八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球78369.docx

八个好玩模型一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨松老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施,我以付老师的文章主基石、框架，墙加了我个人的理解及例胞,形成此文，仍用文原名,与各位同行共享.不当之处,敬请大家指责指正.一、有关定义1.球的定义:空间中到定点的矩离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，筒你球.2,外接球的定义：假设一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，那么称这个多面体是这个球的内接多向体,这个球是这个多面体的外接球.3.内切球的定义：假设一个多面体的各面播与一个段的球面和切，那么称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关学问与方法1 .性质：性册1：过球心的平面截球面所知圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等：性物2：羟过小圆的Ii径与小明面垂ri的平面必过球心，该平面截球所得圆是大IR1：性柄3：过球心与小曝13心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：BI的垂径定理）；性防4：球心在大Ia面和小网面I的射影是相应网的同心：性质5：在同一球中，过两相交Bi的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心（类比:在同酸中，两相交花的中垂线交点是圆心）.2 .结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点足球心：结论2：般改由长方体切得的多面体的全部丁亮点毡原长方体的顶点，足么所得多面体与原长方体的外接球一样；结论3：长方体的外接球食径就是面对地线及与此面垂宜的棱构成的直角三角形的外接R1.R1.心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（t）构成的直角三角形的外接圆是大19：结论4：圆柱体的外接球环心在上下两底面圆的圆心连一段中点处：结论5：圆柱体轴嵌面矩形的外接即是大圆，该矩形的对角践（外接Wi口径）是球的直径：结论6：宜枝柱的外接球与该棱柱外接圈柱体有一样的外接球：结论7：园推体的外接球球心在网推的Si所在的直线匕结论8：圆锥体轴极面等展：角形的外接圆足大圆,该三角形的外接国直径是球的直径：结论9：恻核相等的校锥的外接球与该校锥外接圆锥有一样的外接理.3 .嬉殿利:勾股定理、正定及余弦定理（解三地形求线段长度）：三、内切球的有关学问与方法1 .假设球与平面相切,那么切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一样性）.2 .内切球球心到多面体各面的距离均根等，外接球球心到多面体各顶点的距盘均相等.（类比：马笠边形的内切ED.3 .正多面体的内切球和外接球的球心理合.I.正极椎的内切球和外接球俅心祁在曲线上,但不肯定也合.5 .根本方法：(I)构造三角形利用相像比和勾股定理:(2)体积分割是求内切球半径的通用做法等体职法.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、埴角模型(三条梭两两重宣，不找球心的位即可求出球半径)方法：找三条两两垂直的线段，干脆用公式(2/?尸="+/.即2K=J+Z+c2.求出/?o>a-2(*答图)例1(1)各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体枳为16.那么这个球的外表枳姑(.16,B.20/rC.2411D.32;T(2)假设三楂徒的三个侧面两两垂直，且恻枝长均为&,那么其外接球的外表积是(3)在正三校推5-八8。中,，”、N分别是校SC、8。的中点.且AMj,MN,假设恻桢SA=2/.那么正三核锥S-A3C外接球的外表枳是.解：引理：正三校一的对海互亶i£明如下:如图(3)-1,取A及AC的中点/XE连接AEC。，ARCD交于H,连接S，那么H是底面正:角形ABC的中心，.-.SH1平面ABC.SH1.AB.AC=BC,AO=Bf>,二G9_1.A3,A8_1.平面SQ,.A8_1.SC,同理：BC±SA.AC±SB,即正三棱S的对粳互垂立，此SS图如图(3)-2,.M1MN.SBHMN.AM1SB.AC1.SB.：.SBJ平面SAC,:.SB±SA.SB±SC.:SBtSA.BC1.SA.SA1.邛ifiSSC,SA1.SC,故三校徘S-A8C的三核条WE核两两相¾直，(2R)2=(23)2+(2f3)2+(23)2=36.即4*=36,正三桢锥S-ABC外接球的外表积是36万.(-1)在四面体S-ABC中，SAj.平面ABC,/"AC=I2O：S4=AC=2,八8=I,JE么该四面体的外接球的外表积为(A1.1.万B.711C.43(5)假如三校港的三个侧面两两乖口，它们的面积分别为6、4、3,届么它的外接球的外表枳是(6)某几何体的三视图如下图，三机图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，那么该几何体外接球的体积为<6B烟!二、对检相等模型(林形为长方体)题设：三榭t(即四面体)中，三姐对检分别相等，求外接球半径(A3=CZAD=BC,AC=BD)第一步：画出一个反方体，标出三组互为异面直线的对棱：其次步：设出长方体的长宽高分别为a"c,AD=BC=XtAB=CD=y.AC=BD=Z.