空间向量与立体几何典型例题.docx

空间向量与立体几何典型例题一、选择题：I.(2008全国【卷理)三极柱AAC-A4G的侧梭与底面边长都相等，A在底面A8C内的射影为A8C的中心，那么八包与底面A3C所成角的正弦值等于(C)A.1B.C.4D-33331 .解：C.由题意知三极锥A-4AC为正四面体，设校长为“，那么ABi=下a，梭柱的高Ai=ya2-A'=Ja2-(×a)2=«(即点&到底面ABC的距肉).故八4与底面ABC所V323成用的正弦值为四=*.AB13另解：设A8.ACAA为空间向业的,祖基底，A&ACAA的两两间的夹角为60"长度均为a,平面ABC的法向M为OA=AA-AG-八6,八=A8+A4,33那么AB1与底面八?C所成角的正弦值为原=y.二、填空题:1.(2008全国I卷理等边三角形A3C与正方形A或应有一公共边AB,:面角C-A3。的余弦位为也，M,N分别是AGBC的中点，那么E,AN所成角的余花值等于.1题图(1)2 .答案：1.设AB=2.作CoJ.面人/?/»；6OH1AB,那么CH1./V?./CHO为二面角C-八一。的平面向CH=3,OH=CHcosZCHO=1.结合等边三角形八8C与正方形八8£)£可知此四极锥为正四技锥，那么AN=EM=CH=&AN=1.AC+八8),EM=1.e-A£3 2ANEM=-(8+C)(-AC-AE)=222故EW,AN所成角的余弦值AN-EMIAM1.EM另解：以。为坐标原点，建立如下图的口角坐标系，那么点A(T,-1,0),B(1.,-1.,0),E(-1,1,0),C().().2).½EM,AN所成角的余弦值ANEMAMEM三、好答遨:：.设平面OCD的法向量为“=(X.V,幻.那么hOP=Oj,OD=0I.(2008安徵文)如图,在四技椎O-ABCfM1.底面ABCO四边匕为I的芟形，/ABC=X,4OA1.ABCD.QA=2.M为。4的中点.(I)求异面直线AB与MD所成角的大小；(I1.)求点B到平面OCD的距离.1 .方法一(综合法)(1) .cmhB,INMDC为界面之战AB与MD所成的角(或其补角)作A/>_1.CN>。,连接：MD=-Jma2+AD-=2.所以Afi与MD所成用的大小为-3(2) VAf1.平面狈.,点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP.过点A作AQ1.OP于点Q.又VAQ1OP,：.AQ1平面OCO.规段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.OP=>JD2-DP2=JA'+AD2-DP1=4+1.-=.AP=DP=§2立,.AQ=("A.=尊=2,所以点B到平面OCD的距离为三OP至332方法：(向最法)作AP_1.Q干点R如图,分别以AB.AP.AO所在“代为二轴建立坐标系-y-2z=02 -x+-y-2=()22,取Z=TI.解得=(0,4.0)设点B到平面OCD的距离为d,那么d为OB在向量"=(0,4,2)上的投影的绝对值.0BIiV0=(1.0.-2).A</=1-ImI所以点B到平面OeD的距离为I2.12008安做理：如图,在四技椎O-AZKYAM底面ABCO四边匕为1的菱形，/ABC=,OA1.ftfetoCD.QA=2.M为。!的中点，N为BC的中点.(I)证明：直线MN”平面OCQ；(II)求异面直线AB与MD所成角的大小：(H1.)求点B到平面OCD的距寓.2.方法一(1)：2)(综合法)取OB中点E,连接ME,NE5t,NEHOC,:.平面MNKHjFffiOCDCDHAIi,.,.NMDC为异面直线AB与A4D所成的角(或其补角)作连接MPMD=yM'+D'=2.ADBN所以43与AfD所成用的大小为?(3)V八8”平面生出.点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OR过点A作Q±O1.i于点Q.,：AP1.CD.OA±CD.：.CD±平面。AP.，AQ±CD又,/AQ1.OP,：.AQ1.平面OC。,战段AQ的长就是点A到平面OCD的距离：OP=OD2-DP2=>OA2+AD2-DPz,AP=DP=-2巫,:AQ=生竺=工，所以点B到平面OCD的距离为工OP3233方法二(向量法)作AP1.CDF点P.如图,分别以AB./P.AO所在宜规为x.y.z轴建立坐标系4(0,0,0),m.O,O),P(O,*,O),"-*,g),0(0,0,2),W(0,0,1),Na-f,g),22244()MN=(-,-1.),OP=(0.-.-2).OD=2y-2z=0冬一2z=0ODCP9*所N设1.OCD的法向量为w=(x,>,Z).那么n.OP=0.nOD=O取Z=应.解得“=(0,4.0)(2)设A8与儿步所成的用为,'A1.i=(W),MD=-i)A.VDI11：CoSe=J.I；1.=。.AB1.jMD网.|叫23成用的大小为2设点B到平面OCD的交流为4.那么d为。力在向量=().4.)上的投影的绝对值,22由Ofi=(1,0.-2).