专题05 一元二次方程（讲义）（解析版）.docx
专题05一元二次方程核心知识点精讲1 .理解一元二次方程的概念.2 .掌握一元二次方程的解法，包括直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等.3 .理解根的判别式的定义.4 .掌押一元二次方程的根与系数关系.5 .掌握一元二次方程的应用方法.考点1一元二次方程的假念1 .一元二次方程定义；含有个未知数，并且未知数的以高次数是2的整式方程叫做元：次方程，2 .一元二次方程的一jR形式Iat2+v+c=0(，*0),它的特征是：等式左边十一个关于未知数X的二次多项式,等式右边是零,其中如2叫做二次项.a叫做二次项系数：bx叫做一次项,b叫做一次项系数：C叫做常数项.考点2一元二次方程的解法I.直按开平方法利用平方跟的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.宜接开平方法适用于解形如(X+a)-=b的一元二次方程,根据平方根的定义可知.X+a是b的平方极，当力0时，X+。=土而，x=-a±>!b.当b«)时.方程没有实数根.2JE方法配方法是一种Hi要的数学方法，它不仅在解，元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公大/±2皿+/=(+方*把公式中的a石做未知数N，并用X代济WHf.V2±+,2=(x±>)2.3 .公式法公式法是用求根公式斛一元二次方程的解的方法,它是斛一元二次方程的一般方法。一元二次方程a/+桁+c=(XaW0)的求根公式：.心歧三行一4.c0)2(j4 .因式分解法因武分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法.这种方法简单易行，足解元二次方程最常用的方法“1.<X-1.X.r-X,）=0.则X=X1.或T=X2,考点3根的判别式I.根的判别式一元二次方程ax2+Z>A+c=（Xf1.0）J.Ir-4c叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（aQ）的根的判别式，通常用“A”来衣示，即A=-4J（1）当A=-4Cx）O方程有2个不等的实数根；（2）当小=从-4w=°u>方程有2个相等的实数根；（3）当A=-4d0o方程无实数根：考点4一元二次方程的根与系敷关系1 .一元二次方程根与系数的关系，如果方程”/+6+c=（XO）的两个实数根是小三，那么,+x,.v1,=,也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程两根之和等于方程的一次aa项系数除以：次JS系数所得的商的相反数；两根之枳等于常数项除以：次项系数所得的商.2 .一元二次方程根与鬣数的关覆的运用，<1）知道一元二次方程的一极，求另一根：（2）不燃方程.求关于一元二次方程，七的代数式的值，: +七？=（X1.+x2）2-2.v1.r,I J"+1.1.;X1X2X1X2XI-XJ=（x1.+x,）2-4X1X2考点5一元二次方程的应用1 .列一元二次方程解应用J1的步h（1）审甥；（2）设未知数：<3>列方程：（4）髀方程：（5检验：（6）作答.2 .常见的J虱<1）增长率时时：设a为胤来的m,X为平均增氏率.n为增长次数，b为增长后的量，则a（1.+x）n=b；当X为下降率时，则有a（1.-）n=b：（2）面积何即常见图形：（3）利润问题：<4）提手问题.k%曲例引领Cf1.Sh一元二次方程的霰念】（典例I（2023秋宝安区校级）下列是一元二次方程的是（）A./-X=IB.2x-1=3C.2-+1=0D.=5【答案】C【分析】只含有个未知数<-7C>,并R未知数的最高次数是2（:次）的格式方程,叫做一元二次方ft.根据一元二次方程的定义分析弁断即可.【解存】解；.-=I,未知数的最高次数足3.不足一元二次方程，故不符合题点：H.2x-1=3,未知数的最高次数是I.不足一元二次方程,故不符合题急：C. ?-.r+）=0.是一元二次方程.符合遨意：D. X-1=5,不是整式方程.故不是一元二次方程，不符合超超.故选：C.*E即时检测1 .（2022秋增城区校组期末）卜列方程中，属于一元二次方程的是>A,-y=1.B.x=3C.t2-I=OD.xy-I=O【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义（只含有个未知数.并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元.次方程逐项判断即可得.【解答】解：.x-y=1.是二元一次方程,此项不符合题息；8、x=3是一元一次方程,此项不符合题遇：<?.-1=0是一元二次方程.此项符合题意：。'冷一I=O含有两个未知数，不是元：次方程，则此项不符介即意.故选：C.2.（2022秋新会区校级期中）下列方程中是元二次方程的是（2(.x+1.)2=0；x+2y=6:/-4.r-5=0；Ir2=S.A.(JXgXS)B.®C.D.®【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可.【解答】解：2<+I>2=0是一元：次方程：x+2y=6.含有两个未知数,未知数的最高次不足2.不足一元二次方程：-4x-5=0是一元二次方程：3?=5是一元二次方程：二是一元二次方程，故选：A.3. 2023伙南海区期中)一元二次方程4+1.