专题4.5 等差数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题4.5等差数列的前项和公式（重难点题型精讲）。筮散列的niX90公式妙凌力先累JJ和公式等差数列的前“项和公式S片地I色（公式）Sv=na1.+-4（公式二）.2 .等差数列的项和公式与二次函数的关系等差数列“的甫”项和S<1.="s+2-八日小+3-3）“，令g=A,则SO=Zfa，+8".当A=O,8=0（即启0,0=0）时，S.=0是常数函数，（”"是各项为。的常数列.（2）当A=O,屏W即占0.0割泗九S”=B”是关于”的一次函数，是各项为非零的常数列.（3）当A0,BMK即出0,s却）时，S.,=/"'+/"是关于"的二次函数（常数项为0）.3 .等整数列防”事和的性质II等差数列I.：的前"仪和S.的常用性质性夙I等差数列中依次A项之和S,.SS,.S.-S”.组成公差为AY的等差数列若等受It列的攻效为2»（。）.则.”（%F.J.S-S.=nrf.s;S.性质2若参差IJt列的«5敢为加T（IeWN）.则兄.产（2«|）-（a.是数列的中阊项）S.-S.=o.三-3.n性质3“.！为图差数列=>为等整数列怪质4若I邨为零差戳列.S.分别为它们的前«UW.三”九三一«.一.一.一一.一.一.一.一.aaam.«一.ib.一一.*9求等差数列的通项公式】【方法点拨】根据所给条件，利用也缱浜的M项和，求解等差数列的基本量，即可得解.【例I】(2022全国高二课时练习)记Sn为等差数列%1的前项和,若g=18,5$=80,则数列6的通项公式为a”=()A.2n+22B.22-2nC.20-2nD.n(21-n)【解也思路】联立<=18.5=80,求出首项和公差，按照公式求逋攻即可.【解答过程】设等差数列小的公差为d.则>5DUjIUU-oif解得：'=-2'所以=20+0>-1)X(-2)=22-2n.故选：B.【变式1-1(2022辽宁高二阶段练习)已知等域数列a/前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列的通项公式a1.1.为()A. an=6n+2B. an=4n+2C.an=6n-2D.n=4n-2【解题思路】根据等总数列IiM项和公式列方程求得小与公弟d,即可求通项公式.解答过程】设公差为d,依烟意汨51.o=101+=310S20=201+=1220解褥卬=4,d=6.所以a*=di+(n-1.)d=6n-2.放选：C.【变式"】(2021广西模拟预测(文)ig为等养数列a1.1.的前n项和，/,a3=2,S,=7,则数列ar)的通项公式“=()A.nC.2n-4D.(n-1.)(n-2)【解时思路】根抠等差数列辿顶和求和公式可构造方程组求得力,d根据等注数列辿项公式得到结果.a3=a,+2d2(ai=1S,=4a+丝d=7'解得：1.=I-故选：B.【变式1-3】2020.四川.高三期中（文）已知等差数列的前n项和为St1.若成+/=%S3=3,则数列SJ的通项公式为（）A.an=3n-5B.n=C.a,=n-1D.an=2n-3【蚱&1.思路】根抵条件a"c=：S3=3.可求Mz=1.d=%再代入等型数列的通项公式,即可符答案：【解答过程】设公差为d，则S?=当誓=3<h=3,得a2=1.,有a-d）2+（1.+d）=%解汨d=%所以册=1÷i（n-2）=n.故选：B.1.K型2等差数列也”事和的性朋】【方法点拨】根据J目条件，结合差数列M项和的性质，进行转化求解，即可得解.【例2】（2022河南新乡一模（文）设等差数列%，电的前n项和分别为S1.1.Tn,若针=黑,则之=解题思路利用等差中项求1即可.【解答过程】因为SJ.九为等基数列.所以&5=图空"）=I5aa,T15=空竽应=i5,h.所以言=普=鬻三=g.故选：D.【变式24】2021全国湎二）设等基数列/与%的前”项和分别为S1.t和几.并且S=表对于一切nN.都成立，则F=（）【情迎思路】PJH1.等-¾列的前71原和的性质可求?的位.【解答过程】尹*2n=194x11-3-41'故选：D.310【变式”】（2021陕西高二期山（埋）已知等整数列凡的前n项和为%,若卷=6.则期J值为（）1.a1?【情即思路】Oias½53,56-S3,S9-S6,S1.2-%成等差数列，设53=k,S§=6匕即可求出.【解容过出】因为SIJ为等差数列,所以3d6-的，$。-比，易2-Sq成等差数列,因为£=6.设$3=k,Sq=6k.由2(&-$3)=$3+(S1.S6)，即2($6-*)=*+(6k-S6),则$6=3k.所以$12-Sg=4k.WfWS1.2=IOfc.w=放选：B.【变式2-3（2022,江苏省府:阶段练习）己如S1.t,T“分别是等差数列%1.与"的前n项和，且针=4S=12).W1.Jr+r;?-411-*3÷<>aA.112041762342【解题小路】利用等差数列的性筋可得:+b18=+h15.