第17讲：高频考点分析之极限、导数和定积分探讨.docx

【备战2013高考数学专题讲座】第17讲：高频考点分析之极限、导数和定积分探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探河，912讲对数学解遨方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高菰考点进行探讨.在我国现在中学数学新教材中,微枳分处于一种特殊的地位，是图中数学知识的一个曳要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问鹿的重要工具.微枳分的思想方法和根本理论有新广泛的应用.结合中学数学的知识,高考中微积分问题主要有以下几种：1 .极限的计算:2 .应用导数求困数的最（极）值；3 .应用导致讨论函数的增减性：4 .炉数的几何意义和应用,#数求曲战的切线；5 .定积分的计算和应用.结合2012年全国各地高芍的实例，我们从以上五方面探讨极Rb导致和定积分问题的求解，一、极限的计算：典型例题：-9q例1.（2012年四川省理5分）函数/（X）=X一3'在X=3处的极限足口1.n（.v-2）,3A,不存在B、等于6C,等于3D、等于0【答案】A。【考点】分段函数.极限.【解析】分段因数在x=3处不是无限推近同一个值,故不存在极限。应选A,例2.（2012年重庆市理S分）Iim-j-J=.11-+5-【答案】除【考点】被瞅的运算Crzv4c三1.1i.yn2+5n+/I.V2【分析InnI-=Iim=IimJ_-=一.用f田Jn2+s_n-R511-R55I例3.(2()12年上海市理4分)有一列正方体,校长组成以1为首项.Q为公比的等比数列,体积分别记为苗丛.匕.-，那么Um(K+匕+VJ=.rt-*X【答案W。【考点】无力递缩等比数列的极限，等比数列的通理公式.【解析】由正方体的梭长组成以I为首项，；为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以1为首项.！为公比的等比数列.因此,1.im(½+¼+.+V,)=-=-.8n178二、应用导致求函数的最(极)值；典型例题：例1.(2012年K庆巾理5分)设函数/(X)在k上可导,其导函数为/(X),且函数F=(I-X)F(X)的图像如SS图所示，那么以下结论中一定成立的是【】（八）函数fix)有极大值/(2)和极小值.1)(B)函数/(X)有极大值/(-2)和极小伤/(I)(C)的数/(X)有极大值/(2)和板小值/(-2)(D)函数/(XMi极大值/(-2)和极小伯/【答案】D,【考点】函数在某点取得极值的条件,函数的图象.【分析】由图飘如，y=(1.-X)F(X)与X轴有三个交点,-2.1.2./(-2)=0,/(2)=0.由此得到X.y,1-X,八X)和f(x)在(>,+8)上的情况：X-2(-Z1)I(12(2,+)y÷00+0I-X+十+0/(X)十00+/(X)/极大值非极值X极小值Z./(x)的极大值为/(-2)./(X)的极小值为/(2).应选D.例2.(2012年陕西省现5分)设函数/(X)=X。',那么【】A.K=I为J(X)的极大值点B.X=I为/(X)的极小值点CX=T为/(X)的极大值点D.X=T为“X)的极小值点【答案】D.【考点】应用号数求用数的极值,MWr1.V/'(X)=(a-+1)<*,令fx)=0,得X=-1.当.r<1时，,(.r)<0,/(x)=xe'为收函数：当x>I时，f(x)>0./(x)=xe'为增函数，所以X=-I为/(x)的极小位点.应选D例3.(2012年陕西省文5分)设函数/(x)=1+1.n那么【】A.K1为/(X)的极大值点B.K为/(X)的极小值点C.X=2为/(x)的极大值点Dx=2为/(x)的极小值点【答案】D.【考点】应用导致求函数的极值，21r-2I1.Wf1.V7x)=-÷1=÷令X0=0.得x=20X*X尸,、2当0工2时，/'(幻<0'/(x)=f+1.nx为减函数：当x>2时，,(.v)>0./(K)=一十Inx为增函数。X.=2为幻的极小值点.应选D.例4.(2012年广东省理14分)设<I,集合A=xeKx>0,8=kef2.V-3(1+)x+6<z>0),D=A(I)求集合。(用区间表示)(2)求函数f(x)=2x1-3(1.+a)xi+6ax在。内的极值点.【答案】解：(1)设g(x)=2/-3(1.+a)*+6«,方程£(幻=0的判别式口=9(1+”)二4*=9(«-Xw-3)当;<“<1时，D<().2-3(+a)+6tt>0恒成立,=x7f2.r-3(1.+).v+6>=K-D=A=A=->O),即集合D=(O.+?当0<。？时，D?0,方程g(x)=O的两根为3«+3-9-300+9on_M+3+W30+9'；U9*，_4-4.,=2x2-3(1+u)x+6<>OC.