专题09 动态几何定值问题（解析版）.docx
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态题是近年来中考的的个热点问题.以运动的观点探窕几何图形的变化规律问应，称之为动态几何问题.随之产生的动态几何试时就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置，数量关系的“变”与“不变”性的试题.就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言.有轴对称（翻折）.平移、旋转（中心对称、滚动）等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面枳问题、最值问题、和差问鹿、定值问他和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态间遨，变为睁态问SS来解，而静态问SS又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为猫架而精心设计的考时，可谓掖琛夺目、精彩四射，【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括战段（和差）为定伯问鹿；角度（和屋为定值同应：面积（和娃）为定伯问应：其它定位问8S.解答动态几何定Cft问题的方法,一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用跑中同行的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式,然后写出证明.第二种是枭用综合法，宜接万出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命胭形式主要为解答题,在中考压轴题中，动态几何之定俏（恒等问题的Ht点是践段和差为定位何题，句题的玳点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【兵例指引1】已知必48C是答直角三角形,NM（=90,将AA8（货点CjK时针方向旋转得到AA'H'C,记旋转角为。，当知VaVI80时，作An1.4C,垂足为。，与肥?交于点£.NCOENFOA'.COEFOA,.ZF'O=ZOEC=60".二ZSACF是等边三角形，CF=CA,=AT.VfcM=EC,ZCEM=6(.CEM是等边：角形.NECM=60%CM=CE.VZFC'ZMCE=60°,ZFCM=ZA,CE.FCM<A'CE<SAS),FM=AE,.Ck*'E=EM+FM=EF.图2由可知.NEAT=TAB=75。,AT=AT.AzF=AB'.A,EFiA'EB'.二EF=EB',B,F关于AT对称，;PF=PB1.PA+PF=PA+PB>AB,6Rt(B'M''.CB=BC=2AB2.NMCB'=300.B,M=-CB,=1.2CM=3.说明理由:(2)类比探究，如图，在旋转过程中，篝的值是否为定值？若是，请求出该定值I若不是，请说明理Eb：(3)拓展砥伸，设AK一/时，EPF的面积为S,试用含；的代数式表示51旋转过程中，若，二1时.求对应的EP厂的面积I旋转过程中，当ACT平的面积为4.2时，求对应的，的值.【答案】相M忑值，而=q：(3)2.r=2-于KMtff1.(I根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案；PFRP(2)由Af8P-V/"出大u=77,乂FG=AB=28P=I：PkGb<3>先设AE=I.BE=2(,"S4f"=S卑11Attur5mef一一SafH)?；：,S=/2-4/+5将=i代入S=产一4/+5中求科即可行出,答案;符1.2代入S=产-+5中求耨即可行，|，;【详解】(1>相似H1.1由：,'ZP+NBpA=90>.ZCPD+NBPA=9(?，ZfiAP=ZCPD.Z,NABP=NpCDHIRP-N>CD.PE在旋转过程中而的值为定仪.理由如下：过工F作FG1.BCI八G；ZBEP=NGPF，PEBPEBP=Z.PGF=9(f：.EBP-PGF，,=PFGF；四边形ABCD为彷形，.四边形ABGF为电形.：.FG=AB=2,BP=I,PE1=一PF2PFPFI即伸.，：.'>.苛的值为定俏,僚=：BFPFI(3)由(2)知：ESP-PGF'PG=PF=2'乂：AE=1.BE=2,：.PB=2(2-t)=4-2,HG=A/=/?+/<；=1+(4-2/)=5-2/.,SWFt.tiCf-S1MC一5.5,SM>g=2(5-2r)-×(5-2)-×1.×(2-r)-×2×(4-2)=r2-4r+5即：s=r-4+5:(Dnit=I时,7,F的曲枳S=/4X1+5=2.当SACTT=4.2时，/一山+5=4.2蝌得：“2-毡，/,=2+逑(i>,525，当£/手的面枳为4.2时.t=2-：5【名师点】本SS考森的是几何综合，难度系数较离，涉及到了相似以及矩形等和关知识点，第三问解建关键在于求出面积AE的函数关系式.【举一反三】如图启知心.与抛物叫=N交于A、B两点A在B的左儡M轴于点C（2再抛物线上存在点1）（不与A,BK合段Co=gA8或U的取值范围如图2*«，kx+2与Ii物线交于点E、F.