《測圓海鏡》之已知大勾求圓徑題之一(9).docx

测HI海之已知大勾求之一上傅名：潇柳gH2XiSoXiangGun112何世SHoSaiKcung提要：以下源自溜圃海§竞卷六，所冏者皆典“圜城冏式”有朝，主要涉及勾股形之三遴成内接圄之切而求BK鎏之冏题“本文之冏在“圄城IS1.式”中已知大三角形之大勾及另一修件，求回。m乾隅束咒地乾大勾以下之冏取材自测IS海卷六之大勾一十八冏。睾者已有文章及“求B1.fS之题“名悬测圄海筑）之已知大股求到三）本文乃已知大三角形之大勾而求之Sg,以下20城之一般IS:测圆海冏皆涉及“回城圜式”。（汨啊海多克）提供旭城”雨他像件，以舒算圆城之半。其中一像件葛已知地乾之是悬320步，地乾乃悬大勾，大勾共一十八冏。第一冏或冏：乙i½束PE直行一十六步，甲优乾隅束行三百二十步望乙，明城祭相直I。冏：城圆何？题盘指乙优束FqA直行16步至R，甲t½乾隅D束行320步至C望乙，典城绿相直，即CRH成一直绿。求城之网筏。今鼓AG=X及间半。优上圈可知GRA、GCM典HRO相似所以CG=CHGH=CEAG:320-2rx*r320-r-X在直角AOHR中依勾股定理：OR2=OH2+HR2(16+r)2=r2+(+x)2(2)(其中=162+x2)拢式得信=言320X2xr=161.v+6r160.v-.tr=Sx+即152vxr=8r152v=8r+xr=r(8+x)_152X,t½得(!6+r)2=r+(+.v)2256+r2+32r=rz+162+2.v+x232r=2+2xI6r=.v2+x(4)以之=三代人得：U学KA8+X2432-x(8+x)=(8+x)2432-8.v-=(8+x)5914624+64.r+x4-38912x-4864x2+16?=(x2+I6x+64)(256+F).?+I6-4800.r-38912x+5914624=/+16/+64+2561.V+4096v+16384O=512O,r+43008X-5898240i60.r+1344.v-184320=05x2+42r-5760=O，分解因式得:(x-30)(5x+192)=0。取X=30，即AG=30步。代入(3)即可知=震=若产=120。即圆城华120步。OTaO*JU以下热直接求r之法：t½上式可知.t(152-r)=8r因Z¾16r=.v2+x麻=（含+含«©+/）以X=含代入3舟+舟("禹+备心6+品)2r=+-(4+-it-)(152T)N152-r<(152-力4rz.4rJ.r2、r-(152-r)2152-r*(152-r)2r,+23104r304?-2=4?+M152r115三rZ152-rr,+231O4r-308/=4r(9241.6+4r2-121.6r+?)r+23104-308r=4(92416÷5r-1216r),+533794816+94864?+46208r-61.6r,-1.4232064r=16(92416+5r2-I216r)80r2-19456r+1478656?-616?+140992r2-14212608r+532316160=O，分解因式得：(r-120)(rj-4963+81472r-4435968)=0取r=120即城半120步。测回海线算法日：法日：甲束行内减二之乙南2行，便以乘甲束行玛Jff即320(320-2×16)=92160检方程式常数，四之柬行内减二之乙束行卷优，4320-2X16=1248，jr之保数，四益隅，即尸项之保数悬4，故所形成之方程式卷：4r1248r+92160=0J312r+23040=0，分解因式得：(r120)(r192)=0取/悬120,得半。测圆海算法日：草曰:立天元一，舄半，以二之加乙束行得2r+16焉中勾以中勾减於甲束行得320-2r-16=304-2z检勾率也，其天元半r即股率也。置甲束行320玲大勾以股率乘之得32()r，合以勾率除之不受除，便以此晶大股(内带勾率分母)。再置天元以二之即2r，以勾率乘之得211304-2r)=608r-4r减於大股馀320r-(608r-4r2)=4r-288r篇股Iff1.差於上内有勾率分母又以二之天元2r减甲柬行得320-2r;小差以垂上位得：(4尸-288r3202r)=-8j+128OrI+576r292160r悬半段黄方寨内有勾率分母寄左然彼以天元自之户，又以勾率乘之R304-2r)，又就分倍之得2(304/-2/)，热同数，典左相消得：-8P+1280r+576M-92160r=2(304r2-2力-4,+640户+288/-46080r=304r-2r30=2-624,+46080rr312r+23040=0，分解因式得：(r-1.20)(r-192)=0取120,得半径。或日平方得一百二十步，倍之即城也合冏睾者之算法未及C谓IaI海§克算法之精FS-以下测剧海§竞原文：灾亢Sy幻IIi1.一刈阍海江-元副扭一“为一+1.一一育乙凭款E71.÷1.六步ITI的HTI三节-二)*1.J,洲日1.以乘¾-g之东行内法二之乙束行洛比四益偶得半任一-t,Ir4,：-一堂日以二:加乙束行刈H、1.A1.