专题10 三角形问题（解析版） .docx

专题10三角形问题r、【典例分析】【考点I三角形基础知但【aU若长度分别为“,3,5的三条线段能Ia成一个三角形，Ma的值可以是()A.1B.2C.3D.8【答案】CKMfr1.【分析】根据三角形三边关系可得5-3<a<5+3,解不等式即可求解.【详解】由三角州三边关系定理得t5-3<a<5+3.即2<a<8,由此可得,符合条件的只有选项C,故选C(Aff)本题考查了三角形:边关系.能根据：角形的:边关系定理得出S-3<aYS+3是解此必的关犍,注意:6SBDEM)FI1.ZBZDAFDB=DA,ZBDE=ZADf：.MiDEMDF(ASA)：,BE=AF：(3) iH1.:过点M作MEHBCAB的延长线JE.ZWE=90o.WAE=42AB-NE=45。，ME=MA.；ZAME=垃.ZfiMV=90°.NBME=ZAMN，ZiME；MMN1.,.NE=NMANME=MA.NBME=ZAMN：.SBMEMMN(ASA),：.BE=AN.：.AB+AN=AB+BE=AE=2-图3【点册】本胭考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、出角三角形的性质.掌握全等三角形的判定定理和性旗定理是解题的关键.【支比21】Q）如图，在四边彩ABCO中，HCI）,点E是8C的中点，若AE是V）的平分线，试判断.13,AD,QC之间的等坦关系.解决此问S以用如下方法：延长人£交DC的砥长战于点尸，舄证MfBgMEC得到A8=FC,从而把A8,AD,以转化在一个三角形中即可乂断.AB,D,/X之间的等量关系一（2）问题探先如图，在四边形4BC/）中，AB/CD.A/与/X?的延长线交于点尸，氤E是BC的中点，着AE是/珈户的平分线，W三%,4B.AF,CF之间的等关系，井证明你的结论.【答案】（I）A1.）=A1.i+IX:,<2>AB=AF+CF.理由详小蚱析.【晰】【分析】I）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得Af）=。尸,再根据AAS证得ACEFgMEA.：止AB=CF.进一步即二结论:<2）延长AE'ZDF的延长线点G.女:图,先根据AAS证明HAEBWGEC可符AB=CG.ii根艳尔平分线的定义朱T行线的性功.证行RA=FG,进而得出结论.【详稀】河：八。BDC理山如下：如图】，；的平分线.N4E=N4E.ABDC,：.ZF=BAE.-DAF=ZF-'-AD=DFVa1'.E足Bei内中点.CE=BE.丈'：NF=乙BAE，ZAEB=ZCEf：.ACEFBEA<AS>.：.AB=CF：.AD=CD+CF=CD+AB枚答案为：AD=AB+IX：.<2)AR=AF+CF.理由如下I如明延长AE交。尸的廷K”IJ1.G.：ABHDCsBAE=NG，V：BE=CE.ZAEB=NGEC，:.XEBgAGEC(AAS),AB=GC-：E足ZBAf-'的平分线.二Zf1.AG=ZMG.,.ZHAG=ZG.ZFAG=ZG.，FA=FG、'：CG=CF+FG.AB=AF+CF(A,Bft本跑考ij'全等三角形的判定和性侦、平行城的性侦、角平分线的定义和等知对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等:.角形是解本区的关键.A12<2如图，A1.i=AD,HC=DC,点/.在AC上.(D求证1AC平分NMo1.(2)求证IBE=DE.【答案】(1)见解析；<2)见斛折.tAMfr1.【分析】<1)由超中条件易知：ABC55ADC,可得AC平分NBAD：<2)利用(1>的结论,可得ABAE经ZiDAE.得出BE=DE.【详解】AB=AD解：(I)在A8CDC中，AC=ACBC=DC：.ABC>ADC(SSS).BAC=ZDACWMCY分Nf1.4。：<2)|：|(1)NBAE=NDAEIBA=DA(ABAE1.-.VME,I,.(!1<NBAE=ZDAE(E=E.'.BAEADAE(SAS)/.BE=DE【点瞄】熟练运用三角形全等的判定,得出三地形全等.转化边角关系是解题关键.【考点31第三角形与边三角形的判定与性质的应用优3如图，在ZMBe中，AC<AB<BC.已知线段XB的森直平分线与BC边交于点P,连结P,求通IAPC2?以以点B为国心，线段AB的长为半径J1.与BC边交于点Q,连结AQ,若？A(ZC3?B,求D8的度r答案】(D见解析：(2)ZB=36a.KMIfr1.【分析】(I)根据事宜平分线的性质.得到PA=PB,再由等层三角形的性质得到NPAB=NB,从而得到答案：<2)根据等腰三角形的性质得到NBAQ=NBQA.设/B=x.由题造得到等式NAQC=B+NBAQ=3x.即可得到答案.【详解】<1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上,所以PA=PB,所以/PAB=/B,所以APC=PAB+B=2B.（2）O：SS«.J9BQ=BA.所以/BAQ=/BQA.设NB=x.所以/AQC=NB+NBAQ=3x.所以NBAQ=BQA=2x.在AABQ中,x+2x+2x=1.80o.解得x=36°,即NB=36°.（a,M本题考查垂直平分线的性侦、等腰三角形的性质,解遨的关扬是掌樨垂自平分线的性质、等腰：角形的性质.【支戈3-1】如图，AA改是等边三角形，延长BC'到点。