代数综合【解析版】.docx
全国联卷代数何题选1 .已知实数,z>,c满意+z>+c=1.,2+!+一=1,则a+b-cb+c-ac+a-bObC=【答】O.由题意知T+T+T所以(1.-2zzX1.-2Z>)+(1.-2Z>X1.-2<)+(-2rtX1.-2c)=(1.-2)(I-2)(I-2c)整理得2-2(+>+c)=8f1.仅、，所以油C=0.2 ,使得不等式对唯一的整数上成立的最大正整数17n+k15为.【答】144.由条件得2<A,由A的唯一性，得"1/且生1/,所以8M9892 =区一匕之»_=_£,所以nM144.nn“9872当=144时，由号可得126<AyI28,k可取唯一整数值127.89故满意条件的正整数n的最大值为144.3 .已知Q为整数，且满意d+1.)4+4)=I(Jr一J7),则x+),的Xy厂y3Xy可能的值有个【答】由已知等式得0±=j=,明显kV均不为0,Xy厂厂3X/，所以x+y=0或3t=2(x->).若3"=2(x-y),则(3x+2X3n-2)=-4.又x,y为整数，可求得”Iy=2.或="，所以+y=或X+),=Ty=.因此，+y的可能的值有3个.4 .已知非负实数x,.y,二满意k+f+z=1,则=2aa+)2+2h的最大值为【答】TI=2xy+yz+2x=2.v(y+z)+yz2.r(y+z)+-(y+z)2易知：当X=S,y=z=1时，r=2ty+.yz+2=r取得最大值;5 .张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【答】I若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2=8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3X4=12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8+12=20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,6),由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的状况共有4X2=8种.因此，所求概率为9=2.2056 .设表示不超过实数r的最大整数，令=小已知实数X满意F+=I8,则x)+1.=XX【答】I设x÷1.=,则XF+二=(A+-)(x2+-1.)=(+-)Rx+-)1-3=f1.('-3)>所以a(a2-3)=18.XXxXX因式分解得(-3+3+6)三0>所以a=3.由x+1=3解得X=1.3±近)，明显O<x<1.O<p<1.,所以x+p=1.X2XX7.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元.起先时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了支圆珠笔.【答案】207【解答】设)，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠室的支数，则4,v+7y=2OI3.IX+”350,所以X=21=(503-2v)+E44于是Et1.是整数.又2O13=4(x+y)+3<4x350+3)，4所以,>204,故y的最小值为207,此时x=4.8 .实数a,b,C,d满意：一元二次方程2+cA+d=o的两根为a,b,一元二次方程/+心+方=0的两根为c,d,则全部满意条件的数组(a,b,c,d)为.【答案】(b-2,I,-2),(/.0.-)(,为随意实数)a+b=-c>【解答】由韦达定理得上丁c+d=-(bcd=b.由上式，可知b=-c=d.若8=(w0,P1.1Ja=1.c=-=I»进而8=d=-c=-2.bd若b=d=O,W1Jc=-a,有(,拉Gd)=",(X-r,0)(，为随意实数).经检验，数组(1.-2,1.,-2)与()T,0)(，为随意实数)满意条件9 .已知正整数a,b,。满意+-2r-2=(),3)uz-S+c=O,则H>c的最大值为.【答案】2013【解答】由已知“+-2c-2=0,3/-昉+c=0消去C,并整理得(-8)2+32+a=66.由a为正整数与6+W66,可得1.WaW3.若。=1,则S-8)2=59,无正整数解：若=2,则(-8/=40,无正整数解；若=3,则(8-8>=9,于是可解得b=1.1.,Z>=5.(i)若/>=11,则c=61,从而可得Hx'=31.I61.=2013；(ii)若6=5,则c=13,从而可得">c=351.3=195.综上知。加的域大值为2013.10 .对于随意实数无必z,定义运算为：.*3*'y+Ay，+45A*'=(x+1.)'+(y+1.),-60'且x*y*z=(x*p)*z,则2013*2012，*3*2的值为().【答案】5463J967【解答】设2013*2012*4=m,则(2013*2012»*4)*3=m*33加X3+3m'×9+mi×27+45C=ymy+3m2+3/w+1+64-60于是(刈3*2。3*3)*2=9*2=3W*窘W+45=鬻.U设非零实数八人，满意黑;竟之,则舞詈的值为【答案】4【解答】由已知得+6+c=W+助+4c)-(+乃+3C)=O,故(a+b+c)2=Q.zfab+1.