移、应变和应力，必需对各单元中位移的分布作出某种假设，也就是假定单元中任一点的位移是单元节点位移的某种简洁的函数，以此模拟单元内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数，选择适当的位移函数是有限单元法分析与计算中的关键，通常承受多项式作为位移模式。由于多项式的数学运算比较便利，并且全部光滑函数的局部都可以用多项式靠近。至于多项式的项数和阶次的选择,则要考虑到单元的自由度和解的收敛性。般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数（单元节点独立位移的个数），多项式的阶次应包含常数项和线性项等。选定好单元位移模式后，即可进展单元力学特性分析，将作用在单元上的全部力（外表力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷。依据单元的材料性质、外形、尺寸、节点数目、位置及其含义等，应用有关的力学原理建立单元内节点力与节点位移之间的方程式，从而导出单元刚度矩阵。2.3 整体分析在对全部单元进展完单元分析之后，就要进展单元组集，即把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。2.4 确定约束条件由上述所形成的整体平衡方程是组线性代数方程，在求解之前，必需依据具体状况，分析与确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进