，使Q=AC,tt.4D.若AB=2,U!/W的长为一.【答案】23KMIfr1.【分析】AB=AC=BC=CD.即可求出BAD=90%ND=MF,解宜第三处形即可求得.【详解】解；A4BC是等边三角形.,NB=NBAC=AACB=60，：CD=AC.j1.D,则RtMCD=RtMEAD(H1.).：.AE=AC=6.f1.E=IO-6=4.设CO=O£=x，则肘)=8-.：R1.gDE('.DE2+BE2=BD2+4'=(8-x)2.解得X=3.CD=3;3UBDE=9011ZCDE=NDEF=ZC=WCD=DE.二四边形CDEF是正方形.ZAFE=NEDB=90ZAEF=ZB.AA£F-ESD.,AFEF.三"EDBD设CD=XEF=DF=X,AF=6-.HD=S-.6-xX解得X:.CDX-24i724T=,滋.CD的IW为3或5:角形的性质即可求出BP的长.解：7AB=AC.ZB=ZC.VZAPD=ZB./.ZAPD=ZB=ZC.,.APC=ZBAP+ZB.ZAPC=ZAPDtZDPC.ZBAP=ZDP('.ABPPCD,BPAB.'一=,CDCPB<D=CPBP.VAB=AC.C<D-CPBP:<2)；PDAB,.,.ZPD=ZBP.VZAPD=ZC.ZBAP=ZC.VZB=ZB,BAPBCA.,弛_VAB=IO.BC=12,.IOBP丘"而冲空.3“点防”本题主要考Cr相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行战的性顷'.角形外角的性城等知识,把证明AC<D=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第(1)小区的关1.证到/BAP=NC进而得到BAPsBCA是解决第(2)小题的关键.【支比夕2】大唐英尊19是中国第一个全方位展示盛*风藐的大型J1.奴园林式文化切公BB,全Ig标志性建筑一紫云楼为代表，展示了，丽升量云景，天下臣JI帝王心”的唐代帝王风范(如图).小风和小花等同学，用一些M工具和所学的几何知识费萦云楼的高度，来检出自己掌握知识和运用知识的能力,他们经过研究需要两次,，：It先，在阳光下，小风在蒙云检影子的末*(点处竖立一根标杆C”此时,小花H1.得标杆C/)的影长c%=2米，C)=2米；然后，小风从C点沿叱方向走了5.4米，到达G处，在G处装立标杆尸G接着沿/“，后退到点M处附，恰好看见蒙云楼JM1.4,标杆尸在一条直线上，此时，小花得GM-0.6米，小风的眼到地面的距离M=I.5米，FG=2米.本也考森了相似三角形的应用.正确的识别图形是解遨的关椀.【考点6anj.ifA具会用【优6】三角板是我的学习数学的好帮手君一对直角三角板如图放，点C在广。的延长线上,点8在E。上.AR/CF,NF=NAC'8=90,NFS.Z4=60o,AC=IO,则CO的长度是.KM*r1.【分析】过点B作BM1.FD于点M,根据题速可求出BC的长度,然后在AEFD中可求出NEDF=45。,进而可珥出答案.【详解】过点B作BMFD丁点M,在AACB中，ZACB=900,ZA=M)0,AC=IO,：.ZABC=30o,BC=IOxtanftO=IoTJ.VAB/7CF.ZBCM=ZABC=30AE=-Afi=I(X).2,:AC=20.：.CE=80.：ZCED=90o斜坡CD的坡度为】：4.CE1.=一DE4,801-J=,ED4解价.ED=320.CD=8O2+32O2=8(17米谷：斜坡CDYJK之8。JT7米.(,U1本题考查解直向三角形的应用-坡度歧角何时.解答本题的关犍是明确题意,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.ItA6-21如图是某区域的平面示意图，码头4在观窝站8的正东方向，码头t的北偏西60方向上有一小岛C.小岛C在观站"的北儡西15方向上，码头A到小岛C的距离Ac,为10海里.Q)填空：ZBAC=K,NC=1I(2)求观评站B到AC的距离8P(结果保窗根号).1答案】30,45：(2)(53-5)海里【所】【分析】I由题惫得：ZMC=90'-60'=30"ZAC=90'+15'=105门仔叼入IZC的度数:'O入X【答案】C【卿】【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的乖I1.平分线的交点，然后利用基本作图为各选项进行判断.【详解】一:知形外心为:边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线.从而可用直尺成功找到三角形外心.故选C【点睛】本胭考转J'作图-兼本作图：物练掌握基本作图（作条戏段等F已知般段：作个用等尸已知角：作已知嫉段的乖H平分线；作己划角的角平分成：过点作己知口线的垂襄）.也考在r三角形的外心.2 .已知n正要数，着一个三角形的三功长分别是n+2、n+8、3n,则滴足条件的n的值有（）A.4个B.S个C.6个D.7个【答案】D【丽】【分析】分n+8与3n最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式投，解不等式组后求出正第数解即可得答案.【详解】Vn+2<n+8.；.分n+8报大与Jn最大两种情况.+2+3>+8,n+8Ji1.攵时,+8-3n<n+2,11+8>3j