岩石力学的数值模拟(讲义).docx

第10章岩石力学的数(ft模拟随着计算机软硬件技术的快速发展，使岩石力学有了长足的进步，特殊在岩石力学的数值计算和模拟方面发展尤为快速,使得很Z着看力学解析方法难于解决的问题得以重新相识.正如钱学森在给中国力学学会“力学一一iffi接21世纪新的挑战”的一封信中M力%发展均势总结的那样“今日力学是一门用计用机计算去I可答一切宏观的实际科学技术问8S，计豫方法特别象要,'o岩石力学和其他力学学科一样，须要数优计豫方法并推动岩石力学的发展。岩石介质不同干金屈材料,在数值计算方面具有其独特的特点2O5:(I)岩石介质是赋存于地壳中的各向异性自然介质.(2)岩石介质被众多的节理、裂缝等弱面所切割而呈现高度的非均质性，而其物理、化学及力学性侦具有时机性特点。(3)岩石介质赋存时以受J卡为主，而且抗压强度远大于抗拉强度.(4)岩石力学及JC程同超在时空分布上较广，从本质上讲都是三年同SS.(5)岩石工程一般无法进行原型试验，而试抬空测得的数据不能干脆应用于工程设计和计算.(6)岩石力学及工程具有数据有限问胞.数值计。方法羟过几十年的发展，目前已形成很多种岩石力学计W方法，主要有有限元法、边界元法、彳i限差分法、离散元法、流形元法、拉格朗口元法、不连续变形法及无单元法等。它们各有优缺点，有限元的理论基础和应用比较成熟，在金属材料和构件的计算中应用特别胜利.但它是以连续介质为基础,好像及岩体的非连续性有确定差距,源形元等数值方法虽然考虑了岩体中节理效应,但其理论基础还不完全成熟.信任在不久的将来，确定会出现完全适合于*体材料和工程的数侑计算方法2O62O81。10.1 岩石力学的有限元分析2O92I3)行限元法(IicntmctiKK1.F1.iM)是岩石力学数(IIi计算方法中最为广泛应用的一种.自20世纪50年头发展至今，布取元己胜利地求解了很多困碓的岩石力学及工程同腮.被广阔界石力学探讨及工程技术人员嗡为斛决岩石工程何阳的有效工具.彳i限元法是依据变分原理求解数学物理方程的一种数值方法,有限无法把连续体离散成有限个单元，旬个单元的场函数只包含有限个节点参Ift的简洁场函数.这些有限个总元的场函数集合构成整个结构连续体场函数.依据能成方程和加权函数方程可建立有限个求解参数的方程组,求解这些离敌方程粗，就是有限元法的精饰所在，虽然求解时把连续函数转化为求解有限个离散点处的函数值，但只要单元划分得充分小时，足可以酒意计算要求。有限元法求耨问题时一般遵循以下步骤：(I)有限元计分模型的建立，包括模型总元的划分、确定边界条件.(2)对单元体进行力学分析，包括求解节点位移、单元应变和单元应力。(3)对计算模型进行分析。(4)进行计算分析.10.1.1 线弹性有K1.元法的基本方程线弹性有限元是弹塑性有限元、扭伤有限元、流变有限元等非线性有限元的基础，线弹性有跟元假定岩石介质连鼻均施、小变形和完全弹性.有限元法求解弹性力学同胞时通常以位移作为基本未知用单元位移是以单元节点位移为基本未知疑.选择合埋的位移插色函数，将单元位移表达为节点坐标的连续函效，捅依函数也可称为形函数，不同形态的单元具有不I可的形函数.图10-1为三种最常见单元形式.即三角形、四边形及四面体单元。它们的形南敢分别为:图IO-I有限元的三种茶本单元形式（八）三角形单元(b)四边形单元(C)四面体明元三角形的形函数式中，S为三角形面积；ai=xiym；bi=yi-yt；ci=xfxj»四边形的形函数M=1+49(1.+7)0=1.2.3.4)4式中，位移球为“=EN,%:v=NiviiX=EN用；y=Niy1.