点P是抛物战上的动点.延长PE、PF分别交直h-2于MsN两点,MN交、，于Q点.求QMQN的值.【答案】（1）。=1：（2114:（3）«【解析】（1）将两个函数解析式联立,解元：次方程求得A、B的横坐标.进而表示出AB.即可解答：<2i1.1.U）11WCD=jAB=2设D（屈,】）.达士D作DHh如AHF川因收足刑UJ知DHz-CH2=CDz<1.（-）（m-+4）=0,得到m-+4=0根据函数图象可知m20即可求得”的取值蕊国:3>:'iE（x.-x2）.F（,v,.->,P<H*>,分别&示EP和FP的解析式，当歹=一2时,求得4*44zu.-8nr,-81,1,4“二闩.XN=I-，联立y=:厂和y=k+2寿到二/一«-2=0,幻二次方札i+in+X244系助为J%+.0=44.0=-8,代入0射0'=一乙.5即3解答.【佯解】(1>联立'-K'.)'=:X2=a怦得？xx-2&,x2-2y<i,AB=Xff-a=4=4=1<2)III(1)知AB=4"".CD=B=2设D(>5嬴M本牌为二次函数与一次函数绘合他,碓度大.主要名筐二次函数与一次函数交点问题.还涉及广一元二次方程和勾取定界等知识，熟嫌掌握一次函数与.次函数的性质和相关知识点是解题关键.类型三【角及角的和差定值】典例指羽3】如图.在AABC中,ZBC>60atNBACV60、以A8为动作等功A八/“)(点C,O在边“J的同«0,连接).(1)若N.48C=90,ZBAC=M,求NZWM的度数1(2)当NZMC=2N”"C时，请判断AAbC的形状并说明理由I(3)当N4CO等于多少度时，NBAC=2NBDC恒成立.【答案】<1)30"；(2)AABC是等腰三%形，理由见解析：(3)'UBCD=150Bt,NBAC=2NBDC恒成立.【解析】(D证明AC垂直平分BD,从而可用CD=BC.继而将BDC=30o:(2)设NBDC=X.则BAC=2x.证明NACD=NADC,从而褥AC=AD.可根拉;AB=AD可得AB=AC.从而得AABC是等腰三角形：<3)如图，伸等边ABCE,连接DE,证明ABCDgAECD后可得到BDE=2NBDC,再通过证明BDE94BAC得到NBAC=/BDE,从而得BAC=2BDC.【详解】(I).CABD为等边三角形，ZBAD=ZABD=60o,AB=AD,丈:ZBAC=300,AC平分/BAD.'AC垂荏平分BD.'.CD=BC./BDC=NDBC=NABC-NABD=Wy=W:又；AABD为等边三角形.AB=BD.NABD=NCBE=60%ABC=DBE=6<r+NDBc又.BCBE,BDE!BAC.ZBAC=ZBDe.BAC=2ZBDC.1名师点南本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等,熟练拳探和运用相关性质、结合图形正确添加辅助线是解题的关键.【举一反三】如图1,抛物於卬:y=ri-2的璐点为点八，与'轴的负半轴交于点。，直线48交拗物线M于另一点(1)求宣线AH的解析式；(2)过点C作CE_1.K轴，交r轴于点E,若AC平分NQCE,求抛物线''的解析式(3)若=；,格发物线''向下平移，(，>()个单位得到Ii物线,如图2,记Ii物线W,的JI点为A,与'轴负半轴的交点为。，与射线3C的交点为G.向，在平移的过程中，"m),G"是否值为定值？若是，请求出，/RC,的值I若不是，请说明理由.【答案】y=2x-2:(2)>=-2s<3>5/£>£8恒为定伯;.【解析】C)由弛物线蟀析式可褥顶点A坐标为(0.-2),利用待定系数法即可得直视AB解析式：2如图,过点5作8V1.>JN.根生:mJ性质可用BE=BN,由/BND=/CHD=帅.ZBND=ZCDen；.i1.jVVD:VCE"设BE=x,BD=y,根楙相似用彩的CE=2x.CD=2y.BOBEDB.三,AOCE2CD设BE=.*BD=y.VACE=2CD=2y.CD2=DE2+CE24j2=(.v+y)2÷4x2.(.r+y)(5x-3y)=0.：.y=X.,3.JC(x+,2x),由01-：乂0),C.D足附物殴w：,v=r-2I2x=«(x+1.)：-20=“一*)-2x>0.(3)QtNAC1.8”为定值,刘国如卜、y=2x-2,1.C，产/一2fx=4=0斜得：/或.(),=6y=-2a'C(4.6),a(0.-2)，.GC=6,DG=OO+OG=2+4=6,DG=CG.HeG1.M±.ZGDC=45o=ZC1D1H.C1.D1./CD.'.ZD1C1B=ZDCR,：.fan/ID1C1B=IanNDCB,：NCDB=45".BF1.CD.BD=OD+OB=2+=3."FDB=NFBD=*：.DF=BF.DB=近DF=3，'DF=BF=2点。(-2.0).点C(4.6).；.CD=/(-2-4)：+(0-6)2=6y2.9J7CF=CD-DF=-2BF'I1.NDGB=IanADCB=2;=-工ianZDCBa为定电.EP=EBZEPB=ZEBB(2)证明；四边形EpGF由四边形EFCB折免而来，EB与EP量叠,PG与BCm段ZEPG=ZEBC又丁/EPB=/EBPZEKi-ZEPB=ZEBC-ZEBP,IEPZBPH=ZPBCVAD/7BC.ZAPB=ZPBC.，NAPB=/BPH(3)解：APDH的周长不发生变化.如图所示，过点B札BQJ.PG于点Q.在4BPA和&BPQ中
