自考线性代数重点练习题05.docx

第五章相似矩阵及二次型1 .试用施密特法把以下向量:组正交化:'111、(1.)(q,.j=124;(139；解根据施密特正交化方法，(2)(,1.)=解根据施密特正交化方法,2 .以下矩阵是不是正交阵:1-112 34.11-1I32J解此矩阵的第一个行向量非单位向量，故不是正交阵.4-94-97-9-8-9I-94-9-1-98-94-9解该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵.3 .设X为，维列向量,x=I,H=E-Zxxt,证明，是对称的正交阵证明因为H=(E-2xx)=E-2(xx)=E-2(xx)=E-2(x)x=E-2xx,所以是对称矩阵.因为H,H=HH=(E-2xx)(E-2xx)E-2xx-2xxr+(2xx)(2xx1.)=E-4xx+4x(x'x)x,=E-4xx+4xxr=E,所以是正交矩阵.4 .设A与3都是阶正交阵，证明A8也是正交阵.证明因为48是阶正交阵，故A,=4B,=(AB)(AB)=BAAB=B-'AiAB=E,故A8也是正交阵.5,求以下矩阵的特征值和特征向量:f2-I2)(1)5-33;U0-2；2-125-3-23-1O-2-2解A-E=故A的特征值为QT(三重).对于特征值人-1,由得方程(A+E)mO的根底解系p=(1.,1,TE向量P1.就是对应于特征值=-1.的特征值向量.>Jz336213一-23解A-E=21-3=-(+1.)(-9),336-/1故A的特征值为否=0,2=-1.3=9.对于特征值九=0,由(23、A=2131336,得方程AX=O的根底解系P尸1)1向量是对应于特征值九=0的特征值向量.对于特征值右=-1,由、/310200200Zr一337223223zf1.m得方程C4+E)x=0的根底解系P2=(-1.,1,OE向量PI就是对应于特征值A2=-I的特征值向量.对于特征值右=9,由1."2oI1.o100,I-I，333一283一823得方程(A-90x=O的根底解系PE1./2,1/2,1咒向量Q就是对应于特征值=9的特征值向量.X1.m/100oO1.ooOo1.oO-OOIr_,I3)解A-E=100-AO1-2OO-1.O-OO1=-m+i)故的特征值为九=%2=-I,=I.对于特征值九=生=-1,由、/100o010-0O1.oo100o、/100iO1.1.oO1.1.o100i得方程(A+E)x=0的根底解系Pi=(1.o,0,-1)。pE0,1,-1,O)7,向量P1.和Pi是对应于特征值4=石=-1的线性无关特征值向量.对于特征值和=U=1,由-OOOOToOO1.oo100o100OIToOTIo7OOI得方程(A-E)X=O的根底解系p3=(1.,0,0,1.)r,p4=(0,I,1.,0)f,向量Pa和p是对应于特征值九=九=1的线性无关特征值向量.6 .设A为阶矩阵，证明A与A的特征值相同.证明因为A7-E1.=(A-2f)z=A-1.E7=A-1.1.,所以“与A的特征多项式相同.从而Ar与A的特征值相同.7 .设阶矩阵A、B满足R（八）+R(B)<n,证明A与8有公共的特征值,有公共的特征向量.证明设R（八）=r,R(B)=I,那么r+t<n.假设,做,a-是齐次方程组Ax=O的根底解系，显然它们是A的对应于特征值&O的线性无关的特征向量.类似地，设玩岳,瓦T是齐次方程组Bx=O的根底解系，那么它们是B的对应于特征值&O的线性无关的特征向量.由于ST)+(T)=A+(，1.rT)>，故«1,02,an-rtb1.,g,bn-t必线性相关.于是有不全为0的数kh机%,h,*,使k。|+&2。2+a"-,。"-汁/|6+/力2+/n-rbn-r=0.记产上+公生+fcr-zn-z=-(/1b+22÷+1.n->bn-),那么h%,ki不全为0,否那么几2,"不全为0,而Z>÷22÷÷n->>-r=0,与也,岳,b,线性无关相矛盾.因此，产0'rA的也是B的关于QO的特征向量，所以A与8有公共的特征值，有公共的特征向量.8 .设解一3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设2是A的任意一个特征值,X是A的对应于的特征向量，那么(42-3+2E)x=2x-3r+2x=(Z2-32+2)x=0.因为x0,所以#-3/1+2=0,即2是方程#-3/1+2=0的根.也就是说2=1或=2.9 .设A为正交阵，且IA1.=-1,证明=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵，所以A的特征值为-1或1.因为囿等于所有特征值之积，又网=7,所以必有奇数个特征值为-1是A的特征值.IO,设辰0是,阶矩阵Am“反的的特征值，证明2也是n阶矩阵BA的特征值.证明设X是AB的对应于辰0的特征向量，那么有(A)x=r,于是B(AB)x=B(x),或BA(Bx)=(Bx)i从而/1是BA的特征值、且Bx是BA的对应于Z的特征向量.11.3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求H3-5A*7A.