得d=1.r=:所以点B到平面OCD的跑离为上|333.12008北京文)如图，在三梭椎P-ABC'中，AOBC=2.ZACB=90o,AP=BP=AB,PC1.AC.(I)求证：PC1.A8；(I1.)求二面由B-AP-C的大小.3.解法一：(1)取八8中点。，连结PD,CD.'：AP=BP.：.PDAR."；AC=BC.：.CD1.AB.'：PDQCD=D.AB上平面PCD.：PCc1.ftPCD.：.PC1.AR.(I1.)-C=BCAPBP.：.&APe4BPC.又PCA.AC.PC1.BC.又AC8=90°,aPAC1.BC,且ACnPC=C,AB=BP,：.BE1.AP./EC是½在平面小。内的射影.：.CE1AP.；.NBEC是:面角SePC的平面角.在Z8Cfi1中，NKE=90；BC=2.BE=gAB=庭,2也RE3.二面角J-APC的大小为arcsin里.解法二：(1)-AC=BCAP=IiP.APCRPC.又PC1.AC.：.PC1BC.,.CBC=C.APC1.平面A8CAB<平面48C.'.PC1.ABB（三）如图,以C为原点建立空间宜角坐标系Gjqx那么C(O.O.O),(0.2.O),B(2.0,0).设P(0.0.r).,/IPfiI=IBI=22,：.r=2.P(0.0.2).取AP中点£连结CE./AC=PC,B=BPt：.CE1AP.BE1.AP.：.ZBEC是二面角/MP-C的平面角.,.E<O.1.I).EC=(O-I-IhfB=(Z-I-I),.cosz三=2=.阿网I263：.二面用BAP-C的大小为arccos.4.12008北京理)如图，在三极锥P-ABC中，AC=BC=2,ZACfi=90,AP=BP=AB.PC1.AC.(I)求证：PC1.ABi(U)求二面角3AP-C的大小：(III)求点C到平面AP8的距离.4.解法一：(I)取A8中点O,连结。DCD.AP=BP.-.PD1.AB.,AC=BC.CD1.AB.PDCCD=D.平面PeD.pcu平面PaX.PC1AB.（三）-.AC=HC,AP=BP.AAPC,BPC.X.PC_1.AC,:.PC±BC.又ZAC3=90,即ACJ.8C,且ACnPC=C,/.8CJ平面/3C.取AP中点E.连结BE,CE.,AB=BP-：.BE1.AP.EC是BE在平面84C内的射影.：.CE±AP.N3EC是二面角3AP-C的平面用.在ABCE中,8C7=90,BC=2,BESinZfiEC=-=.BE3二面角A-AO-C'的大小为arcsin-.(III)III(1)知A1.平面PCN>.平面APBJ_平面PCD.过C作CH1.PD.垂足为Y1.ft1.iAPBT1.ff1.PCD=PD.J"平面AP8.CH的长叩为点C到平面APB的距离.由(I)PC±AB.又PCJ.AC,f1.4C=A,.PCJ平面ABC.CDU平面ABC,:.PC1.CD.在RtZPC)中,CD=；AB=近.PD,B=6.：,PC=4P»-CD'=2.PCCD二26PD.点C到平面AIiH的距离为W解法二：(1).AC=HC.AP=BIi.APCBPC.又PC_1.AC,.PC±BC.v4CfiC=C.PC1.平面AeC.A5u平面ABC,.-.PC1.AH.(II)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-RZ.那么C(OQ,0),A(0,2,0),3(2Ia0).设P(Okok/).PH=AB=22.r=2,P(0,02).取AP中点E,连结8ECE.AC=PC,AB=BF.CE±AP.BE1.AP."BEC凫:面角B-AP-C的平面角.£(0,1,1),fC=(O-1.,-1.),£8=(2,-ztt,.z.-Cf-B23cosZBhC=J11?=1.=.eceb263.二面角A-AP-C的大小为arccos今.(111)-.AC=BC=PC.C在平面APB内的射影为正AAPB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如(I1.)建立空间出角坐标系。一).BH=IHE.二点H的坐标为.cw=平.点C到平面APB的距离为苧.5. (2008福建丈)如图，在四楂锥中，侧面MD，底面ABCD则梭M=PD=0欣面ABCD为口角梯形,其中BCAD.AB_1.CD.AD=2AB=2BC=2Q为AD中点。(1)求证：PO_1.平面ABCD:(2；求异面直线PBCD所成角的氽弦值：(3)求点A到平面KD的距离5.解:如图，A(0.-1.0).B11.-1.0>,C(1.0.0),D(0.1.0).R0.0.1)所以CD=(-IJO),PB=O-1.-D所以异面更浅所成的角的余弦伯为：WH-CP=OH-CD=O-+Z=0-.v+V=O'(2)设平面PCD的法向眼为h=(x,y,z),CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0)那么，点A到平面PcD的距离为：d令x=1.那么y=z=1.所以“=(1.JJ)又AC=(1.1,0)6. (2008福建理)如图，在四枝堆/M8C7)中，那么向PAD£底面BCD.kPA=PD=2,底面ASCC为H角梯形,其中BC/