专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题5.5导数在研究函数中的应用(重难点题型精讲)一»«B»«*«*»MBf1.*«a*MB*»«*MM1.1 .函数单调性和导数的关系(I)函数的维调性与导函数/(*)的正负之间的关系单调递增：在某个区间S方)上，如果/(x)X),那么函数,、刃I。在区间3,，)上单调速增；单调递减：在某个区间3功上,如果/()<0,那么函数y=(x)在区间(“向上单调递减.如果在某个区间S内恒有/(.0=0,那么因数.产/U)在这个区间上是一个常数函数.(2)函数值变化快慢与导致的关系,般他，如果一个函数在某一范用内导致的绝对伯较大，那么在这个范用内函数值变化得快，这时,函数的图象就比较“陡皑”(向上或向卜，如果一个函数在某范国内存数的绝对磕较小，那么在这个范国内函数伯变化犯慢.函数的图象就“印缓,一些.常见的对应情况如卜表所示.(m>三*(j>>0(1)<0<>)<o化”月线来1«大且小目越来越小目越来H大由H值登函数塔加函依值0加蚤01M小的数值忒小(UStt得依束腿僵博M来题很得越来松憎2 .西数的极值极值的相关概念(I)极小值点与极小值:如图.函数尸Kf)在点=g处的函数值4)比它在点.v=”附近其他点的函数值都小./()=0,而且在点x=d附近的左俄1.(.0<0,右f1.1.!(x>O,则把点“叫做函数产危)的极小值点，贝“)叫做函数产/U)的极小值.2极大值点与极大值：如图，函数次处在点X斗处的话数值H步比它在点户b附近其他点的函数值都大，/(/»=0.而且在点x=b附近的左侧/()X).右例AXKO,则把点b叫做函数y=H)的极大值点./)叫做函数F=Kr)的极大值.（3）极小值点、极大值点统林为极微点，极小值和极大值统称为极值.（1）一般地，如果在区!叫回上函数5*的图象是一条连续不断的曲城,那么它必有最大值与域小值，并且函数的最伯必在极值点或区间端点处取得.当贝X）的图象连续不断且在“力1上单网时，共展大值和最小倩分别在两个端点处取得.（2）函数的极值与最值的区别极侑是对某一点附近（即用部）而言的,最伯是对函数的整个定义区间而言的.在函数的定义区间内,极大（小）值可能有多个（或拧没有）.但股大（小Wi最多有一个.函数MX）的极伯点不能是区间的端点，而最伯点可以是区间的端点.4.导数在解决实际何题中的应用利用导数解决实际问题时，常常涉及用料以省、成木（也用）最低、利涧最大、效率最高等问遨，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境”出!话为数学语言，抽象成数学问题,再选择合适的数学方法求解,最后羟过检验得到实际问题的解.解决优化问题的方法并不单一，运用导数求G值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.利用数解决实际问题的一般步骤找关系分析实际向Ia中变之间的关系列媪生列出实际向IS的数学模第写京系写出实际问题中变之间的函敷关系E3求导求函数的导致八”,解方枚八，*0J1.e比较的敷在区间螂点10使八的点处的比取的数倚的大小，大（小）者为大（小）Bi根费比较值写出答*”九三*.一.*.一.一.一三三三.一一三三三三三.一一.SSI利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数;U*调区网的步确定函数An的定义域I求导致AX),<3)*不等式AX)X),函数在1陵与定义城的交集上为帽的数.解不等式八XK0,丽敷在解集与定义*的的棘上为鼻函数.【例I】(2022,吉林新二阶段练习(理函数八幻=2x-51nx-4的单询递减区间是().(0,3)B.(3,+)C.(.+oo)D.(0彳)【解密思路】确定函数定义域，求出函数的好数，根据片数小于0,即可求御答案.【好答过程】由遨适函数/(*)=2*-5111丫-4的定义域为(0,+8),/",(x)=2-=当f'(x)=-j-<。时,0<X<.故函数f(x)=2x-51nr-4的总调递减区间是(),§.故造：D.【变式14】2022广西高二期末文函数y=T-Inx的或调递M区间为()A.(-1,1)B.(0,1)C.1.,+)D.(0,+)【睇题思路】求出导函数,令导函数小于0.呷可得到单网逑减区间.【解答过程】解：由题意,x>0在y=；XZ-InX中，y'=X-=当/=0时.ft?得X=-1(舍)JjIX=1当y'<0即0<xV1.时.函数单调递减.单调逋减区间为(U)Am:B.【变式1-21<2O22*夏商二期中(文)函数/(X)=(X-3)铲的单调递减区间是()A.(-O>.2)B.0.3C.1,4)D.2.+)【解题思路】求函数的导数,利用的数单辆怜和号数之间的关系解不等式f'(x)<。进行求解即可.【解答过程】函数的导数/'(x)=Cx+(x-3)CX=(X-2)c*由f'(x)<0得(X-2)ex<0.即*-2<O得X<2,即函数的单网递减区间为(-s.2故选：A.【变式1-3(2022,云南,模拟预测(理)设“为实数，函数f(x)=+g-i)2-g+2),/，(幻是偶函数，则/(x)的单调递减区间为()A.