专题6.6 解三角形【九大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

专题6,6解三角形【九大题型】【人效A版(2019)【题型I余弦定理边角互化的应用】【即型2氽弦定理解三角形】5IjS型3正弦定理边角互化的应用】7即型4正弦定理判定三角形解的个数】8【帔型5正弦定理解三角舷】IO四型6三角形面枳公式的应用】I1.【SS型7正、余弦定理判定三角形形状】13即型8正、余弦定埋在几何图形中的应用】15【超型9距国.高度、角度测量问题】20，举一反三【知我点I余弦定理、正弦定理】1 .余弦定理(I)余弦定埋及其推论的表示文字表述三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的枳的两倍.公式表述tr=fr÷<'22fr<vosA.ft2=<r+c2-2<,cos.c*2=<r÷fr2-2a1.)cosC.推论.b2+c2-a2da2+c2-b2-a2+b2c2cos/4=T；.cosH=；.cosC=T-：.2bc2ac2ab(2)对余弦定理的理解余弦定理对任意的一角形都成立.在余弦定理中，好一个等式都包含四个冰，余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式.定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三余弦定理的另一种常见变式：bi+e1-ai=2b2.正弦定理U)正弦过理的表示在AC»|,若角A.B.C对应的边分别是a.b.c因此已知其中三个利用方程思想可以求得未知的i.适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题JfJ氽弦角形中的角是锐角还是钝角.CeosA.az+c2-h2=2accofH.a2+h2-ci=2csC.,则各边和它所对角的正弦的比相等即$=$=sinC'(2)正弦定理的常见变形在AHC1.,由正弦定理得：二r方方二/尸二A(X),则=ASinA,fr=sin.C=ASinC,由此可得sinAsinBsinC正弦定理的下列变形：吗=9三X=S.“sin66即人“SinC=CSinA,AinC=TSin8：sinBhsinAasinCc©abca+ba+c>+<>a+h+csinAsin8-sinCsinJ+sin-sinA+sinC-sin+sinC-sinA+sinB÷sinCt力:r=sinA:Sin8:sinCz士=3=U7t=2K.(R为AA8C外接硼的半径).sinsinBstnC(3)三角形的边角关系由正弦定理可推导出，在任意三角形中，铲大你对大边,小角Xj小边”的边地关系.3 .解三角形(I)解三角形的概念般地，三角形的三个角A昆C和它们的对边“力,c叫做：角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的附用利用余弦定理可以斛决以下两类解三角形的问魄：已知两边及它们的夹角,求第三边和其他两个角：已知三边，求三角形的三个角.(3)正弦定理在解三角形中的应用公式看r焉反映r三角形的边角关系由正弦定理的推导过程知,该公式实际表示加就广焉.i就厂肃不上述的每一个等式郴农示了二胸形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是-：组方程，对于姆一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：已知两角和任；®一边.求其他的边和角.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.4 .对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角.此时有唯解,三的形被唯一确定.已知三角影的两边和其中一边的对角，求其他的边和角,此时可能出现一解、曲解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(I)从代数的角度分析“己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角、1三角形解的情况，下面以己知“力和A.解三角形为例加以说明.由正弦定理、正无函数的行界性及三角形的性版可得；若sin8=aW>,则满足条件的三角形的个数为o：a若sin8=挺曳且=1,则涓足条件的三角形的个数为1：a若Sin8=刎d<1.,则满足条件的三角形的个数为1或2.a显然由(KSinB=幺丝且<1可得8有两个(ft,一个大于90,一个小于9O,考虑到“大边对大角”、“三a角形内角和等于18O”等，此时能进行讨论.(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角5三角形解的情况,以已知Gb和A,解三角形为例，用几何法探究如下：图形解的个数A为锐角CC'A&B“=加inA：ab一解AB1B3hsin<a<b两解C小(t<bsinA无解A为钝角或直知KKA'BBa>h一解也必a<b无解一人Af1.5 .三角形的面积公式(I)常用的三角形的面积计算公式SAW=4,=！C-A,-(Au,h.¼分别为边力,c上的面).4a=AsinC.A6=<,sinA."="sin8代入上式可得而SinC=1机'SinA=IacsinM即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦俏柒积的一步.