线性代数新版教案.docx

学院教案2014-2015学年第2学期线性代数14级合班汪轶讲师金数学院高数课程名称授课专业班级授课教师职称教学单位教研室学期授课计划说明课程类别必修总学分3总学时48本学期学时教学周次同学时学时分配48163讲授实验上机考查其他-18教学目的要求教学目的通过本课程的教学，使学生掌握战性代数的根底理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程与相关课程打好根底.根本要求通过本课程的教学，使学生系统地掌握行列式、矩阵、n维向盘、线性方程组、特征伯与特征向地、二次型的根本概含、根本理论及根本方法.具有比拟热练的焰算能力、一定的逻辑推理能力和抽象思维能力,并且培养学生运用获取的根本知识和根本理论去分析何超和解决问遨的能力.教学重点难点帙学点线性方程组解的结构：线性变换应用.教学魔点矩阵和向用祖的扶及其性质；戌性无关概念，选用教材同济大学应用数学系,线性代数I第五版）,高等教育出版社,2007年主要叁考资料1张禾瑞,郝炳新：高等代数（第四版）,高等较言出版社，1999年;2胡金德,王飞然:线性代数（第二版）,清华大学出版社,1995年3李永乐：线性代数辅导讲义西安交大大学出版社2010年备注单元教案知板单元主题第一章行列式学时10教学内容（摘要）§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数§3阶行列式的定义§4时换§5行列式的性质§6行列式按行（列）展开§7克拉默法那么教学目的要求1 .会计算二阶和三阶行列式，了解阶行列式的定义：2 .理解代数余子式的定义及性质：3 .会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的”阶行列式：1.掌握克拉默法那么.教学重点难点里点：1.行列式的性质及其计算：2.克拉钛法那么.建点；”阶行列式的定义；对换。教学方法手段多媒体课件教学辅以板H推演教学后记X-tn阶行列式定义的理解有点困难，需要通过对二三阶行列式展开式的特点逐渐引入.需适当加强学生对行列式计算技巧的训练.分教案授课主题第一章§卜§3课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求会计算二阶和三阶行列式：会计算排列逆序数：了解”阶行列式的定义.教学重难点二三阶行列式的对角战法那么；阶行列式的定义.教学内容纲要备注§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程Ia与二阶行列式1用加减消元法解线性方程组anxi+anx2=b1.a2tx1.+aj2x2=hi2二阶行列式的定义41%=a1.1.a22-a1.2a21."5an二阶行列式的值等于主对角元乘枳减副对向元乘积.例1解二元线性方程组3'2a：=122x1.+xj=13三阶行列式ii2f1.I2a22,)«31%=+«122111V+f1.1.jf1.311.2-1.j22-211112-f1.2,jiI2-4例2计算三阶行列式-22I-34-2例3求解方程1 112 3X=O49X2§2全排列及其逆序数一、全排外与逆序知识导入在中学，我们接触这二元、三元等简单的线性方程组.提问1在中学时我们要得到一个爱性方程沮的一组确定解的条件是什么？提问2例1的方程阻有几个方程？提间3用1、2、3三个数字，定义2.1由个不同元素排成一列,称为这个无素的一个全排升(或简称“级排列).个不同元素的所有不同的排列共有e=川种.规定一个标准排列次序：称1,2.为标准序。在1、2、所构成的任一排列中，假设某两个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为个逆序一般地个自然数1,2,的一个任意排列记作外p”.假设第i个位置上的元索p1.的左边有4个元素比p1.就说元素化的逆序是乙。一个排列中所有逆序的和，称为这''排列的逆序数.记作，.因此排列化小P,的逆序数就是：r=(+G+=Zo例1求排列32514的逆序数.例2求排列M-1.)1的逆序数解：”级排列的标准序为1,2,，】排列(-1)1的逆序数为r=(r(j-1)-1=0+1+(m-2)+(M-I)=逆序数r为奇数的排列称为奇排列,而逆序数/为儡数的排列称为偶排列.例1中的排列就是一个奇排列；揖列56M23也是一个偶排列.易知：！个不同的”级排列中.奇排列和烟排列在占一半.§3阶行列式的定义定义3.1由，一个元素%j=1.2,，”)排成行列,构成的运算式aWf1.1.2f1.In2=?；7=Sg%1.42"1称为阶行列式，简记为de(),其中4称为行列式de(%)的元索，q,%,亿,可以组成多少个没有重复数字的三住数？讨论所有n级排列中逆序数最大的排列的逆序数是多少？为】,2,”的一个排列，为排列4,%,%的逆序数.从上面定义可知，阶行列式的运鸵式(T)4%:中，一般项(-D,2v,由个位于不同行不同列的元素相乘而得符号由排列/，%，公的逆序数的奇偶性决定特别规定，一阶行列式M=0.