=6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.4.1.6B,4.6.1C.4.-6.ID.4.-6.-1【答案】C【分析】先化成元：次方程的-,段形式，再找出，元.次方程的：次项系效、诙项系数、常数顶即可.【解答】解：4+1.=6t.移项，f1.)4x2-6,r+i=0.所以一元二次方程4/+1=8的二次项系数,一次项系数、常数项分别是4,-6.1.故选：C.匚典例引领2>一元二次方程的解法】(此例2(2023南海区模拟)已知a是方程r-2x-2023=0的根，则代数式2c-4«-2的值为()A.4(M4B.-4(M4C.2024D.-2024【答案】A【分析】先根据一元二次方程解的定义得到/-2=2O23,再把2-M-2变形为2-2CO-2.然后利用整体代入的方法计算.【解答】解：入是方程f-2r-2023=0的根，；.?-Ia-2023=0.即J-24=2023,/.2«-4«-2=2(a-2a)-2=2*2023-2=4046-2-4(M4.故选：A.【典例3】(2023秋白云区期中)用配方法解-元二次方程F4x-6=0时，盘方后的方程是(A.(x+2)2=2B.(-2>2=2C(X+2)2=10D.(-2)2=IO【答案】D【分析】利用解元：次方程-配方法,迸行计算即可解答.【解答】解：r-4a-6=0.x2-4x=6.X2-4,r+4=6+4.<-2)2=10,故选：D.I弛例4(2023秋东莞市校级期中)请用两种方法解方程：X2-6r+5=0【答案】X1.=I，2=S.(分析利用因式分解法和配方法分别解方程即可.【解答】解:因式分解法:X2-6r+5=0.(x-i)(-5)=0.：.x-1=0.X-5=0.x=i.t2=5.足方法：X2-6r+5=0.X2-6=-5X2-6+9=-5+9,<x-3)2=4,-3=±2.,.i=,.«=5.年即时检测1 .(2023秋廉江市)苫X=I是方程r-ZtM=O的根，则“的值为<>A.IB.-IC.0D.-2【答案】A【分析】直接将K=I代入方程，BP可得出答案.【解答】解：.X=I是方程f-2x+a=0的松，*-12+rr=0故答案为:.2.（2023秋龙华区校级）把方程.1-6x+1.=0转化成（x+m）?="的形式，则八的值是（>A.3.8B.3.10C.-3.10D.-3.8【答案】D【分析】根据解一元二次方程配方法进行计算,即UJ解答.【解答】解：7-3+1=0,移项得：X2-6t=-I.配方汨：/-6v+9=-1+9.即<x-3）2=8,V方程?-6v+1.=0转化成（x+,n>2=n的形式.w三3/t=8故选：D.3.（2023秋宝安区期中）用配方法解方程x2-4x-3=0,W1.也方正确的是（>A.（-2）2=B.（,r+2）2=1.C.<-2）2=7D.（.r+2）2=7【答窠】C【分析】先把-3格训方程的右边.然后方程两边都加4.M把左边根据完全平方公式与成完全平方的形式即可.【解答】裤，.F-4k-3=O.,.x2-4x=3.x2-4r+4=3+4.<-2）2=1.故选：C.4. （2023秋中山市期中）用配方法解一元二次方程-6什4=0,配方后得到的方程是（）A.（x+6）2=5B.（-6）2=5C.（x+3）2=5D.（-3>2=5【答案】D【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计究即可解答.【解答】解：?-hv+4=0.X2-ft=-4.X2-6+9=-4+9.<-3）2=5,故选：D.5. <2023秋珠海校级）用公式法解一个一元二次方程的根为X=匚¥亘,则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（A.6,5.1B.3,5,-IC.3.5,ID.3.-5.1【答案】C【分析】先写出一元二次方程or2+阮+c=0(HO)的求根公式,然后根据公式.结合已知方程的根.列出关于,>,c的方程，解方程即可.【解答】解：一元二次方程OA/>+c=0(加0)解的求根公式为：x=Ta°,元二次方程.211=6.-6=-5.Z>2-4c=13,：.a=3,b=5.5'-4×3c=1.3.c=1.工此方程的：顶式系数，一次项系数，常数项分别为：3.5.I.故选：C.6. (2023秋深圳)用适当的方法解卜列方程：2x(.v+3)=(x+3)2.【答案】Xi=-3.-2=3.【分析】先把等号右边的部分移到左边，然Vi提取公囚式+3,进行因式分解.从而把元二次方程转化成两个一元一次方程.进行解答即可.【解答】解：Zv<x+3>=(x+3)2.ZrCr+3)-(x+3)2=0.<+3><2r-3>=0.<x+3>(x-3)=0.x+3=0.X-3=0.Xi=-3,X2=3.7.(2023秋顺浦区校级月考用因式分解法解方程9=(X-22时，因式分解结果正确的是<).4(2-1)(X-I)=0B.4(2v+1.>(-|>=0C.4(2v-1><x+1.)=0D.4(1.r+1.)(x+1.)=0【答案】C【分析】移项，然后利用平方差公式分解因式解即可.【解答】解，9=<-2)2,9.r-(x-2>2=0.<3x+x-2)(3x-x+2)=0,<4x-2)(2x+2)=0.4(Zr-I)(+1.)=0,故选：C.,典例引领KB93t根的判别式】【典例5】（2023秋两山区>若关于X的方程（w-1.>+4x+1.=0有实数M则，”的取值范围是（）A.w5U,nB.m>5C.n<5D.m<5【答案】C【分析】根据一元二次方程有实数根,分两
