线面角的求法总结.docx
线面角的三种求法1.直按法：平面的斜线与料线在平面内的射影所成的角即为H线与平面所成的地。通常处解由斜战段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的百角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用.例I（如图I）四面体ABCS中，S.SB.SC两两垂直，NSBA=45。,ZSBC=6（.M为AB的中点,求（UBe与平面SAB所成的角（2） SC与平面ABC所成的角.裤：VSC1SB.SCISA.,SC,平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影.：.ZSBC是出线BC与平面SAB所成的角为61.连结SM1CM.那么SM1.AB.又YSC1.AB,;.ABJ平面SCM1，面ABC_1面SCM过S作SH1.CM于H.那么SHj平面ABCCH即为SC在面ABC内的射影.ZSCH为SC与平面ABC所成的用，sinZSCH=SH/SC.SC与平面ABC所成的角的正弦值为JZ1.垂线”是相对的,SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与平面垂出的平面，然后一面内找出或作出交规的乖践，那么得面的垂戏.）2.利用公式、in=ht其中是斜戏与平面所成的角，h是看战段的长，I是斜戏段的长，其中求出乖战段的长（即斜线上的点到面的距离1既是关键乂是碓点，为此可用:.棱椎的体积自等来求垂线段的长.例2（如图2）长方体ABCD-AtBQDi.AB=3.BC=2.AiA=4,求AB与面ABCD所成的角。解：设点B到AB1.UD的距离为h.VbABiCi=VaBBiCi1.3SAB1.O,h=I/3S.BB1C.AB.易得h=1.25设AB与面ABiCiD所成的角为,那么Sin=h/AB=4/53.利用公式CoSe=COBeI8s6,（如图3）假i殳OA为平面的一条斜就，。为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为而内的一条直线.其中。为OA与OC所成的角,OI为OA与OB所成的角,即线面角.e2为OB与OC所成的角,cosO=COS01COS92（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条料纹和这个平面内的直线所成的切角中最小的用常称为最小地定理）例3（如图4）直线OA.OB.OC两两所成的角为60。.求宜城OA与面OBC所成的角的余弦¢3解：VZA0B=ZAC）C二OA½ftOBC内的射影在NBOC的平分线OD上.那么ZAOD即为OA与面OBC所成的角.可知NDOC=30o,cosZOC=cosZAOD-cosZC：.COS60。=COSZAODcos300：.COSNAoD=33：.OA与向OBC所成的角的氽弦依为J3/3.（一）复习r1 .直线和平面的位置关系：（平行、相交和直线在平面内）2 .思考：当直i与平面的关系是“Q=A时，如何反映且规与平面的相对位词关系呢？（Ur以用实物来演示,显然不能用H线和平面的距离来衡（二）新课讲解:I.平面的斜线和平而所成的角：,如图，Ao足平面的斜线，A是斜足，OB垂出于平面,8为垂足，那么H我AB姑斜线在平面内的射影.设AC是平面以内的任意条直在，且BCJ1.AC,垂足为C,又设A的与AB所成用为4,A8与AC所成角为仇.4。与Ae所成角为，,那么易知:IAB=AOCoSa.IAC=ABcosi=AOCOSaCoSi又.4C=4O1.Co$，可以得到：CoS0=cosayosO”注意："w(0,q)(假设"=：,加么由一:垂线定理可知，22OA1.AC,即8=t：与"AC是平面内的任意条直线,2易得：CoSe<cos又"。w(,g)即可得：<e.那么可以得到：(1：平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条内线和这个平面内的任一条出线所成角中最小的除(2)科税和平面所成用：一个平面的斜跳和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成用(或叫斜线和平面的夹角)。说明：I.假设。J.那么规定。与所成的角是直角：2 .黄设“或u,那么规定。与所成的角为O：3 .直规和平面所成角的范因为：O690；4 .直线和平面所成角是直料线与该平面内直线所成角的最小值(CoSe=COSacosq).2.例题分析：例1.如图.AB是平面的一条斜戏，5为斜足，Ao1.a,。为垂足，BC为内的一条出设,NABC=60,ZOIiC=45,求斜跳AB和平面所成角.解：YAO1.a.由斜线和平面所成珀的定义可知./A8O为八8和所成角.XVcos0=cosCOS,.cosZABCcos60Ij1.J2.cos乙ABo=-÷=,cosZCOcos45222ZBAO=45,即斜线A8和平面所成角为45.例2.如图，在正方体Aa中，求面对角践与为角面840。所成的角，K解1(法一)连结AG与44交于0,连结(阳.,:DDt1AC1.B1D11AC，.Ao±平面BBtD1.D.NABo是与对角面BBiD1.D所成的角，在心A1BO中，AiO=-AtB.Z41.(7=30.(法二)由法一汨NA5。是A8与对角面B40。所成的角，又cos/A".=Cos45=-,cosZ,B1.BO=,2°：.cosNA1.BO=£2%A明.=4=,.NABO=30.,cosZfi1.«02、T说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找到线在平面中的射影,后求斜线与其射影的夹角.