相所求的式子化简.再利用等差数列前n项和即可求解.【解答过程】因为数列九是等差数列，所以f+bu=坛+瓦5,。1_01。又因为SM分别是等差效列&与d的前n项和,鹿=猾S=】2）.所以+-=。廿”_%+独_2x2OM414×20-2故选：B.tea3等差数列的前，项和与二次曲数的关系】【方法点拨】«Ura*,分析所给的答差数列的前，项和与二次函数的关系，转化求解即可.【例3】（2022.全国高二课时练习）在等差数列.）中.首项>0.公差d<0.Srt为其前”项和,则点（n,S"）可能在下列哪条曲线上？（>B.'.-z-ZI1.1.d<0.1.<0.即拊物线开口向下,排除选项AB：1.t>0.d<0.如对称轴n=-宁=；-号>0,排除选项D.故选：C.【变式3-1(2021.福建省高二开学考试等差数列%中,a1<0.自然数n,若点(n,Sr1.)在以下4条曲规中的某一条上，则这条曲线应是.bTC4公差d>0.Sn为其前几项和.对任意()【解题思路】"淖mig/的前”用和的：次梢数性质,定其开口方向和对称*位置即可【解件过程】等差数列的前“项和S.=n1+(n-Dd=n2+【解物出路】根据等与数列IMn项和公式笃出配，从函数角度,分析图象的开口及与坐标粕的交点飞林来确定最终图象.【解答过程】由等基数列前n项和公式得，Sn=n2+（1-5）n.因为V。，d>0.所以g>0,函数5r的图象开门向上，排除C,D.令51.t=0,汨n=。或n=守>0,排除B,故选A.故选：A.【变式3-2（2022河北1.=阶段练习）已知SJ是各项不全为零的等基数列，前n项和是工，I1.S?。=$24,若5m=S26（m26）,则正整数m=<>A.20B.19C.18D.17【解题思路】将又=g112+（%-g）n柠作关于n的二次函数,根楙二次函数的对称性进行计算即可.【解答过程】设等差数列SI1.）的首项和公差分别为4,d.则%=?/+（%-乡小所以SrI可否成关于n的二次函数.由二次函数图象的对称性及$20=$24,Sm=S.，可得殁i=竽,解得m=18.故选:C.【变式3-3（2021.江苏.高二专题练习）在各项不全为零的等差数列中,S.矩其前n项和.且Szoz=Szim,S*=52o5则正整数%的值为（）A.2017B.2018C.2019D.2020【解题思路】由等并数列U1J的前n项和Sn=Bn2+（%-3而（d*0）可育成关于n的二次函数，结合二次函数图象的对称性即可求解.【解答过程】解，由题怠，等差数列即的前n项和S11=/+（%-3n,0*0）,所以，,可存成关Fn的二次函数,由二次函数图象的时称性及Szo“=Szom,SIe=Sa可得些产=型箸，解得*=2020,故选：D.CAf1.4求等差数列的前，：«和】1方法点拨根IR条件.求出售差数列的蒲本，得到Ir项和公差.利用等差数列的防”旷和公式.进行求解即可.例4】2022江苏询二期中）已知等差数列%,且3（。3+唠+2（。8+%0+为2）=30则数列SJ的前14项之和为（）A.14B.28C.35D.70【解即思路】根据等能数列的性侦及求和公式即可求解.【解答过程】解，因为<为等差数列所以3(%+劭)+2(<+1(>+at2)=3X2as+2×3a0=6a5+6a10=30.所以<+QIO=5.则数列att的前14项之和$4=小丁=7(a,+a14)=7(a5+at0)=35.故选：C.【变式4-12022,贡州高三阶段练习(理>已知数列<的前n项和为工，且%+?+%2%+1=0(n,).若。11+45+%9=12，R1IS29=<>A.116B.232C.58D.87【解曲思路】根据等差数列的性质和曲n项和公式求解.【解答过程】.aj1.2+an-2ae=O(nWN).2att.=a1.f+a2.；./)为等差数列*U11+=。1+=245，Va11+as+mg=12Aa15=4.AS29=X29=2911s=29×4=116.故选:A.【变式4-2】(2022江苏扬州.高二期中)设等差数列“”)的前"项和为S”,若SJ=6.S,=12,则$产<)A.30B.36C.42D.48【睇SS也路】由遨目条件及等差数列前”项和公式列出方程,可用答案.【解答过程】设“"首项为.公差为d.因>=6.S4=12,则般含WEg=7-42.故选：C.【变式4-3(2022山东,高三期中)已知数列<成等数数列，成等“项和为却.若%=5,$=$9,J1.1ISn=<)A.7B.6C.5D.4【解腮思路】设出公差，根据前nJ和芨本修计算出公差，从而求H1.Sn=5.【解答过程】设1%的公差为d,由叫=5.S3=凡得：3a1+3d=9a1.+36d.解得：d=A5n=Ha1+55d=55+55×(-)=5.故选：C.【题型5等差效列首”项和的景值】【方法点拨】131项法着幼>o,d<o,js1.,必有大值，其可用不等式IaI来说定I着0<0.g)则5"必有小值，其可用不等式组""W;、来确定.,+1>02.二次函数法对于公差为非零的答IMJ洌,