(i=i.j.k.m)四面体的形函数Ni=-(«,+b,x+ciy+diz)OV式中，V为四面体的体枳.单元在出角坐标轴中位移重St分别为V.»v,因此第元的位移矩阵为we=(M,v,¼ie=()(10.1)式中，,.为单元位移矩阵：NJ为形函数电际：13/为单元节点位移列阵.依据几何方程，对位移矩阵求体导数，可以知到应变矩阵=网但(10.2)式中.小I为连续单元节点位移和单元应变的电阵.也称为应变足际.对于三角形的元,BJ为常数矩阵，元素值取决于单元节点坐标差.依据本构方程，可以得到单元节点位移及单元应力矩阵之间的关系(j=DtfJ=ID1.IWJ<103)式中，D1.为弹性矩阵.应用虚功惊理和最小势能原理可以推导出IR元附度矩阵的在达式AfJ=7D1.kv(10.4)各单元的体积力和面力依据静力的等效原则移置到各型元的节点上.其等效节点力为(10.5)式中，&为作用于单元体积力IP)的等效节点荷我；Qt为作用于单元面枳力Q的等效节点荷载.设环绕某节点i共有4个单元，则i节点上的外加苛或怵,)为dF,=XjBrD1.,ddV(10.18)由于"'）随位移改变而改变，因此计尊时必需进行迭代求解。初应力法求解依据卜述计算步骤实现：（I）把全部荷我划分成若干个增量，在每一级增限段内.依据增玳弹塑性平衡方程进行求解,（2）计算各单元的应力增量及当前的应用dii=Bdiidii=Ddii<10.19）<,b=<,b.+M1.式中.下标i表示第i级荷载培崎：表示第j次迭代.（3）依据岩石的屈服准则，由各单元应力推断单元是否屈服.对于型性雎元，计算应力修正项井修正应力d%1.=DM1.1.dGn叫=矶-m*(10.20)（4）塑性IR元通过修正项m<,j计算等效节点力，全部塑性总元的等效节点力会加构成总的修正荷毂矢量mj=（dp）jdv<10.21）（5）在修正荷载作用下进行下次迭代运算，此时基本方程为Kd,j=dF,j（10.22）由系进行（2）（5）步计算直至全部的理性单元达到收敛精度要求。再进行下一步的荷就增量计算。（6）曳新施加下一鞭荷我增1.t"K+,王复计算（1）（5）步，直至计算完毕，通过累加各级荷载作用的计算结果,求得总位移“和总应力b一般初应力法的收敛速度比较缓慢.因此遹常采纳常榭度和变刚度法相结合的方法加速收敛.初应变法依据弹型性增及理论，总的应变呆可表示为<i=drdp（10.23）式中,de,.为弹性应变增盘：de。为型性应变增S1.类似初应力法可以把电性应变if1.依"旬0看做初应变,因为在计算过程中而0的计算格式和界性系统中的初应变“与）一样.图1.（K6初应变法从图106中可以看出，荷我增玳W所对应的位移为小。.按线弹性计算为由以,两界的位移增疗之差称为初始位移，它是由材料电性引起的附加位移。及模型系统初始位移对应的单元位移为“<%,那么单元的初应变为(J¾)=IBI(JJ0)(10.24)10.1.4岩石节理单元的行限元方法岩体中常存在大量节理，而节埋的变形性质和岩体力学性质有特别明显差别.从某种程度上讲，节理的存在确定希*体的力学性旗。因此分析节理的变形性质，对于探讨岩体工程的变形态况至关垂要，在进行有限元分析时，这种节理一般来熟特地的节理电元来处理，节理单元首先IhGtXK1.man提出“小？川,GOOdman认为节理不是一个实体.它只在若干点处接触.因此节埋单元也应满意这一特点，图167为无厚度节理单元，节点I及%2及3具有相同的坐标，沿节理面的应力分别为法向应力b“和剪切应力口.