神奇的斐波那契数列.docx
神奇的斐波那契数列斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(15)*(1+5)2-(1-5)2n又叫''比内公式，是用无理数表示有理数的一个范例。J(5表示根号5有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比方第五项的平方比前后两项之积多1,第四项的平方比前后两项之积少1J如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。斐波那契数列的第n项同时也代表了集合（1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。斐波那契数列Cf(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2.的其他性质：1. f(0)+f(1)+f(2)+.+f(n)=f(n+2)-12. f(1)+f(3)+f(5)+.+f(2n-1)=f(2n)-13. f(0)+f+f(4)+.+f(2n)=f(2n+1)-14. f(0)r2+讦r2+.+f(n)2=f(n)f(n+1)5. f(0)-f(1)+f(2)-.+(-I)Anf(n)二(-1)nf(n+1)-f(n)+16. f(m+n)=f(m-1)*f(n-1)+f(m),f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为0Iogn)的程序。7. f(n)"2=(-1)(n-1)+f(n-1)*f(n+1)8. f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)29. 3f(n)=f(n+2)+f(11-2)10.f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m)n)m-1,且n>1在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列8过第一行的向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、斐波那契数与植物花瓣3 百合和蝴蝶花5 蓝花楼斗菜、金凤花、飞燕草8 翠雀花13金盏草21紫宛34、55、89雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0,然后依序点数叶子假定没有折损，直到到达与那息叶子正对的位置，那么其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的图数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序源自希腊词，意即叶子的排列比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。向日癸结籽盘，是对数螺线，有顺时针也有逆时针的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐数，一般是34和55,大的向日癸是89和144,还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，都是相继的斐数，和向日葵是一样的，还有松籽、菜花。这种现象走到1993年才给出了合理的解释，这是植物生长的动力特性造成的，相同器官原基之间的夹角是黄金角137.50776度；这使种子的零售堆集效率到达最高。钢琴中的键也是斐数。推广的斐列：改变前两顶，前两项不能是1、2这样就缺推理下去就缺了一项不是严格意义上的推广。所以前两项可以是1,3,这样就是1.3.4.7.11,18.oOooO称之为卢卡斯数列。卢卡斯数列前项比后项还有极限，极限还是黄金比。再回到开始的问题，连续的十个斐数，是第七个数的11倍。推广了斐数列也有这个特性。他的前N项和等于第N+2项减去第2项。【相关的数学问题】1.排列组合有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法？这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1 ,2,3,5,8,13所以，登上十级，有89种走法。2 .数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时，F(n)F(n+1)的极限是多少？这个可由它的通项公式直接得到，极限是(7+5)/2,这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。3 .求递推数列a(1)=1,a(n+1)=1+1a(n)的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)F(n),将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。【斐波那契数列别名】斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为''兔子数列。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔民教共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：经过月数：123456789101112兔子对数：112358-13-21345589144表中数字1,1,2,3,5,8构成了一个数列。这个数列有关十清楚显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在V算盘全书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=11.+52)n-(1-52)n1,2,3【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契那列：列1、2、3、5、8、13、21如果设F(n)为该数列的第n项(nN+)°那么这句话可以写成如下形式：F(O)=0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3)显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：X2=X+1解得X1=(1+5)2,X2=(1-5)2那么F(n)=C1*Xn+C2*X2nVF(1)=F(2)=1.C1*X1+C2*X2C1*X2+C2*X22解得C1.=15,C2=-15AF(n)=(1/V5)*(1+V5)/2/'n-(1-5)2n)(5表示根号5通项公式的推导方法二：普通方法设常数r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)那么r+s=1,-rs=1n3时，有F(n)*F(n-1)=s*F(n-1)*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)将以上n-2个式子相乘，得：F(n)-r*F(11-1)=s(11-2)*F(2)-r*F(1)Vs=1-r,F(I)=F(2)=1上式可化简得：F(n)=s(n-1)÷r*F(n-1)那么：F(n)=s(n-1)+r*F(n-1)=s(n-1)+r*s(n-2)+r2*F(n-2)二s(n-1)+r*s(n-2)+r2*s(n-3)+r3*F(n-3)=s(n-1)+r*s(n-2)+r2*s(n-3)÷+r(n-2)*s+r(n-1)*F(1)二s(n-1)+r*s(n-2)+r2*s(n-3)+r(n-2)*s+r(n-1)这是一个以K(n-1)为首项、以(n7)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和=s(n-1)-r(n-1)*rs(1-rs)=(sn-rn)/(s-r)r+s=1,-rs=1的一解为s=(1+5)2tr=(1-5)2那么F(n)=(15)*(1+5)2r11-(1-5)/211)迭代法a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(11-2)(n>=3),求数列an)的通项公式解:设a11-Qa(n-1)=(a(n-1)-Qa(n-2)得+=1.a=-1.构造方程x²解得a=(1-5)2,B=(1+5)/2或Q=(1+5)2,=(1-5)2所以an-(1-5)2*a(n-1)=(1+5)/2*(a(n-1)-(1-5)2*a(n-2)=(1+5)/2(n-2)*(a2-(1-5)2*a1)、an-(1+5)2*a(n-1)=(1-5)/2*(a(n-1)-(1+5)2*a(n-2)=(1-5)/2(n-2)*(a2-(1+5)2*a1)、2由式1,式2,可得an=(1+5)2(n-2)*(a2-(1-5)2*a1)、3an=(1-5)2(-2)*(a2-(1+5)2*a1)、,4将式3*(1+5)/2-式4*(1-5)/2,化简得an=(1/V5)*(1+V5)/2n-(1-5)/2n斐波纳奇数列的特性在哪里？它为何会引起人们的关注？我们只要稍微列举出其中的几个特性，你可能就会对其兴意盎然，第一，数列中任何两个相邻数字之和，构成序列中的下一个数字，3加5等于8,8加13等于21,依此类推。第二，数列中任何一个数字与下一个数字的比例是0.618,而任何一个数字与前一个数字的比例是1.618,这个比例就是''黄金分割。第三，数列中的任何10个数字之和，均可被11整除。第四，数列中开展至任何一点的所有斐波纳奇数字之和加上1,等于与最后一个加数向后一项的斐波纳奇数字（艾略特名著集小罗伯特R普莱切特编著陈鑫译）斐波纳奇数列以及其揭示的黄金比例为历史上那些卓越的科学巨匠和艺术家所顶礼膜拜，像达芬奇、牛顿、柏拉图、毕达哥拉斯等都从斐波纳奇数列及黄金比例的微妙中吸取到了营养，他们中甚至有人把黄金螺线刻在了自己的墓碑上或者床头板上。黄金率和斐波纳奇数列是自然之美、人类之美，反过来人类用这样的美的规律去创造艺术之美和人文之美。甚至人类本身就是这种美学规律的集中表达：人由上肢、下肢和躯干三局部构成，人的手指、脚趾正好是五个，人有五官，人的肚脐的高度差不多就是人身高的0.618,希腊人建造的巴特农神殿其高与宽的比例正好是0.618,埃及金字塔的侧棱线与底线的比例也正好是0618,随着科学技术的进步，我们发现，那些启迪了古代人民科学智慧的黄金比率更是无所不在，其微妙更是让现代人喳目结舌，从原子结构、大脑中的微细管以及DNA分子，大到行星距离和周期，我们均可以看到黄金比率在其中的支配作用。
