7.9用空间向量求空间角和距离答案.docx

7.9用空间向量求空间角和距离课标要求相细考点素养达成1 .能用向量方法解决直线与直线,直线与平面、平面与平面的夹角计算问题.了解向量方法在研究立体几何问虺中的应用2 .使用向瞅方法解决直线与宜找、口废与平面、平面与平面的距离计尊何通利用空间向信求升面直线所成的角通过求弁面直践所成的用培养直观想象，数学运算素养利用空间向量求直线与平面所成的角通过求真战与平面所成的角培界K观想象、数学运匕器养利用空间向啦求平面与平面所成的角通过求平面与平面所成的角培养直现想象、数学运算术推利用空间向后求踉掰通过求斜直线与直线、门或与平面、平面与平面的距离计算问题培养直观想象、数学运算素养吧!结布糙璟夯实1.(强念辨析)下列结论正输的是().A.两条直戌的方向向H所成的角就是曲条直废所成的角B,直线的方向向I1.t和平面的法向盘所成的角就是口找与平面所成的加C两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角1 ).两条异面直戏所成的角的越加足(0,皆，也戊与平面所成角的他国是|o1卜二面狗的他困是。，答案D解析对FA,两条直线的方向向Jf1.所成的角是两条直线所成的角或共补用.故A错误;对于B,设直线的方向向圻为a.平面的法向址为n,直栽与平面所成的角为»,R1.sinH=ICoS<a,n>1.,故B错误:对于C,两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角，故C格设.2 .(对接教材)如图，已知AABC和aDBC所在的平面互相垂ABBCBI),NABCNDBc120',则二由询ABDC的氽弦色为.答案T解析在平面ABC内作BE1.BC,在平面DBC内作BF1.BC,因为AABC和ADBC所在的平面互相垂E1.所以BE1.平面DBC,所以BE1.BF.分别以BF.BC,BE所在直线为X轴.y轴、Z轴建立如图所示的空间在角坐标系,不妨设AB=BC=BD=2,ZABC=DBC=120,ffiB(0,0,0),A(0,1.,3),D(J,1.,0),所以SX=(O.1.,5),而=(J,1,0).设VffiABD的一个法向量为n=(x,y,2),Hjfn，巴=“即产噎°,不妨取x=1.,WJy=3,z=1.,所以n=(1.3.1).InBA=O,1.y+5z=0,又平面BDC的一个法向他为m-(0,0,D,所以cos<m,n>黑捺E设二囱用ABDC平面用为。，则«为钝角，所以mnScos0q.3 .(对接教材)已知正方体A1.OABCD的校长为1,则点B到平面B1CD1的斯因为一答案y解析以DA,DC.西为啦位正交甚底,建立如图所示的空间口角坐标系Dxyz1则B(1.,1,O),C(0,1,0),Bt(1.,i,1.),D,(O,O,1).所以瓦瓦'U,1,0),国(1,0,1),前(1,0.0).设平面B,CD,的一个法向盘为n=(x,y,z),则F'把'=°，即=?令XI,则y1.,z1,所以n(1.1.D是平面Bm的个法向i,t>rfn.BC=I.n1=5,所以点B到平面B1CD1的型岗为<1上谭=孚4 .(易借自到)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,IM极长为22,则AC1与侧面ABBA所成的角为.答案I解析以A为坐标原点,AB,AE(AE1.AB),RA,所在正线分别为x轴、y轴.Z料建立如图所示的空间直角坐标系.设D为AH的中点.连接AD.C1D1W!A<O,0.0),C1(1.,3.22),D(1.0,22).所以瑞二(1.5.22),AD=(1.0,22).因为AABQ为正三角形.所以C1D1.A1B1,XCJ)±BB1,A1B1BB1=B1,所以CJ1.1.平面ABB1A1.所以NGAD为AC1与平面ABB1A1所成的角，所以副芸需(、,a20(1.022)近11X29乂因ZUD,外,所以ZC1AI)5 (真18演练(2023新高考1卷)如图.在正四核柱ABCDA1.BIaD1.中,AB=2,g=4,点分别在梭A1.aBB.,CC1.,DD11.IV1.BBj=DDi2.CC：3点P在核BB1±,当二面角IAea为150°时，求BHCBiOi4解析以点C为坐标原点.CD,CB.CQ所在直纹分别为X轴.y轴、Z他也在如图所示的空间直角坐标系.则B;(0,2,2).C1<0,0.3),A1(2.2,1),D1.(2,0.2).SBP=n(OWnW4).WJPg2.n).所以阿=(2,0,1.n),PC；=(0,2,3n,设平面PAici的法向盘为b=>(x1,y1.,z1.),所以国，a=。M=0(PC2a=0,1.-2yt+(3-n)z1.=0,令x1.=n1.,得a=(n1.3n,2).饺平面AqD；的法向量为b=Gay»z1).因为赧=(2.2.2),AX=(0,2,1),所以,迺b=0,职驾曹慧2=0,(A2D2b=0,v2yz+z2-0.ys=1.Wb=d,1.2).所以ICOS1.50°=Icos<a,b=in"+3n+4!,W,J(n1.)2+4+(3n>x、/整理得n"n+3=0.解得n=1.或n=3.所以BP=I或BP=3.所以BF=1.号JJ1.型建楞利用空间向量求异面直线所成的用典例1径在三核柱ABCA1B1C1,ZBC=90.M.N分别是AB,AC的中点,BC=CA=CC1,W1.BM与AN所成角的余弦值为（）.TobS1.mnScdT答案C解析以点C为坐标原点,CA,CB,CC所在直线分别为X轴、轴、，轴建立如图所示的空间耳角坐标系，设BC=CA=CC1=2.W1(2,O,0),B(0,2,0).M(1.,1.2),N(1.,0.2).WWBM=(1.1.2),AN=<1.0,2).