解令4=万-5万+74那么仪1)=3,以2)=2,奴3)=3是d人)的特征值,故P-5A2+7AI=IdA)I=奴1)必2>奴3)=3x2x3=18.12 .3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求A*+3A+2.解因为IA1.=IX2(-3)=-60,所以A可逆，故A*=AA-i=-6A-',A*+3A+2E=-6A"+3A+2E.令破制=-6犷+3下+2,那么奴1)=-1,仪2)=5,d-3)=-5是W4)的特征值，故A*+3A+2E1.=I-6A'+3A+2E=（八）=(1.)X2)j(-3)=-1.×5×(-5)=25.13 .设4、8都是”阶矩阵.且A可逆，证明AB与BA相似.证明取P=4,那么P-iABP=A1ABA=BA,即A8与8A相似.(201)14 .设矩阵A=31-可相似对角化.求X.(405；解由2-01A-E=3-X=-(1.-1.)2(-6),405-得A的特征值为为=6,42=右=1.因为A可相似对角化，所以对于加加1,齐次线性方程组(A-E)X=O有两个线性无关的解，因此R(A-£)=1.山(A-E)=、J/1X4Ooo134rIO1.A00-3、000J知当-=3时R(A-E)=,即a-=3为所求.(215 .p=(1.,1.,-1.)T是矩阵A=5a2)3的一个特征向量.1.1.h-2)(1)求参数c>b及特征向量P所对应的特征值;解设/1是特征向量所对应的特征值、那么2-1(A-E)p=(),即5a-1b-2-k-1.1=0,解之得&-1,«=-3,任().(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解山2-A-E=5-1-12-3-A03=-1.)-2-得A的特征值为九=1.2=1.3=1.由1A-E=5-1-1-2b21/1013-10I-I000知R(A-E)=2,所以齐次线性方程组(A-E)X=O的根底解系只有一个解向量.因此A不能相似对角化.16.试求一个正交的相似变换矩阵、将以下对称阵化为对角阵：(220)(1)-21-2;(0-20)解将所给矩阵记为A山2-20-E=-2-2=(1.-2)(2-4)(+2),0-2-夭得矩阵A的特征值为/1尸-2,右=1,九=4.对于办=-2,解方程(A+2E)x=0,即f4-2OYa-23-2E=0.-22人一得特征向量征2,2),单位化得a=(,jr.对于小=1.解方程(A-E)X=O,即NW&202-120得特征向量(2,1.,-2)r,单位化得0=(*,-/.对于九=4,解方程(A4E)X=0,即(-2-2OYX1.-2-3-2X,=0,0-2得特征向量(2,-2,If,单位化向PEW于是有正交阵P=(",P2,P3),使-AP=diag(-2,1,4).22-2(2)25-4.1-2-45)解将所给矩阵记为A由2-22-2IATfI=25-4-4=-(-1.)2(1.-IO).-2-45-得矩阵A的特征值为九=G=I,九=10.对于九=右=1,解方程缶-4。，即.1JzOoo/Hk1.rA1.7YIA244二244得线性无关特征向量(-2,1,0)/和(2,0,1)T,将它们正交化、单位化得p1=-(-2,1,07,P?=志(2,4,5)、对于九=10,解方程(ATOOrT),即245二一254二822)o1.o=得特征向量(-2,2)。单位化得p<=*1,-2,2/.于是有正交阵P=(P1.P2、P3),使P3P=diag(1,I,10).1-2-4(5y17 .设矩阵A=-2X-2与A=-4相似，求x,y并求一个正-4-21y交阵P,使尸AP=A.解相似矩阵有相同的特征值,显然在5,=-4,=y是A的特征值，故它们也是A的特征值.因为&-4是A的特征值,所以5-2-4A+4E=-2x+4-3=9Cr-4)=0,-4-25解之得-t=4.相似矩阵的行列式相同，因为1-2-415A=-2-4-2=-100,IAb-4-4-21所以-2Oy=Too,产5.对于=5,解方程(A-5E)x=0,得两个线性无关的特征向量(1,0,(1,-2,0)7.将它们正交化、单位化得PI=忐(1，°，T)',P2=55T'D'对于在-4,解方程(A+4E)x=0,得特征向量(2,1,2)1单位化得p,=(2,1.,2)r.于是有正交矩阵尸=-2-31-32-3I2。-,使尸IAP=A.18 .设3阶方阵A的特征值为为=2,2=-2,A3=I;对应的特征向量依次为P1.=(0,1,1)TU1,i),P3=,o)i求a.解令P=(P,P2,P3),那么PTAP=diag(2,-2,1)=A,A=PA尸.332-35414419 .设3阶对称阵A的特征值为右=1,Z2=-I,4=();对应为、力的特征向量依次为m=(1.,2,2)p2=(2,1,-2依求4.Z、用工2&解设A=A2/，那么API=IPI,Ap?=-P2,即1+22+