专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题5.1导数的概念及其意义(重难点题型精讲)""3范必I.9时速度(1)平均速度设物体的运动规律是5=i().则物体在，"到1。+Af这段时间内的平均速度为当=里3胃尸皿.(2蟒时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.一般地，当，无限趋近于O时，学无限趋近于某个常数口，我们就说当Af珞近于O时，的极限是y,这时V就是物体在/=4时的瞬时速度，即瞬时速度v=hm辟=Iim出土空二*Af-O/r-O/2 .撤物线切线的斜率(I遮物现割线的斜率设二次函数尸U),则抛物线上过点%(x°JHJ)、P(XIJ+v(x<1+Ar)的割税的斜率为%=(Xo+)-(X(,)Av,2她物线切线的斜率一般地，在二次函数yU)中，当AX无限趋近于。时，芸无限趋近于某个常数匕我们就说当AX趋近于。时,W的极限是上这时就是他物现在点/Um,U>)处切线的料率,即切线的斜率QIimW-ZkVArToZxVim/(+&*)/5)AV<>3 .函数的平均变化率函数平均变化率的定义对于函数)yx)设自变量K从R变化到Xn+A,相应地,函数值y就从;UQ变化到凡"+A0这时,X的变化筮为A,y的变化盘为AFMX“+Ax)-/我的把比值去.即加=十黑一仆")叫做函数.产”）从.。到K<1+AK的平均变化率.4 .函数在某点处的导数的几何意义切线的定义在曲城.门上任取一点.virtx）,如果当点打.叮沿着曲线y=巩r）无限趋近于点七（X。次AU）时，制战%无限珞近于个确定的位置，这个确定位汽的直戊4nr是n战凡7上的一点）称为由践产;伏）在点外处的切规.（2）函数在某点处的分数的几何意义函数产儿T）在A=Xn处的导数/（抵）就是切线几7的斜率般.即.=啊,旭土智K"N（Xn）.这就是号致的几何意义,相应地，切雄方程为上Xo>（X°>u4）5 .导函数的定义从求函数词处在A=M处导致的过程可以看到，当X=XU时，/（X。）是一个唯豳定的数.这样，当K变化时,内（处就是X的函数,我们称它为F或X）的导函数（简称导数）.严/U）的导函数有时也记作A即/（r）=y=IimZUO/（r+Av）-/（右）Z1.v三«aI阱时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】2022全国高二专题绘习）已知物体做直线运动对板的函数为S=S（r）,其中S表示路程.，表示时间.则S'（4）=10表示的意义是（）A.经过4$后物体向前走了IomB.物体在前4秒内的平均速度为IOmC.物体在第4秒内向前走了IOmD.物体在第4杪时的瞬时速度为IonVS【解也思路】根据导数的物理意义可知.Sa）M数的导数即是r时刻的照时速度.求解即可.【解答过程】Y物体做比线运动的方程为S=S（t）.报据导致的物理意义可知，Sa）困救的导数是，时刻的螭时速度，.S'（4）=10去示的意义是物体在笫人时的瞬时速度为10ms.故选：D.【变式1“】（2022全国高二深收练习某物体的运动路程工（电位：m）与时间？（总位：S）的关系可用函数s（r）=t2+t+1表示，则该物体在，=Is时的瞬时速度为（）A.O11,sB.InVsC.2msD.3ms【解题思路】根据时速度的概念即可利用平均速度取板限求解.【解答过程】该物体在时间段”,1+fJ上的平均速度为捺="r=）Fu尸-CFf=3+r.*Mr无限均近于。时.3+4无限均近于3,即该物体在r=Is时的瞬时速度为311VS.故选：D.【变式1-2】（2022广东广州裔：期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的电心相对于水面的高健八（弟位：m）与起桃后的时间，（单位：s）存在函数关系Mt）=-4.9好+4.朋+11.该运动员在W1.s时的瞬时速度（单位：11Vs）为>A.10.9B.-10.9C.5D.-5【解题思路】先对用数求导,然后把¢=1代入即可求解.【解答过程】解：因为帕）=-4.9t2+4.81+11.所以A'«）=-9.8t+4.8,令¢=1,令明时速度为-5.故选：D.【变式1-3（2O22河南.高二阶段练习（理）一质点做直线运动,其位移S与时间，的关系为S=M+2'设其在t2,3内的平均速度为力,在t=2时的瞬时速度为外，则=<）3-7【解翘思路】直接运用导致的运算法则,计算即可【解答过程】V1=(302X3)-(2J2X2)32s'=2t+2.所以=2×2+2=6,所以，=孑故选：A.（«92平均变化率】【方法点拨】根据题目条件，结合函数的平均交化率的定义，即可得解.【例21（2022江苏省高：阶段练习）己知函数f（x）=X2+2,则该函数在区间”,3上的平均变化率为（A.4B.3C.2D.1（解也思珞根据平均变化率的定义M接求好.【解答过程】因为函数/（x）«X2+2.所以该函数在区间1.3上的平均变化率为"3）-f（1.）=3乙2-（产2）=4-3-2-,故选：A.【变式2-1（2022辽宁高二阶段练习）函数f（x）=-X3+1在区间-1,2上的平均变化率为（）.3B.2C.-2D-3【解密思路】根据平均变化率的定义计算即可【解答过程】由题，函数f（x）=-X3+1在区间-1,2上的平均变化率为喑早=-3故选：D.【变式2】（2022陕西高二阶段练习（理）若函数fa）=/-，当1.xm时，平均变化率为2,则,n等于（）A.展B.2C.3D.1【解翘思路】直接利用平均变化率的公式求解.