(0,2)B.(-3,3)C.(-1,1)D.(-3,3)【解题思路】求导,结合厂(外是偶函数得到f=/'Cr),求出a=1.,从而根据/(*)=32-3小于0,求出单调邂减区间.【解答过程】图为/(x)=x3+(a-1.)x2-(+2)r,所以f'(x)=3x2+2(a-1.)x-(a+2),又因为广(外是供函数,所以/-x)=r,(x),即3(x)2-2(a-1.)x-(a+2)=3×i+2(a-1.)x-(a+2).故a1=0,即a=1.所以广¢0=3炉-3,令/'(X)V0,解得-IVXV1,所以/(x)的单调递减区间为(一11).故选：C.【题型2由的数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单辑性求能数的取值芭围短常涉及的两fSV已知含函数/U)在给定区间/上单道*<=)，求川H5"方法一：将向I1转化为不等式八:这Otf(X)0)½区间，上的恒成立问.方法二I求得逢增11区间A,利用，与A的关系求解.已知南敷严TU在含"区间上单提道地(),求范方法:利用11)中的方法二.【例2】42()22江苏高二期末)设函数a)=ga2+n在(+8)上单调递增.则实数a的取值范围是<)A.-1.+)B.(-1,+oo)C.0.+co)D.(0,+8)【解SS阻路】函数f(x)在(1,+8)上单调递增等价于尸2。在(1,+8)上也成立，金变分离,进步讨论最值即可.【解答过程】由题意f'(x)=ax+g0i(1.,+8)上恒成立,即。3-5,又y=-±在(1，+8)小增.<0.则a>0.故选：C.【变式2-1(2022陕西高三阶段练习文>)已知函数"X)=(I-X)Inx+x在(1,+8)上不明调.则a的取值范围是()A(0.+>)B.(-,0)C.0,+)D.(-,0【怦即思路】因为f(x)在(1.+8)上不处调.故利用XX)在(1,+8)上必有零点，利用=1.nx-：+3构造函数Za)=Inx-：+1.，通过Za)的范眼，由此求得的取值范附.【解答过程】依题意f'(x)=-hu+:+-1.,故r(x)在(1,+8)上有零点，令g(x)=-hrr+：+a-1.令。(幻=0，得=nx-+1.令Z(X)=InX-：+1，则z'(x)=：+*,由%>1.得“x)>0Z(X)单调递增.又由Z(I)=O.ftz(x)>0.故a=z(x)>0.所以，的取伯范围(0,+b)故选：A.【变式2-2】2023,全国,高三专即练习)若函数/3)=-5+12在区间(1.,e)上单调递增，则实效”的取值范围是()A.3,+)B.(,3C.3,e2+1)D.(-8,/+1【好跑思路】根抠解数的单调性与导的数之间的关系.将单调性转化为导函数恒大于或等于0,即可求解.-''1工意11x)=2x-+;NO在M间(IQ1.r成团.即。W2x+：在区(IQI.恒成上令g(x)=2x+J(1.<x<c),则g'(x)=2T=审>0,所以g(x)阳1.,c)上单调递增.则g(x)>3,所以53.故选:B.【变武2-3】2022四川高二期中(文)已知函数/)=3+2-+1.在R上为单网递增函数,则实数的取位范围为)A.(-,-B.-,-)C.(-.+)d-3+°o)【解也思路】由遨设可得f'(x)之。在R上恒成立.结合判别式的符号可求实数的取值范阚.【解答过程】f,(x)3x2+2x-a.因为/CO在R上为单调递增南散.故/。)20在工上忸成立，所以A=4+12O即W故选：A.【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需产格技展步进行,点考虐两个向黑：一是函数的定义域，注意只斯使导数值为。的点是否在定义境内.如果不在定义域内，It襄合去.二是检查导数值为O的点的左右两例的导敷值是否鼻号，着异号，用诙点是极值点，否J1.1.不是极值点.【例3】(2022贵州高:阶段练习(文)函数f(x)=3+*-4X的极小值为(>A-B.IC.D,骂【解烟出路】根据南教求极小值的过程求解；先求f'(x)=0的解%,再判断在X0两侧的总调性，确定极侑.【解答过程】因为f(x)=3+32-4x,所以r(x)=3+-4=-1.)(3x+4).令/'(x)=OWx1="5x2=1.当xe(-8,-§u(i,+8*h/'(*)>o,当Xw(-()时,f'()<o.故“外的单调递增区间为(-8,-J和(1,+8),单调递减区间为(一a1).则当X=I时，x)取得极小值，且极小值为“D=-?.故选：C.【变式3-1(2022,山东济南模拟预测)若X=-4是南数"幻=x2+ax-5)6T的极值点,则“幻的极小值为()A.-3B.7e-5C.-3eD.0【蚱&1.思路】根抠给定的极值点求出年数的值，内求出函数极小值作答.【解答过程】1.,(x)三(x2+x-5)c*,.求导得:/'(x)=x2+(+2)x+-5cx,.Wx=-4是函数f(x)的极值点.W,(-4)=(3-3a)cs=0.斛得a=1.r,(x)=(x2+3x-4)cx,=(x+4)(X-1.)ex1.当X<-4或X>1时,(x)>