八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球78369.docx

八个好玩模型一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨松老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施,我以付老师的文章主基石、框架，墙加了我个人的理解及例胞,形成此文，仍用文原名,与各位同行共享.不当之处,敬请大家指责指正.一、有关定义1.球的定义:空间中到定点的矩离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，筒你球.2,外接球的定义：假设一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，那么称这个多面体是这个球的内接多向体,这个球是这个多面体的外接球.3.内切球的定义：假设一个多面体的各面播与一个段的球面和切，那么称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关学问与方法1 .性质：性册1：过球心的平面截球面所知圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等：性物2：羟过小圆的Ii径与小明面垂ri的平面必过球心，该平面截球所得圆是大IR1：性柄3：过球心与小曝13心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：BI的垂径定理）；性防4：球心在大Ia面和小网面I的射影是相应网的同心：性质5：在同一球中，过两相交Bi的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心（类比:在同酸中，两相交花的中垂线交点是圆心）.2 .结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点足球心：结论2：般改由长方体切得的多面体的全部丁亮点毡原长方体的顶点，足么所得多面体与原长方体的外接球一样；结论3：长方体的外接球食径就是面对地线及与此面垂宜的棱构成的直角三角形的外接R1.R1.心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（极）构成的直角三角形的外接圆是大19：结论4：圆柱体的外接球环心在上下两底面圆的圆心连一段中点处：结论5：圆柱体轴嵌面矩形的外接即是大圆，该矩形的对角践（外接Wi口径）是球的直径：结论6：宜枝柱的外接球与该棱柱外接圈柱体有一样的外接球：结论7：园推体的外接球球心在网推的高所在的直线匕结论8：圆锥体轴极面等展：.角形的外接圆是大圆,该三角形的外接渊直径是球的直径：结论9：恻核相等的校锥的外接球与该校锥外接圆锥有一样的外接理.3 .嬉殿利:勾股定理、正定及余弦定理（解三地形求线段长度）：三、内切球的有关学问与方法1 .假设球与平面相切,那么切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一样性）.2 .内切球球心到多面体各面的距离均根等，外接球球心到多面体各顶点的距盘均相等.（类比：马笠边形的内切ED.3 .正多面体的内切球和外接球的球心理合.I.正极椎的内切球和外接球俅心祁在曲线上,但不肯定也合.5.根本方法：(I)构造三角形利用相像比和勾股定理:(2)体积分割是求内切球半径的通用做法等体职法.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、埴角模型(三条梭两两重宣，不找球心的位即可求出球半径)o>a-2(*答图)方法：找三条两两垂直的线段,干脆用公式(2a尸=/+b2+ci,UP2R=a2+r+c2.求出R例1(1)各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体枳为16,那么这个球的外表枳是(A.16nB.20;TC.24;TD.3211(2)假设三楂徒的三个侧面两两垂直，且恻极长均为6,那么其外接球的外去积是(3)在正三核推S-AAC中.，”、N分别是校SC、Ae的中点,且人例J.MN,假设mjtSA=2j"那么正三梭饰S-ABC外接球的外表积是.解：引理：正三校一的对海互亶i三明如下：如图(3)-1,取4及BC的中点,连接4E,C7),AECD交于.连接S“，那么H是底面正三角形ABC的中心，.SH1ffABC.SH1A/3.AC=BC,Af>=8D.Qj_A8,.A3，平面Ss,Ati1.SC,同理：BC±S,AC±SB,即正三板锥的对桢互垂此SS图如图(3)-2,.AM1.MN.SBHMN.AM1.SB.AC1.SB.：.SB±平面SAC,：.SB±SA.SBA.SC.SB±SA.BCA.SA.,54_1平面58。.&4_1_5<7,故三极锥S-ABC的三敕条例桢两两相”.垂直，(2R)2=(23)2+(2f3)2+(23)2=36.即4K2=36.二正三棱锥S-ABC外接球的外表积是36万.(4)在四面体S-ABC中，SA_1.平面ABC,84C=I2O；SA=AC=2,A8=I,JE么该四面体的外接球的外表枳为()A1.1187”C.D.-1133(5)假如三校推的三个侧面两两乖口，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的外表积是(6)某几何体的三视图如下图,三视图足腰长为1的等腰直角三角形和边长为I的正方形,胸么该几何体<6B类室二、对检相等模型(补形为长方体)题设I三树t(即四面体)中，三Ia对检分别相等，求外接球半径(A8=)AD=BC.AC=BD)第一步：画出一个长方体,标出三加互为异面直线的对极：其次步：设出长方体的长宽面分别为“,Ac,AD=BC=tAB=CD=y,AC=8D=z.列方程纲，a2+b2=x2222b2+c2=y2n(2R)2='÷Z>2+c2="，c2+a2=Z2补充：图2-1中，V1sn?