【解答过程】由鹿得M=企陪=贮?=m+1=2.AxJn-Im-1所以m=1故选：D.【变式2-3】（2022陕西安康御.期末（文）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设谡药物在人体血管中药物浓度C与时间，的关系为C=/"）,甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度的时间，变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是（）A.在G时刻，甲、乙两人血管中的约物浓度相向；B.在。时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同：C.在电，引这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同:D.在储两个时间段内,甲例管中药物浓度的平均变化率相同【裤即思路】极期图象以及导致的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【解答过程】A选项,根楙图象可知.在4时刻,甲、乙两人Ih1.管中的药物浓度相同.A选项结论正确.B选项，根据图象以及导致的知识可知,在“时刻，甲、乙的人血管中药物浓度的螭时变化率不同，B透项结论正确.C选项，根据图象可知，在心，这个时间段内，甲、乙两人血管中狗物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在儿,切这个时间段内，甲血管中药物浓位的平均变化率为大于在123这个时间以内甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论楮误.故选：D.f1.fi5利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义，转化求解即可.【例3】(2022新疆高：阶段练习(Jff1.)己知函数y=F(X)在X=Xo处的导数为2,则Qm四嘿3=<)A.0B.jC.ID.2【解题思路】根据极限与导致的关系直接求解.【解答过程】根据极限与呼数的关系可知Iim必吟1.g=/，(Xo)=2,Ar-OAX故选:D.【变式3-1(2022-上海市商二期末已知/(X)是定义在R上的可导函数，若如、幺嗤3=%则(2)=<)A-1B.C.1D.744【解题思路】根据极限与导致的定义计算.【解答过程】z(2)=Iim"W)=-2Iim仅AH+)-2×-XOAxX02X2故选：A.【变式3-2(2022湖北费阳高二期末)若函数y=f(x)在X=/处的导致为1.叫更F中ZAr七'和一=D.【象的思路】利用导致的定义和几何意义即可得出.I解答过程解；若由tty=/(x)ttx=Xo处的导数为1./'(Xo)=1HIIim仰士安小-然)=2Iim低+*尔G+IimAx-OXAx02X0-aTg)-2f(xo)+(x)=3f(xo)=3.故选：B.【变式33(2022全国高二专区练习)已知函数/(x)的定义域为R若忠、4,则广=(B.2D.4【解Sfi思路】利用导数的定义可求得/'(I)的值.(1Ii导致的,-(i)=Iim(.<t÷>7,<M=4.0AX故选：D.(«94导数的几何意义】【方法点拨】根IS导致的几何意义，求解曲&在某点处的斜率或切线方程.1例4】2023上海而三专SS练习处/(S-x)-3X-2=2,/(3)=3./(X)在(3,f(3)处切线方程为(A. 2x+y+9=0B. 2x+y-9=OC. -2x+y+9=OD. -2x+y-9=O【解密出路】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出/'(3)=-2再结合I1.线的点斜式公式，即UJ求解.【解答过出】由已知,1.im¾3=2./(3)=3.令4x=x-2X2N-2.1.jmgiz2=imAr-OAxד3-4X)-“3)-x-(3)-2,W,(3)«-2.f(x)在(3J(3)处切线方程为y-3=-2(x-3).即2x+y-9=0.故选：B.变式4/(2022河南高三阶段练习(丈)己知函数y=(x)的图像在点M(3,f(3)处的切战方程是y=扛+%财+r的僦为(>【解烟思路】根抵切线方程的斜率为切点处的导致位JI切点布“幻以及切践上即可求解"3)J'(3).【解答过出】由点M(3J(3)处的切线方程是y=N+轲缺/=：.SJ3X=3时，y=i×3+=,故/(3)=J./+r(3)-2.故选：B.【变式4*2】2022河南.高三阶段练习(文设函数f(x)在点(1J(1)处的切线方程为y=2x+1,则Iim“丹丁/AJO2jcA.4【解题思路】根据曲战某点处的导致等于切线的斜率.(1)=2,再根据则?I)"啜产=/(i+x)-/=InDUJ求蝌AX【解答过程】函数(x)在点(Ij(D)处的切线方程为y=2x+1.,则妈叫呼2=M£士斤(I)=1.故选:C如图.函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-+8,则【变式4-3(2022浙江i二期中)(蚱即思路】依即感可知切点.电标.C.-1由切畿方程得到/6)=-1.利用导数的概念解出即可.【解答过程】依题意U1.知切道P(5,3),函数y=f(x)的图望在点P处的切线方程足y=-X+8.“，即山产铲r<5÷x)-(5-x)_x“5,W)一仆如)2-o/(S÷r)-f(5-x)2xAx-O"53)