(2)三角形的其他面积公式Sa3=4r+Hc)=+，其中分别为AA8C的内切网半径及AA8C的周长.与1,sin8sinCr.1,sinAsinC12sinJsinBWA血=亍丁SinH/s=2h'sinft'VFCsinC-f1.fi1.余弦定理边角互化的应用】IWI(2023下贵州黔西高一校考期中)在AABC中,己知(+b+c)S+c-)=3加，则角A等于()A.150°B.120°C.60°D.30°【解也思路】根楮题点结合氽弦定理运算求解.【解答过程】因为(+b+c)(b+c-)=3bc,整理得公+”-M=阮，由余弦定理可行CoM=爱=%RO0<Z1.<180°,所以A=60。.放选：C.【变式I-I1.2023上陕西商洛高二校考期末)在/18C中，内角48,C的对边分别为,b,c,若A=g,bc=3,fib+c=y,则=(>A.23B.33C.22D.32【解腮思路】利刖余花定理衣示出COSA,利用条件变换求解即可.【解答过程】因为A=g,fee=3.且b+c=J%由余弦定理知，h2+C2-a2(h+c)2-Zbc-a2COSN=-=解得=23.故选：A.【变式1-2（2023F陕西西安高一校考阶段练习在A8C中，角4、B、C的对边分别为Q、b、c,若M=b2+c2+be.则A的值是（）（解题思路】根据1.1.知条件及余弦定珅的推论即可求解.【解答过程】tiia2=b2+c2+bc,m2+c2-a2-bc.H1.余弦定理的推理得cos4="+三"=-1,CQC4Ov4又因为0<4<TT.所以A=g故选：C.【变式1-3<2023卜高一课时练习）在锐角三角形八8C中,a=1.,b=2,则边C的取值范困是（）A<1<c<3B.1<c<5C.3<c<5D.3<c<3【解题思路】由锐向三角膨及余弦定理列不等式如，结合三角形二:边关系即可结果.【解答过程】由鹿点>sC=宅式>0.即a2+从=§>¢2,则C<5,zt>同理低+>b!.c2>3.Wjc>3,又b-=1<cVb+=3.（ft2+c2>a2嫁上，瓜<c<瓜故选：C.«92余弦定理解三角形】例2（2023上新疆而二学业考试）在A/13C中，珀4,B,C的时边分别是,b,c,已知A=pd=3.h=1.3则C等于<>A.IB.2C.3-1.D.5【解题思路】利用余弦定理解：角形.【解答过程】由余弦定理三b2÷c2-2bccosA.将A=p=3,/）=1,代入为3=I2+C2-2ccosp则仃-c-2=0.J1.c>0.解得C=2.故选：B.【变式2-1】(2023J1.全国高三专跑练习在AABC中,AC=百，8C=历,cosA=竽.则48=(>A-IB.5C.10D.手【好即思路】运用余弦定理解：角形印可.【解答过程】由余弦定理得必2=人m+ac2-2A34CcosA.即-44F-5=0.解得AB=5(负值已舍去).故选：B.【变式2-2(2023海前省宜辖县级单位校考模拟预测/18C的内角4,B.C的时边分别为,“c,已知/1=；,a=7.b-c=1WOcosB=()3A公BYC考DY【解题思路】根据余弦定现求得c,进而求得CoSB.【解答过程】由余弦定理，a2=b2+cz-2加COSAb2+c2-bc,因为b-C=1.,a=V7.所以CZ+(c+I)2C(C+1)=7.即/+c-6=0,解得c=2或C=-3(舍)，1.-.Oco0JcJ274-9GMfvAb=3,c=2.CosB=-三-=.2ac2x7×214故选：D.【变式2-3】(2023上四川成都高：校考阶段练习)在48C中，ZC=p4C=2.M为A8边上的中点,且CM的长度为7,则BC=()A.23B.4C.27D.6【解题思路】分别在A4MC和ABCM中利用余弦定理得到28C2-20=AB2,在A/10C中利用余弦定理得到4+BC2-2BC=2BC2-20.然后解方程即可.在AAMC中.85"=*堤萨：在ABCM中，coszBMC=8M*MjC2ZtfMGW,：1.AMC+乙BMC=11.cos乙4MC=-CosZtfMC.乂4M=8M,J*：W-整理可得；AC2+BC2=2(CM2+AM2).UP4+BC2=2(7+AM2),MAM2AB2=BC2-10.2BC2-20AB2.在AABC,B2=XC2+BC2-2ACBCcosC=4+BC2-2BC=AB2.4+BC2-2BC=2BC2-20.解汨：8C=-6(含)或BC=4.故选：B.【型3正弦定理边角互化的应用】【例3】(2023下Yi林通化高一校考阶段练习)在A48C中，？；：A：8：C=3:4:5,则a：b:C等于(>A.3:4:5B.26;(3+1)C.h32D.225<5+)【解时出路】利用三角形的内角和定理及正弦定理HP可求斛.【解答过程】因为4：8：C=3:4:5,A+B+C1W.所以A=45,8=60,C=75.si117S,=sin(30"+454)=sin30'cos45"+cos30,si114S,=+y).由正弦定Fha:b;c=s1.4:sin:SinC=2:6:(3+1).故选：B.【变式34】2023首海校联考模拟预测在%C中,角4,8所对的边分别为,瓦若5bsin1.=2sMB,则a=()A.竽BgC.gD.竽【解题思路】根据正弦定理,即可求解.【解答过程】根据正弦定理可知,S1.iU=SinB=2,Km如所得=2,得a=喳故选：A.【变式3-2<2023上广东鹏庆高：,统考阶段练习)记A/1HC的内M,B,C的对边分别为a,