>c+ca=-(a'+b:+C2)»所以"+：<,=.2(+b+c-212 .假如关于X的方程/+4"而二+2=0有两个有理根,那么全部满意条件的正整数的个数是个答案：2解I由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式N0,且为完全平方数.=16-4(10+2)=4(2-10)o,又222-J1.O-,所以，当2-J10-=0时,解得=6;当2-i=1.时，解得4=9.2»13 .设a=*»-2“-2，+1."为正整数)，则历+&+如2的值1.(填”或“v”)【答案】V,11解I由&=(2,D(2'7)=源蜀,得团+送+a*i2=°2j-1)+55+2j01.j-1._2aou"?=1"puI<1.14 .红、黑、白三种颜色的球各10个.把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋了中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法.【答案】25解,设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为Kz,则有1WX，yz9,且xyz=(10-X)(IO-Iy)(Io-z),(1)即B=5OO-5O(x+>+z)+5(v+zx),(2)于是5m.因此X,y,Z中必有一个取5.不妨设x=5,代入(1)式，得到y+z=10.此时，片可取1,2,8,9(相应地Z取9,8,2,1),共9种放法.同理可得尸5,或者z=5时，也各有9种放法.但“V=Z时，两种放法重复.因此共有9X3-2=25种放法.15 .设X=与，则代数式Mx+iXx+2)(x+3)的值为().【答】-1解：由已知得f+3x+1.=0,于是MX+I)(X+2)(X+3)=(x2+3x)(/+3x+2)=(+3a+1)2-1=-I.16 .已知x,y,z为实数，且满意x+2>-5z=3,x-2y-=-5,则d+y+z?的最小值为x=3z-1,y=+2.【答】.1X+2V-5=3,rg解：由<可得(x-2y-z=-5.于是X2+y2+z2=1Iz2-2z+5.因此，当Z=A时，F+V+z?的最小值为小17 .若.r>1.,V>O,且满意Xy=Xy,土=/3则x+y的值为().yI解：由题设可知产炉T,于是x=y户=由k,所以4y=1.故y=g,从而x=4.于是+,=g.18 .设S=*?+*+击，则4S的整数部分等于().【答】4解：当A=2,X，2011,因为<-7-!r=-1.-k-(1-1)2(A-)AA(+1)所以1.<S=1.+A+4+-r<1.+-f-?<-.2'3'2011'2122011x2012；4于是有4<4S<5,故4S的整数部分等于4.19 .一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4；另一枚质地匀称的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.【答】6解：在36对可能出现的结果中，有6对：(1,6),(2,5),(2,5),(3,4),(3,4),(4,3)的和为7,所以朝上的面两数字之和为7的概率是36620 .若y=7+Jx-1的最大值为a,最小值为6,则/+/的值为.【答】I-2解：由I-X>0,且N-JX),得1.XI.22r=1.+2-÷x-14+-+由于?<3<,所以当X=1时，步取到最大值1,故=I.244当X=:或1时，始取到最小值9故b=q.所以，/+=3.222221 .若方程/-3x-1.=O的两根也是方程./+力x+c=O的根，则+6-2c的值为答案：-U22 .对于自然数，将其各位数字之和记为.,如丽=2+0+0+9=11,3"=2+0+0=3,M1J«,+«,+,+a21.tw+w,0=【答案】28068.23 .将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且随意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放一个球.【答案】1524 .已知，是实数，若是关于X的一元二次方程F-2x+.I=O的两个非负实根，则(“二1)(y-1)的最小值是.【答案】-325 .假如实数a.b满意条件a2+b2=,1.-2+2+I=2-,则a+b=.【答案】-126 .己知”,是正整数，且满意2(后+后)是整数，则这样的有序数对S.仇共有对.【答案】7对27 .设"是大于1909的正整数,使得±3为完全平方数的”的个数2(X)9-M是个【答案】4个28 .设=7-1,则3«'+12“'-6a-12=【答案】2429 .用幻表示不大于X的最大整数，则方程-2W-3=0的解为【答案】-3,1,或根号530 .已知实数X,)，满意二_2=3,)W=3,则二十寸的值为arX【答】7解：因为>o,货20,由已知条件得I2+4+4×4×31+I32-1.+1.+4×3-1+1.3了=8=1.2-'所以3+*=+3+3-)3=-y2+6=7.X'xX'2,2方解：由已知得：JmfaFT=°,明显-h,v',以工.一为(y2>+y2-3=ox根的一元二次方程为r÷r-3=0,所以(-y)+/=-.(一-)×y2=-3XX4+>4=K-÷>'212-2x<-÷>x/=(-D2-2x(-3)=7XX'X'31.将1,2,3