把节理单元两(M对应的位移定义为应变,相对的法向位移】，称为法向应变£，相对的切向位移称为切向应变J，那么节理单元的本恂关系为=0'(10.25)图10-7无厚度节理单元式中，/)'为单元的刚度矩阵,对于节埋单元长度上任何一点S处的应变可定义为界面两侧相应位移之差J=(I-I)(V4-%)+-(V3-v2)<10.26)=11_胃(“1.”1)+,3-2)(S7)匕=网力上式可用矩阵形式灰示为依据一般化公式导出节理单元对应于局部坐标的刚度矩降"2K,0KS0-Kt0-IKi002K0Kn0-Kn0-2K11Kt02Kx0-2Kf0-K,00Kh02K02Kt1.0-Kn(=(10.28)-K0-2Ks02Ks0Ks00-Kn02Kn02Kn0Kn-2K,0-Kf0K,02K,00-2Kn0-Kn0Kh02K,式中.Kn.K,分别为法向和切向刚度.对干整体坐标的刚改矩阱通过坐标变换矩阵得到.详细如下Ke=TrKeT(10.29)式中，(T)为变换矩阵，它具人分块形式的对地阵m=m1.mj7J,7J1.(1030)式中，.这种无厚度节理单元适用于模拟干腌接触的界面，而对于有地定厚度的弱面或夹层不相宜.10.2岩石力学的边界元分析边界元法(boundarye1.en>emmethod.BEM)是和彳i限元法同步发展的一种数值计算方法。及有限元相比有以卜特点，边界元法把一个均质区域看做一个大单元，只把它的边界离散化,区域内不划分单元.场变量到处连续：对于无限区域.场变用自动满意无穷边界条件及自然衣面状态.对于半无限区域.场变珏也自动满意无穷远边界条件及自然灰而状态.有限元法是全区域离散化，而边界元是把基本方程转化为边界积分方程，只对边界盛敢化建立相应的方程纲进行求斜，这样边界元使三维向胞降为二维问题求解，使二维问题转化为一维问遨求解.当物体的表面积和体积之比较小时,边界元的划分胞元数要比有限元少数倍和十几倍，这样也使待解的方程数目、处埋和存储的数据依降低同样的倍数.大大节约了机时和肾遨商用。当仅需求斛物体内部几个点的应力时，有限元仍不得不划分整个区域，才能确定这几个点的应力值,而边界元当知道边界的应力解时，就可以依据须要去求物体内部个别点的解,化应力梯度较高处,有限元法的剖分密度常常受到限制.而边界元可以便利地确定应力梯度的分布.但K1.蕾计算机硬件的飞速发展，边界元的优势渐渐显得不很明显得边界元法矩阵方程中系数阵的元素结构比有限元法刚度阵中的元素困就。有照元刚度阵属带状稀疏阵，而边界无法的系数阵为湎阵,因此时于面枳和体根之比较大的薄壁结构而言.边界元的优越性就不明1.边界元比较适合求解无限区域和半无限区域问应，如深埋普道是一个典型的例子，但边界元在计算非均质介质问题、非雄性何期以及模拟工程开挖过程等方面不如有限元便利有效.有限元及边界元划分单元的比较如图10-8.rao8有限元法及边界元法比较(a力学模型和边界条件b)有限元单元划分(C边界元单元划分求解边界方程组土要仔Massnnct和Rizzc分别提出的干脆和间接两种数值解法.干脆法是干脆建立关于边界的枳分方程，通过离散化求解边界未知参数，并进而求解计能区域内场函数瓶.间接法是设立个在求解区域内含有若干系数的满意基本方程加的解,代入边界条件求出系数.进而求得边界及区域内各点的场函数值.10.2.1边界元分析原理"a111.在无限的弹性体内作用一单位力引起四周的应力和位移的解析解是边界元求解弹性体问题的基础，如图10-9在平面无限体内i点作用一X方向的单位力，其基本的弹性解在1848年田Ke1.vin解出%=-7Ti1.T固1吗+畀刃一停为/3D411(1.-v)rcnxfxkJ