列方程组，6 +h=x2b2+c2=y2=(2)2=a:+b'+c2-'+)4,补充：图2T中，Vt.s,=(ibc-abc×4=abc.63第三步：依据墙角模型，2R=J2+A+d=T+V+zV28V8求出例2U)如下列图所示三梭锥A-8CD,其中八3=CD=5.AC=9=6,AD=BC=7,那么该三技徘外接球的外表枳为.UdiB(2)在:.校椎A-3CD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=A.那么：梭椎A-3CD外接球的外表积为.(3)正四面体的各条枝长都为四,那么该正面体外接球的体枳为(4)故氏为2的正四面体的四个顶点掷在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如下列图，那么图角形(正四面体的截面)的面枳是,第一步：确定球心。的位置，。|是AABC的外心，那么Oa1.平面A8C：其次步：算出小网化的半径八Q=rOa=1.AA=(AA=力也是网柱的高)：22第三步：勾股定理：OA2=O1A2+OtO2=>R'=2+r=>/?=Jr2+()2.斛出K.例3(1)一个正六梭柱的底面上正六边形，其恻棱垂I1.于底面，该六梭柱的顶点都在【可一个球面上，且该六棱柱的体枳为M,底面周长为3,瓶么这个球的体积为8(2)直三棱柱ABC-AAG的各顶点都在同一球面上，*JiA3=AC=AA=2,NB4C=120o,那么此球的外表枳等于.(3)AE48所在的平面与矩形48CD所在的平面相互垂直，EA=E=3,O=2,Z4E=6(),贬么多面体E-ABCO的外接球的外表枳为.(4)在直三极柱ABC-A4G中，A8=4.AC=6.A=(,八八=4,那么直三桢柱ABC-AqG的外接球的外表枳为.其次讲健体背景的模型类觉四、切瓜模型(两个大小国面相互近直且交于小宣径一正弦定理求大回宣径是通法)BBE图42B43B4-41 .如图47,平面"AC1.1THiiAAC.且八BIAC(即人C为小网的直径),且P的射影是4AC的外心。三梭锥P-A8C的三条侧极相等。三梭尸A3C的底面A43C在圆饰的底上，顶点P点也是圆谁的顶点.解时步骤：第一步：确定球心。的位置，取A45C的外心0厂那么P,O,O三点共线；其次步:先匏出小冏化的半径八亿=，再算出校推的高"Q=/，(也是同椎的高)：第三步：勾般定理：Oi=O1.2+O1O2=>R-=(h-R)2+ri,力实上，AACP的外接圆就是大旧，干脆用正弦定理匹可求解出K.2 .如图42.平面PACj平面A8C.且A8_1.8C(即AC为小网的口径).且PAJ.AC.那么利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2/0?=¼2+(2r)2o2=>42+(2r)2：/?2=r+(X)-OR=yrz+OO'3 .如图4-3,平面“AC1.平面A8C,E1.B1HC(即AC为小网的直径)OC2=O1C2+O1O2OR2=r2+o2=AC=2yjR2-OtO24 .题设:如图4-4,平面PAC1.iFMiABC,且AB_1.8C(即AC为小网的直径)第一步：易知球心。必是V,AC的外心,叩APAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC=2r:其次步：在MAC中.可依据正弦定理一1.=/-=一=2K,求出/TsinAsinBsinC例4(1)正四枝帷的顶点都在同一球面上.偎设该极惟的高为1.底面边长为2石.那么该球的外表积为.(2)正四技椎S-人ACQ的底面边长和各仰梭长都为、叵，各顶点都在同一球面上，那么此环体积为(3)一个正三校推的四个顶点葬在半径为I的球面匕其中底面的三个顶点在该球的一个大网上,那么该正三桢椎的体枳是()A.迎B正C.五D.五43412(4)在三棱椎P-AAC中,PA=P8=PC=6,侧极PA与底面AZiC所成的用为60.那么该三校椎外接球的体积为().11B.C.411D.33(5)三棱椎S-AHC的全部顶点都在球0的求面I.,/5BC是边长为I的正三角形,SC为球。的设径.且SC=2,那么此梭锥的体积为()类31五、着面模型(一条亶线重亶于一个平面)1 .应设：如图5,PA_1.平面AHC.求外接球半径.好四步骤：第一步:将AABCf1.i在小网面上,A为小Ia直径的一个端点,作小网的直径AO.连接/人那么。必过球心。：其次步：。1为AABC的外心.所以OaJ.平面八8(?.算出小圆0的半径Q0=r(三角形的外接圆直径算法：利用正花定理，得_g_=_=_J=2r),OO1.=-PAismsmtfSinC2第三步：利用勾股定理求三技徘的外接球半径；(2R/=P4-+(2r)2。2f=P2+(2r:（g）2=r2+00;<=>=7r247.2 .题设：如图5-1至5-8这七个图形，。的射影是AABC的外心O三棱锥Q-ABC的三条（W枝相等。:棱椎一AAC的底面/S"C在园堆的底I:.顶点P点也是网椎的顶点.解时步骤:第一步：确定球心。的位置，取A48C的外心O-那么P,O,Q三点共线:其次步：先分出小即O1的半径AO1=r再算出棱椎的高POi=/，1也是酸锥的高）：第”：勾股定埋：QA'=QA2+o0°nR2=s-R)2+r2-斛ii5R小网宜径参Jjii构造大国.刁正弦定理求大创宜将得球的rt.例5一个几何体的三机图如下图，那么该几何体外接球的外表积为（）A. 3不IUBB. 21116万3D.以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型II设，两个全等三角形成等三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第步：先画出如图6所示的图形，然画在小圆上，找出MCD和A4'8D的外心用12：其次步：过此和也分别作平面BCO和平面A73。的垂战，两重战的交点即为球心O，连接O£OC：第三步：解AQE“,算出OH,在KIAoCH1.中.勾股定理：OH；+CH=OC2注：易知四点共面F1.四点共明，证略.例6(I)三梭椎P