另外,在条件允许的情况卜.用公式COSe=COSaCoS夕求战面角显得更加方便。例3.空间四边形八88的各边及对角线相等，求AC与平面BCO所成角的余弦值,解：过A作AOJ.平面88于点。，连接CO,80,。，VAB=AC=AD.；.。足正三角形HCN)的外心.设四面体的边长为“，那么Co=T”,：ZAOC=i×),：.NACO即为AC与平面BCD所成用,.cosACO=*,所以，AC与平面3C。所成用的余或位为噂33五.课堂练习：课本笫45页练习笫1,2,3题；第47页习题9.7的笫1题.六,小结：1,线面角的概念：2.COSO=COSacos，及应用步骤：,与在图形中所表示的角七.作业：课本第45页练习第4遨、第47页习题9.7的第2遨.补充：I如图，是平面的科线,NBAC在平面内.且满足N8AC=90,又ZPAB=ZPAC=6().求出和平面«所成的角，,2.如图，%_1.正方形A3C。所在平面，且PC=24.>8=>Q=6«?求Pe和平面A3C7)所成面所成的角.特别地,一直线垂直于平面，所成的角是亘角.一直送平行于平面或在平面内，所成角为0。角.因此,直线和平面所成角冠围：(0.本文举例探讨线面角的两种求解笫略.一、三ft妓面角的常规解法是先找到直线在平面内的射影,亘或与其在这个平面内的射影所成的角就是线面角.此时,大多需要过亘线上一点作平面的垂线.例1.正方体ABCD-EFGh的横长为a,点P在AC上，Q在BG上，且AP-BQ-a.求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切俱：分析I光作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGCj面ABCD,作QM1.BC于M,则MP就是QP在面ABCD内的射题,NQPM就是要求的角解作QMJ_BC于M,IIP.则NQMP就是亘娃PQ与平面ABCD所成的角则易得；QM-aMP-(1.-)aIanNQPM-=j2+解后反思:求线面角的常规?法是“一作、二证、三求”，“作”是解题的关C二、向里法空间中的角大多都能用向重方法求解.凡可建立坐标系的利用向量求解更为简捷.直线和平面所成角的向量公式，直线a的方向向量和平面的法向量分别为府和”.当加与片的天角不大于90。时,亘线a与平面所成的角等于M与«夹角的余角,当«与的天角大于9S时，直线a与平面a所成的角等于加与天角的互补的余角，所以直线a的方向向堂和平面a所成的角8满足：sn8吧M1.I加I例2.如图,已知长方体HBCD-44C1.R,AB=2,AA1.=1,直线8。与平面AABxB所成的角为30。，工E垂亘8D于笈，F为的中点.季亘统AD1.与平面BDF所成的角.解：在长方体检C0-44G4中，以RB所在的直线为X轴，以功所在的直线为轴，月&所在的百娃为Z轴建立为图示空间百角坐标系，由已知陛=2,44=1,可得4(0,0.0),8(2,0.0),F(1.0,1.)又工Z)_1.平面4¾3,从而BQ与平面名用8所成的角为NQ切=30。，又1至2,2,0.£)0.-,0.AB=2.AE1.BD,花=1.aD=竿从而易得E.d1(0,竿，1),.q-=(0,半,1),又.G=(,4J是平面8%的一个法向量，二sm<n,AD1.>=!"也=渲叵,.'.<n,ADi>为锐角,二直线A1.h与平面1.%x皿I3580尸所成的线面角为arcsG迎1(-arccos-).35235解后反思：求箍角的常规解法“一作、二证、三求”，很多同学感到轴手，筮在不易找到所求的角，利用何量解法可以选免“作和证”，只剩下明纯的向量计算，而且有了固定的解题模式，复杂的空间第求解问题就可加E常简便地得到解决了.直统与平面所成的角8主要可以通过直妓的方向向维与平面的法向量的夹角3求得,即sin=cos5I诙COMB=JtinS.例3在正四QD体ABCD中，E为AD的中点,东直线CE与平面BCD成的角.分析求线面角的关键在于找出斜妹在平面内的射影，目哦垂面，有了垂面即可在垂面内作交妓的垂战，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解.解法一取BC的中点F,隹结AF、DF.正四面体ABCD,.BC1.AF,BC1.DF.BCJ面AFD.而BC0平面BCD,面AFDj面BcD过E作EH±DF于H,而DF03FfiBCD,则EHJ面BCD则ZECH为CE马面BcD所成的角.在R1CEH中，SinNECH=孝.即CE与平面BCD成的角为arcsm*.解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为庾点QDQA依次为y轴，Z蜘轴平行于BC.设正四面体ABCD的梗长为4.同OF=今及唉OD=与QA=警cg.-华.0）,。（0,华,0）,冏0.0.华）.E为AD的中点，.K（0.华.容）.无=（嗓华,华）又因为平面BCD的法向邕为方=（0.0.D,二即CE与平面BCD成的角6满足：sin6=cos<CE,n>=A函=立.CEn3解后反思:本题利用两种方法求线面箱籍面角的求解有两种方法一种是几何法，另一种是向量法.1.几何法一般要有三个步骤.（1）作图I如上例中作出二面角的平面角及题中涉及的有关图形等，（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的：（3）计算I在证明的基础上计其貌找吉果.2.向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角.这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向里是关键.