所以"的'前器1X(-1)+(-1)X0+2X23,1.3P,8x5h,用向量法求界面直线所成珀般有两ft方法1 .基底法的一般步骤：(D选择已知的三个不共域向盘作为基底；(2)将所求的两条白:战的方向向后用屏底表示；(3利用向反的夹角公式求出向量夹角的余强依；(力两条界面直线所成用的余弦修等于两个向H夹角余弦值的绝对值.2 .建系法的一般步骤：(D选择三条两两瓯直的直线建立空间直向坐标系；(2)分别踊定异面江城上两个点的坐标,从而确定异面K线的方向向址；(3利用向Kt的夹角坐标公式求IB向量夹角的余弦位；CO两条界面直线所成角的余弦他等于两个向M夹角余弦值的绝对色.训练1如图,在梭长为2的正方体ABCDA1B1C1D1+.E是棱0C,的中点,AF=而.若界面面畿D1E4«A1F所成的解析以D为坐标原点,DA,DC,DD,所在立城分别为XW1.y轴、Z轴,建立如图所示的空间比价坐标系.因为正方体的校长为2.所以D(0.0.0).白0.2),D1(0.0.2).E(0,2.D.A(2.0.0).所Ii1.DTE=(0,2,1>,A=0,0,2),西声审+通司+AD=(0,0,2)+X(2,0,0)=(2,0,2).则"不加禹鼎舟所以鬲E*解得W或AW去).故实数的值为J.考点利用空间向fi求'1.线与平面所成的角典例2如图，在三板把SBCD中，平面SBI)1.平面BCD.A是战段SD上的点,SBD为等边三角形，ZBCD=30',CD=2DB=t.若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为绊,求AD的长.解析依题意,CD=%BD=2,又BCD=30”,由余弦定理得BC=23,所以3N>=BC,即BC_1.BD.以B为坐标原点,BGBD所在直视分别为X轴、y轴,过点B且垂直于平面RCD的直视为z轴，卷，工如图所示的空间直角坐柝系.则B(0.0,0).C(25.0.0),I)(0.2.0),S(0.I,TI),所以而=(2百.2.0).布=(0,I,5).设平面SCD的一个法向改为n=(x,y,z),fm.CD=0f.23x+2y-O,'Im-SD-O,卜恁=0,取x=1.,W1.y=3,z=1.,所以三=(1.3,1).设靠=.旃(0入七1),则位=9,3).故A(0.2A.再人>.则猷=(0.2X.百人).设直线R4与平面SCD所成的知为。.则SinH=cos<n,BA>=，:鬻12百四+、,力ISv用VM«2即+纨265,解得W或入则ADW或AD=1.©333用向无法来直线与平面所成的角的主要方法1.分别求出斜线和它在平面内的射影在线的方向向盘,招遨目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).2.通过平面的法向业来求，即求出3*战的方向向及与平面的法向纸所夹的镜角或钝角的补角,取其余角就是叙战和平面所成的角.训练2如图,四极锥PABCD的底面为正方形,PD1.底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为1.已知PI)=AD=1.Q为I上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦位的最大假.解析以D为坐标味点,DA.DC.DP所在收线分别为X软、y轴、Z轴.建立加图所示的空间比用坐标系Dxyz1因为PD=AD=1,所以为0,0,0),以0,1,O),P(O,O,D,B(1,1,0).设Q(,O.D,则而<0,1.0),DQ(m.0,1.),PB=(1.,1,1).设平面QCD的一个法向量为n二(x,y,z)1嚅工叫:鼠。.令x=1.,则y=0,z=m,所以平面QCD的一个法向fit为n=.0.,i,m,TtSx11PB1.+0+m则cos<n,PBz=-T=-=-=_r-?.In1.1.PF1.3>2÷1.所以直线I1B与平面QCD所成角的正弦值为cos<n,PB>.比'建JwT堂.J1.+恶W苧J1.+忍rq7T当当目仅当II1时取等号，考点所以月线PH与平面QCD所成用的正弦慎的最大的为容利用空间向量求平面与平面所成的角典例3如图,D为刈钺的顶点,0是倒把底面的圈心,AE为底面直枝,AE=AD,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO*K)(D求证:PA_1.平面PBC.(2)求二面用BpCE的余弦(ft.解析设D0=a,由肱设可得PO*.A0=ya.AB=AC=BC=a.PA=PB=PC学a.因此PA>PB1=AB,从而PA1.PB.又PA-+PCi=AC-,故PA1.PC.又PB.PCC平面PBC,I(BnPC=P,所以PA_1.平面PBe(2)以O为坐标麻点,过戊O且与BC平行的直践为X轴.布的方向为y轴正力向,而的方向为z轴正方向.OE为单位长度,建立如图所示的空间直角中标娱Oxyz.由题设可得E(0,1,0),A(0.1.,0),c(410)p(00-)所以前=(号,./0).前=(0,-1用.设m,y,z)葩平面PCE的一个法向S1.mEP=o,(-y÷z=o.ImES=0,IqXTy=0,可取n=(-y.1.,2).d1.(1.)如丽(0,1爷是平面PCB的一个法向盘,记nAP,W1.-二瑞哈所以二面角BPCE的余弦他为早1.用法向