函数知识点总结与经典例题与.docx

函数学问点总结学问点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内面两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成r平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y岫或纵轴，取向上为正方向：两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点：建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限。留意：X轴和y轴上的点，不屈于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用(a,b)表示，其依次是横坐标在附，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.平面内点的坐标是有序实数对，当日时，(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。学问点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第象限C三1.点P(x,y)在其次象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限r二Q2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在X轴上三,X为随意实数点P(x,y)在y轴上W,y为随意实数点P(x,y)既在X轴上，又在y轴上回X,y同时为零，即点P坐标为(0,0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上WX及y相等点P(x,y)在其次、四象限夹角平分线上aX及y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于X轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5、关于X轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P及点P'关于X轴对称日横坐标相等，纵坐标互为相反数点P及点P'关于y轴对称日纵坐标相等，横坐标互为相反数点P及点p'关于原点对称臼横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到X轴的距离等于回(2)点P(x,y)到y轴的距离等于可(3)点P(x,y)到原点的距离等于山学问点三、函数及其相关概念1、变型及常量在某一改变过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一股地,在某一改变过程中有两个变量X及y，假如对于X的每一个值,y都有唯一确定的值及它对应，那么就说X是白变量，y是X的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量:的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。(2)列表法把自变量X的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。(3)图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的般步骤（1）歹IJ表：列表给出自变量及函数的一些对应值<2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的依次，把所描各点用平滑的曲线连接起来”学问点四、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如三（k,b是常数，kJ）,那么y叫做X的一次函数。特殊地，当一次函数三中的b为。时，三（k为常数，心0）。这时，y叫做X的正比例函数。2、一次函数的图像全部一次函数的图像都是一条宜线3,次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数三的图像是经过点（0,b）的直线：正比例函数三的图像是经过原点（0,0的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k>0b>0十。X图像经过一、二、三象限，y随X的增大而增大。b<0J图像经过一、三、四象限，y随X的增大而增大。/一Xk<0k<0b>0图像经过一、二、四象限，y随X的增大而减小'。Xb<0J_，图像经过二、三、四象10X限，y随X的增大而减小。注：当b=0时，次函数变为正比例函数，正比例函数是次函数的特例。4、正比例函数的性质般地，正比例函数三有卜.列性质:(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随X的增大而增大，图像从左之右上升:(2)当k<0时，图像经过其次、四象限，y随X的增大而减小，图像从左之右下降。5、 次函数的性质一般地，一次函数0有下列性质：(1)当k0时，y随X的增大而增大(2)当k<0时,y随X的增大而减小(3)当b>0时，直线及y轴交点在y轴正半轴上(4)当b<0时，直线及y轴交点在y轴负半轴上6,正比例函数和次函数解析式的确定确定个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式三(ka)中的常数匕确定一个一次函数，须要确定一次函数定义式三(k，0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法学问点五、反比例函数1、反比例函数的概念般地，函数0(k是常数，k,0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成山或xy=k的形式。自变量X的取值范围是XnO的切实数，函数的取值范围也是切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或其次、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量XW0,函数ya,所以，它的图像及X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但恒久达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函符号图像k>0X的取值范围是X”0,X的取值范围是XJO,y的取值范围是y-0：y的取值范围是y，0：性质当k>0时，函数图像的两个分当k<0时，函数图像的两个分支分别支分别在其次、四象限。在每个象限内，y在第一、三象限。在每个象X的增大而增大。限内，y随X的增大而减小。4、反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法。由r在反比例函数0中，只有个待定系数，因此只须要对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.5,反比例函数中反比例系数的几何意义若过反比例函数目图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PM=PN=E三。学问点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，假如I_，特殊留意a不为零，那么y叫做X的二次函数。I_叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是,条关于叵对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴（2）求抛物线【KI及坐标轴的交点：当抛物线及X轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线及y轴的交点C,再找到点C的对称点Do将这五个点按从左到右的依次连接起来，并向上或向卜.延长，就得到二次函数的图像。当抛物线及X轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线及y轴的交点C及对称点及由C、M,D三点可粗略地画出二次函数的草图。假如须要画出比校精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。学问点七、二次函数的基本形式1.二次函数基木形式：叵的性质：二的符号开口方向顶点坐标对称轴性质回向上口孑轴H时，'随3的增大而增大；1.=J时，g随d的增大而减小：回时，y有最小值m.(J向下聊0时，J随二的增大而减小；1.=J时，a随d的增大而增大；回时，.有最大值3.a的肯定值越大，抛物线的开口越小。2. 口的性质：二次函数三的图像可由三的图像上下平移得到（平移规律：上加下减）。a的符号开口方顶点坐对称性质向林轴回向上3轴日时，.随E的熠大而增大：口时，3随二的增大而减小；小时，J有最小值B.回向下3轴日时，d随二的增大而减小：口时，J随-的增大而增大；W时，J有最大值3.3. 的性质：二次函数三的图像可由的图像左右平移得到（平移规律：左加右减二的符号开口方向顶点坐标对称轴性质回向上X=h1.=J时，d随二的增大而增大；R时，目随2的增大而减小：口时，目有最小值m.向下X=h时，d随二的增大而减小；皿时，Z随3的增大而增大：口时，3有最大值3.4.1.的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质回向上X=h日时，U随二的熠大而增大：口时，3随三的增大而减小；口时，3有最小值3.回向下X=h日时，d随二的增大而减小：回时，a随三的增大而增大；上|时，d有最大值3.学问点八、二次函数解析式的表示方法1 .一股式：1.IJ（d.a>4为常数，口）:2 .顶点式：（3.3,3为常数,1.=I）:3 .两点式：（皿，g,21是抛物线及J轴两交点的横坐标）留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成两点式，只有抛物线及，轴有交点，即NJ时，抛物线的解析式才可以用两点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.a的肯定值越大，物物线的开1.J越小。学问点九、二次函数解析式的确定依据己知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种状况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式：2 .己知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线及二轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式：4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.学问点十、二次函数的最值假如自变量的取值范困是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当叵时，xO假如自变量的取值范闱是启.那么，首先要看是否在自变量取值范围三内，若在此范围内，则当X=日时，I；若不在此范围内，则须要考虑函数在E三范围内的增减性，假如在此范围内，y随X的增大而增大，则当口时，二、,当时，I=；假如在此范围内，y随X的增大而臧小，则当叵时，I一,当回时，I1。学问点十一、二次函数的性质性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延长：（2）对称轴是X=习,顶点坐标是（3）；（3）在对称轴的左侧，即当x曰时，y随X的增大而减小:在对称轴的右侧,即当x日时，y随X的增大而增大，简记左减右.增；（4）抛物线有很低点，当X=日时，y有最小值，（1）抛物线开口向卜.，并向卜.无限延长；（2）*j称轴是X=习，顶点坐标是（习.叵）:（3）在对称轴的左侧，即当x曰时，y随X的增大而增大：在对称轴的右侧，即当xQ时，y航X的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当X=EI时，y有最大值，IT2、二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及二轴交点状