-n.3+3-W<-30+9寸3。+3+加小-30«+9、D=4=A=.vO<<>).44即集合A(03+3-W-30+94)j(3+3+J%-30”当“£0时，D>0,方程g()=O的两根为3«+3-92-30a+9C3+3+9-304+9C,七£O.X2=Jq>O.=xeR2x2-3(1+)x+6a>0M+3-J%-3()+9,CP3«+3+的标-3()4+91=.v.r<0>.443+3+92-30+9.：.D=AB=A=xx>.4即集合D=(生竺隹运9,+?)。4(2)令f'(X)=(2x,-3(1+a)x2+6<m'=6.v2-6(1+o)x+6=6(-XX-I)=O得x)=2r'-3(1+a)x2+6av的可能极值点为,1.当gva<1.时,由(1)知。=(0.+8).所以/'()J(x)Bfix的变化情况如下表:X(0.«)a(.)1(i.-o)()十00十/(X)/极大伯、极小值Z，/(幻=2/-3(1+“)*2+&«-在。内有两个极。*(点为“：极大值点为x=”,极小值点为X=I当0<«?一时.3,.,3+3-(-30a+9.3a+3+出30a+9、/由(1)知£>=(Q，2-)U(2-,+?)=(0.,)J(x,.-ko)o:/(x)=2x(x-xi)(A-X3)，.0<<.<IX2,/.(x),(-t)1.½的变化情况如下表:X(0.)a(a,x)(.%+«),(V)+0+/()Z极大值Z.(x)=2V-3(1.+")+6<a在。内仅有一个极值点：极大值点为*=“,没有极小值点.当“£0时,g.+?).a£0,1-%V1a。,3a+3+>9a2-30«+9_3a+3+J3(1.-3«)(1.-«)3a+3+y3(-3a)4443a+3+J(1.-3叽3+/+初0.J)3+5=->>1O444_.3«+3+J9a2-30a+94.x)=2x3-3(1+a)x2+(xx在D内没有极值点。【考点】分类思想的应用,集合的计算,例不等式.导数的应用.【解析】(I)根据g(x)=2F-3(1.+a)x+6。根的判别式应用分类思想分g<«<I,()<a?；、“£()讨论即可,计算比拟聚。求出(x)=2'-3U+)F+6rr=62-6(1.+)x+6=6(,r-M-1)得到/*)的可能极值点为41。仍然分«<1,0<?；、a£O讨论，例5.(2012年浙江省理14分)«>0.DgR.的数/(x)=4f1.F-26x-+).(I)证明：当0x1.时，(i)函数/(x)的最大值为I勿-R+a：(11) f(x)+2a-b+a0i(I1.)要设-1*)1对AO,1J恒成立，求+b的取值范围.【答案】(I)证明：(i)*(v)-1.2-2.当蚂0时，,()-1W-2>0在0<r<1.上恒成立，此时/(')的最大Gi为：/(1.)三4<z-2-÷>三3<->-1.a-b*«：当心0时，'()=12加-乃在0£口上的正负性不能判断，此时/()的最大Gi为：t.(v)"11ux(0)./(1)|etnax(fr-<).(3<-fr)三<"；=|2<1.-AGV20绘上所述：函数/(x)在0r1.上的最大值为2I公(ii)-g()=/(、)，Yg（八）-4«r'+2/n+“，.令g'（八）-12a/+2)0=>.v三当b<0时，(r)-12+2<O在09上恒成立，此时MK)的最大值为：>>(<)«rt-><Su-|2a*a：当。Vo时，屋(V)-12a+3在0r1.上的正负性不能判断，<2a-G综上所述：函数M1.)在091.上的最大值小于(或等于)0，一“，即/(、)÷2-*«>0在0W1上恒成立.(II席：由(I)1.:函数/()在0<r<1.上的最大伯力|加一臼«，且函数/(<)在0x上的及小值比-加一I“)要大.；-I(x)二1对'<2，IHf1.成立，.*.2-6*1.取Z>为洪轴，”为横轴.>0(a>0承么可行城为：>W2b<2a.目标函数为z=+瓦A-<I3->1作图如下：由图得：当目标函数为2=“+/，过PG，2)时，有：a=3.所求“+，>的取(ft范因为：(-1，3【考点】分类思想的应用.不等式的证明，利用导致求闭区间上函数的最值,简总线性规划.【解析】(1)i)求导后，分fr0和*>0讨论即可.(ii)利用分析法.要证，(K)+12«“0.EPiiE(r)=-/（八）W2“一加a,亦即i三g(x)在Oa<I上的最大值小于(或等于H2“一”,(I1.)Ih(I)如：函数在0x1.上的最大值为|为一同/且函数在0v1.上的破小值比-(2一同)要大.根据Tf()1.对G0,1恒成立,可得2一加1.从而利用线性规划知识.可求a+b的取值范用。例6.(2012年江西省文14分)函数/(x)=(+加+&e'在0,1上的调递减且湎足/(0)=/()=o.(1)求。的取值范用：(2)设g()=")-r(),求g(x)在o.I上的最大值和最小值。【答案】蚱：(I)V/(0)=c=i