=abc-abc×4=-abc.63第三步：依据墙角模型,2K=J1+c2=x+q一V28VX求出R.例2(I)如卜列图所示三校同A-BCD,其中八8=CD=5.八C'=8O=6.八。=8C=7.那么该三校推外接球的外表枳为.(2)在.梭椎A-BCD中,Afi=CD=2.AD=BC=3,AC=50=4.那么二梭椎A-38外接球的外表积为.(3)正四面体的各条棱长都为我,那么该正面体外接球的体积为(I)校长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球i6i上，假设过该球球心的一个截面如下列图，加么图角形证四面体的截面)的面积是.第一步：确定球心。的位置，。|是A8C的外心，那么OaJ.平面A8C：其次步：算出小啜。I的半径AOt=r.Oa=：AA=：/J(AA=%也是圆柱的高)：第三步：句股定理：OA2=O1A2O,O2=>R'=()2+ri=>i=r2+()2.解出R例3(1)一个正六枝柱的底面上正六边膨，其恻棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为,，底面周长为3,那么这个球的体枳为(2)直三棱柱ABC-A4G的各膜点都在同一球而上,般设AB=AC=AA=2,NKAC=I2(T.法么此球的外表枳等于.(3)AEAB所在的平面与矩杉ABS所在的平面相互垂出，EA=EB=3.AD=2EB=.那么多而体E-人88的外接球的外表积为.（4）在直三棱柱A8C-A4G中.=4.AC=6.A=y,M=4,那么直三板柱ABC-A£G的外接球的外表枳为.其次讲健体背景的模型类觉四、切瓜模型（两个大小国面相互近直且交于小宣径一正弦定理求大回宣径是通法）三4-B4-2B4-3B4-41 .如图41.平面PACJ1.平面ACC,且A8J5C（WJAC为小圆的直径C且P的射影是AATC的外心u>三极推PABC的一条偏梭相等u>一:核P-ABC的底面M8C在圆锥的底上，顶点P点也是圆谁的顶点.解时步骤：第一步：确定球心。的位置，取AABC的外心0一那么P,QO三点共线：其次步：先匏出小用Q的半径八Q=r,可17也棱徘的鸟/'Q=/，（也是圆锥的高）：第三步：勾般定理：O1=O1.2OiO2=>Ri=（h-R）2+ri,解出R：力实上，ACP的外接IBI就是大圆，干脆用正弦定理12可求解出R.2 .如图卜2,平面AACj平面A8C.F1.AZi±BC（即AC为小朋的内径）.RP±AC.那么利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2及/=¼（2r）2o2R=>42+（2r）2：川=产+（）i-OR=yr+OO'3 .如图43.平面/乂CJ1.平面A8C,且A/i_1.AC（即AC为小网的直径）OC2=O1C2+O1O2OR2=r2+O,O2OAC2yR2-O1.O24 .题设：如图4-4,平面/>AC_1.平面八8C,f1.AB±BC（即AC为小IaI的点径）第一步：易知球心。必是APAC的外心,即APAC'的外接网是大阴I,先求出小网的直径AC=2r:其次步：在APAC中,可依据正弦定理一9一=/一=一=2«.求出K.sinAsinBSinC例4（1）正四棱推的顶点都在同一球面上偎设该极推的高为1.底面边氏为21.那么该球的外表积为.（2）正四极椎S-ABa）的底面边长和各侧梭长福为I,各顶点都在同一球面上，那么此球体积为_（3）一个正三校推的四个顶点福在半径为1的球面匕其中底面的三个顶点在该球的一个大网I-.那么该正三桢椎的体枳是（）,柜B叵C.在D也43412(4)在三棱推P-AAC中.PA=P8=PC=6,侧极/%与底向A8C所成的角为60.那么该三校推外接球的体积为()A.ftB.C.4ftD.33(5)三棱椎S-V3C'的全部顶点都在球。的求向I,M8C'是边长为I的正三角形.SC为球。的出径.且SC=2,那么此校椎的体积为()类31五、着面模型(一条亶线重亶于一个平面)1 .题设：如图5.>A1.平面ABC.求外接球半径.好四步骤：第一步：将AABCSi在小圆面上，4为小圆百径的一个端点，作小圆的内径AO,连接产。，那么PD必过球心。：其次步：0为AABC的外心.所以OaJ.平面ABC,算出小网。的半径QO=r(三角形的外接网直径算法：利用正花定理，«=-=2r),OO1=-PA;S1.nAsn8smC2第三步：利用勾股定理求三楂徒的外接球半径；(2?)2=PA2÷(2r)2o2?=v1.PAi+(2r)2；*='+M=R=Jr'（JO：.2 .题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是AA8C的外心O三核锥?一人BC的三条（W枝相等o.1.t-八8C的底向AABC在同椎的底I:.顶点P点也是阀椎的顶点.第一步：确定球心。的位置，取AABC的外心0厂那么P.QO三点接战:其次步:第”：先算出小阴化的半径Aq=r.再算出极椎的高PO1=/，（也是酸徘的高：:勾股定埋：OAi=Oi2+O1O-=>2=(-R)2+r2,解出R小网宜参Jjii内造大网.用正弦定理求大创宜将得球的rt.例5一个几何体的三机图如下图，那么该几何体外接球的外衣积为（）A. 3hIUBB. 216*C.3D,以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型II设，两个全等三角形成等三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)第一步：先画出如图6所示的图形，将ABCD用在小圆上，找出ABCD和AAB。的外心I和2；其次步：过多和”2分别作平面BCQ和平面48。的垂线,两垂线的交点即为洋心0.连接OEoC：第三步：解A6½H.算出。在R1.AoCHI中.勾取定理：OH：+CH；=OC1.注：易知。儿.£也四点共而且四点共琳证略.例6(1)三极椎?一人BC中.平面HACJ.平面A8C.ZXPAC和A八BC均为边长为2