一，中勾以中勾束行场£句141七其交一半他知股叁翔勾以股淬农工停K品以勾束V不受除更I)A!大股。再直IA.五以二之、勾率和之用A.*A带大机舔和膜一II股的旻¾¾2二又以二之天五IA1.甲柬行.tMs挑小差4栗上位得工W二熟平院黄方会H.f7寄左就向'机和和之叉就加一;¾三-S1.-,-1t«i（第二冏或冏：乙出柬Fq南行三十步而立，甲t½乾隅束行三百二十步望乙，典城祭相直。冏答同前。今符圈之重要部分放大如下：SI意指乙出来F1.A南行30步至G而立，甲优乾隅D束行320步至C望乙'典城舞相直即CGH成一直g求BS。今SAR悬w，Iff1.半r。已知DC=320AG=30'徙上BI可知GRA、GCM典HRO相似所以CG=CH-GH=CE-AG-以下比例成立：30_30+r.*«>>>«IIIIV320-2r',在直角AoHR中依勾股定理：OR-=OH2+HR-(2)(其中=3O2+IV2J(¼'+r)2=r2+(+3O)2M+/+Iwr=r2+3O2+M+900+602ht=ISO0+6OMT-900=3OqA普产-90。=3。r(320-2r)30+r30=,r(320-2r)2+900(30+r)2-60<30+r)(320-2r)=3O2(3O+r)2+M(30+r)2r(320-2r)2-60r(30+r)(320-2r)=900(320-2r)2r(32O-2r)-60(30+r)=900(320-2r)320r-2r'-1800r-60r=288000-180Or-2r'-260r2=288000-?+I3rz=144000P-BOr2+144000=O，分解因式得:(r-IZOXr2-IOr2-1200)=O取r=120，即城半偎居120步。测圆海算法目：法日：甲乙相乘悬出'即320×30=96悬方程式之常数。甲柬行320，即320含rJg之保数，.二虚法，即含r2项之保数检2。得半径。故所形成之方程式悬：23-320r+9600=0。r2-160r+4800=0，分解因式得：(r-1.20)(r-40)=0取r=1201步)，即城半傕120步。草日：澈别具见大股第二冏，中立天元，悬半，内减乙南行得r-3()舄虚股，以乘通勾甲柬行得320(7-30)热半段城幕，寄左，然彳要以天元自之''又就分二之得2/热同数，典左相消得：320(r30)=2，16(Xr30)=160r4800=rr160r+4800=0，分解因式得：(/120)(r40)=0。取r=120f步)。平方得一百二十步，倍之即城也，合冏。肇者之算法未及测园海算法之精商。第三冏或冏：乙出南F1.1.直行一百三十五步而立，甲优乾隅柬行三百.十步望见乙。冏答同前。,盟意指乙出南叩P南行135步至K而立甲优陀隅D束行320步至C望乙,舆城恭相直即CHK成一直源。求剧。J¾下圜：解：今PH=*，0，优上留可知AKPH典AKEC相似，所以：=番言又PHO典EOC相似所以：r=命(2)t½可得X135(320-r)135*2r优可得X=W即可知嚅3=纪135(320-r)2=r2(135+2r)13824000+I35r-86400r=I35r+2r0=27+8640013824000?+43200r-69i2000=0分解因式得：(r-120)(r2+120r÷57600)=0。取r=1201步)，即城半径120步“测网海算法日：法日：以乙南行乘甲柬行幕卷百，即35X32(F=13824000悬方程式之常数。二之乙南行乘甲束行热优，即135x2x320=86400卷含，项之保数。方廉空，即含r项之保数舄0。二步常法'即含r3项之保数焉2“故所形成之方程式悬：2,+86400r-138240=0。上式即/+43200r-691.2000=0分解因式得：(r-120)(?+120r+57600)=0。解之得半。取r=120(步)，即城半120步。草日：立天元一r悬半城筏，以二之加於乙南行得2r+135焉股率。以天元减甲柬行得320-r悬勾率，乃置乙南行以勾率乘之得135(320-r)=43200-135r，合股率(2r+135)除，不除，便以此悬小勾，此即半梯之(内带股率分母)，又以勾率(320-r)乘之得招半孤幕，即(43200-135r)(320-r)内带股率分母，寄左。乃以股率乘天元赛得r2(2r÷135)同数，典左相消得：r(2r+135)=(320-r)(43200-135r)2rs+135?=13824000+135?-43200r-43200r2r,+86400r-13824000=0立方得一百二十步，倍之即城也，合冏。上式即/+43200r-691.2000=0，分解因式得：(r-12O)(r2+120r+576)=0。取r=1201步)，即城半120步。典睾者算法相同，第四冏或冏：乙出南F1.I束行七十二步，甲优西北隅取直行三百二十步兄乙。冏答同前"南跄意指乙出南力P束行72步至H而立.甲优乾隅D束行320步至C望乙，典城祭相直，即CGH成一直缥。求。见上翩。於C制SI海冏中，以此堰敕曾里直接。今圄雷，。徙上圜可知APHo典AEoC相似，所以霁=署，即：72=rr320-rr=23040-72r/+I1.r-