注意行列式记号不要与绝对值记号混沿.在行列式。中，将Mx所组成的对角戏称为。的主对角线.这些元素称为主对角元而叫",g.2，褊所组成的对由跋那么称为D的!对角线.除了主时用线尤素外其它元素都为专的行列式称为对角行列式q例6证明阶对角行列式R=02.=4%4：q%D2=.=(-1)u1.u2'an称主对角线以上(b)的元素全为零的行列式称为下(上)三角形行列式«u例6证明。=""""=aiia1.iam.(%a1.tumIf1.I2,f1.In八a21,211,D=.=rtH-«.W(I«.w请同学们理解逆序数的求法U(U-I)课后作业P25-261,2,分教案授课主题第一章§4-§6课次2教学方却段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求掌握行列式的性旗并利用性侦计算行列式.教学黛难点行列式的性质及计算教学内容纲要备注1对换的IK念定义4.1在列的手续叫做时换.2对换的性质定理1一个知证先证相邻推论奇序列i为偶数.证由定理1.为学的偶排列，故Y3定理2>P其中，为排列小外.一'行列式的f把行列式力的i记aD="a那么11r=tt1.行列H§4对换一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排假设时换的是相邻的两个元素，那么称为相邻对换.F列任意两个元素对换.排列改变奇偶性.对换的情形：再证一般对换的情形.用成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的时换次数I知对换的次数就是排列奇偶件的变化次数,而标准排列是逆序数电论成立.介行列式也可定义为Q=Z(T)%心2化,的逆序数.§5行列式的性旗A本性质了、列互换所得到的行列式称为。的转置行列式，记作力，假设rII2an,2«22%4,2a.,.aa2an(112«22«,.26“2":与它的转置行列式相等，即D=Dr.I1.板演示一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现，且为奇数次邻换实现提问元排列共有加个.其中奇、偶排列的个数相等，各有多少个？提问如何计算行列式？讨论具有怎样特点的行列式可用定义计弊？证将O=det(,y)的转置行列式记作b1.1.b21.b“r7b2%D=.,bn%,h,1n那么号=Ojy(i,=1.2.).由定义知。,=Z(T)4,膜%.=>i)',2%于是由定理1.2推出：D=(-1.),wp,2ap=D1的性质1可知，行列式中行与列具有对等的地位，对行成立的性质,对列也成立,反之亦然。以下我们仅讨论行的性质，然后引申到列即可.性质2行列式两行(列)互换，行列式的假变号.以小衣示第i行，却表示笫i列，那么9”a表示交换i,j两行，G<q衣求交换"两列.由性质2即可得到下面的推论推论假设行列式。中有两行(列)元素对应相等，那么。的值为零.tt3用数A乘以行列式。，等于将数女乘到。的某一行(列)中所有的元素上。证按定义，D=(%ain=Z(T)'%"%,QF那么%rtH,4”kD=(-Dfu1.tfQ=Z(T)%(5)%,=kaa3”axn推论1.行列式某一行列)的所有元泰的公因子可以提到行列式符号的外面.第i行(列)乘以A，记为qxK(c,x*)；第i行(列)提出公因子A.记为4十&(c1÷).推论2假设行列式行-行(列)的元素全为零,那么其值为零.性质4.线设行列式有两行元素对应成比例，那么其值为零.下面的性质称为“拆行”：性质5假设。的某一行(列)的元素都可表为两致之和.那么以下等式成立:=(-,),Z(T)'%ZVF性质5把行列式某一行（列）的各元素A倍加到另行的对应元素上去，行列式的伯不变.行列式性质2、3、5涉及到行列式的:种运算：IMr（列）、倍累、倍加.即rr.r1.×k.。+3和GCCj,ct×k.cj+kci二、运用性朋计靠行列式利用行列式的性质可右.效地谕化行列式的让豫.如利用性质把行列式化成上三角行列式，便可应接得到行列式的值。对于元素排列有某些明显规律的行列式.可根据具特点采用一些计算技巧，常用的如钟立迤推公式工】用数学妇晌法等.31111311例8计算行列式D=.；Cia讨论111适用递推和1113数归法计算例9计算行列式的行列式具abcd有什么特aa+b<+b+ca4b+c+d点？a1.a3a+2>+c4+幼+2c+da3a+b6u+3+c10a+6+女+d证对。作运算，,+45，把。化为下三角形行列式:PUDi=PiI-Pu/%P»对。2作运算C,+tC把。?化为下三角形行列式:于是，XJD的前k行作运算r1.-¥kr1.,再对后11列作运算cz+kci,就可把D化为下三角形行列式A1CU故D=%Pdw=<PhP«)(q”qm.b(IMii计尊2”阶行列式A,=§6一、余子式与代数余子式行列式按行（列）开定义1在”阶行列式上中任取一个元素4,划去q所提问行列式中各项的元素如何取得的？