二次函数知识点与经典例题详解最终.docx
二次函数学问点总结及经典习题一、二次函数概念,1 .二次函数的概念：一股地,形如y=ax2+bx+c(f1.b.C是常数,«O)的函数,叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次Iii系数”=0,而，C可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数)=F+uy的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变麻X的二次式，X的最高次数是2.“，b,c是常数，是二次项系数，人是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y="d的性质：a的肯定值越大，微物线的开口越小。”的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时，yRt1.x的增大而增大：XVo时，ytX的增大而减小：x=0时，y有最小值().<0向下(0.0)y轴X>0Myfi1.1.X的增大而减小：x<0时.y1.X的增大而增大：X=O时,y有最大值0.2.)=j+c的性质：上加下犍.”的符号开口方向顶点坐标对称轴性质>0向上(0.C)、,轴>0时，.K的增大而增大：X<0M,yaX的增大而减小：x=OBj.y有最小值.<0向下(0.C).V轴>0时，yRf1.x的增大而减小；x<0时，y1.X的增大而增大：X=Q时，y育最大值c.3.y=3X->的性质：左加右减,“的符号开口方向顶点坐标对魅轴性质>0向上S，。）X=hx>时，¥的X的增大而增大：XC时，X的增大而减小：X=A时，有最小值0«<0向下（,。）X=hx>Br,5Mx的增大而减小：x<r时,>KiX的增大而增大：x=时，有最大值0.4.y=(xf)"+的性肝:”的符号开口方向点坐标对称轴性侦«>0向上（力，*）X=h>力时，yKix的增大而增大：Xe时，）KiX的增大而减小：,r=时，>有Ai小值k.<0向下()X=hx>力时，y1.x的增大而减小：*<时，yKiX的增大而增大：时，yi（k.三、二次函数图象的平移1.平移步臊；将拊物战解析式转化成顶点式产/，+*，确定其顶点坐标仅，*）；<2>保持恤物线y=&P的形态不变，将共顶点平移到（力,4）处.许细平移方法如下:M14A>0)ItfHt<X)F»»2.平移规律在原有函数的基础上“伯正右移负左移：M值正上移，负下移概括成八个字“左加右减.上加下减”.四、二次函数“六用"与FaF的比较从加析式上看,尸”尸用"1与产片也He是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即G+32+=,MA=-中不五、二次函数.v=11+辰+<的性质当必）时，抛物线开口向上，对称轴为m-/,顶点坐标为（一5,竺詈）.当X/时，或肛的增大而减小：当XT时y随X的增大而增大：当1.v时,y有朵小值丝F.2.当av时，施物税开门向下，对称轴为X=W,顶点坐标为（一-写）.当</时,）-随X的大而增大F；当1.½>-时.y1.的增大而减小；当A时.Wj最大位”爰六、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：.v=aN+x+(«.b.C为常数，«*<)：2 .顶点式：尸J(X-)%*Q,h,&为常数,0):3 .两极式(交点式)：.g(x-xj(x-x?)(u0.x1,X1是岫物观与X轴两交点的1.坐标).留意：任何：次函数的解析式都可以化成侬式或顶点式，但并非全K的:次函数都可以写成交点式，只有她物统与X轴有交点，即-Qc之0时，抛物线的解析式才可以用交点式衣示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系人二次项系数a(1)当>Ot.他物我开口向上，”的俏越大，开口越小，反之“的值越小，开口越大：(2)当<Offt.他物线开口向下，”的假越小，开口越小，反之“的值越大，开口越大.4 .一次项系数/>在二次项系数“确定的前提下，确定了岫物税的对称轴.(同左异方b为0对称轴为y轴)5 .常数项C当c>0时，拗物线与),轴的交点在X轴上方，即拊物规与y轴交点的纵坐标为正：(2)当。0时，抛物线与F轴的交点为坐标原点,即抛勒线与F轴交点的纵坐标为0;W当c<0时,他物线与.丫轴的交点在K轴下方即抛物线与'轴交点的纵坐标为负.总结起来，C确定了拗物设与y轴交点的位?1.八、二次函数与一元二次方程：I.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与X轴交点状况)：一元二次方程“M+c=0是二次函数y=+bx+c当函数值y=0时的特别状况.图象与x轴的交点个数：当A=Z-Mo0时，图象与X轴交于两点A(.SO).Bxj,O)(X内2).此中的Xj.X2½一元二次方程/+加<-0(«/0)的两根.当&»O时，图象与X轴只有一个交点：当A0时,图象与X轴没有交点.1 .当。0时，图望落在X轴的上方，无论X为任何实数.椰有了0：2'当“0时，图次落在X轴的下方，无论N为任何实数，都有.”O.2 .抛物线受+fe的图象与F轴拧定相交，交点坐标为（0,c；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例1求满意卜列条件的二次函数的解析式(1)图象经过A(-1.,3)sB(I.3)SC(2.6):(2)图象经过A(-1,O),B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(7,9),与X轴两交点间的距离是6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式,可依据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.(1)解：设解析式为y=ax2+bx+c,ft!A(-1.,3).B(1.,3).C(2,6)各点代入上式得=1解得b=0C=23=ab+c3=a+b+c6=4+2b+c.解析式为y=x2+2.(2)解法1:由A(T,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1.,所以顶点为(1,-8).设解析式为y=a(-h)2+k,即y=a(-1.)j-8.把x=-1.,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,.,.a=2.即解析式为y=2(xT)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1.)(-3),确定顶点为(18)同上，把x=1.,y=-8代入上式得-8=aU+1.)(1-3).解得a=2,，解析式为y=2x2-4x-6.解法3:图象过A(T,0),B(3,0)两点，可设解析式为:y=a(x+1.)(-3)=a2-2a-3a.函数有最小值-8.4a(-3a)-(2a)2-p-O,a0,a=2.解析式为y=2(x+1.)(x-3)=2x-4x-6.(3)解:由顶点坐标(T,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1.,又图象与X轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A,B两点坐标分别为A(-4.0),B(2,0),设出两根式y=a(X-Xi)(X-X0,将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-2-2x+8.点评：一般地,已知三个条件是抛物线上随意三点(或随意3对x,y的值)可设表达式为y=a2+bx+c,组成三元一次方程组来求解；假如三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与X轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x)(x-x).2.二次函数的图象2y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则点M(a,be)在().A.第一象限B其次彖限分析:由图可知:抛物线开口向上na>0.枪物线与)轴负半轴相交=<b=>bc>O.对称轴三、在NI1.1.右ft=s<0：.点M(a,be)在第一象限.答案:A.点褥:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、C的符号.例3已知次函数y=ax+c二次函数y=aC+bx+c(a0),它们在同坐标系中的大致图象是O.分析:一次函数y=ax+c,当a>0时，图象过一、三象限：当a<0时，图象过二、四缴限;c>0时，直线交y轴于正半轴；当c<0时，直线交y轴于负半轴；对于二次函数y=a2+bx+c(aH0)来讲：f开口上下确定H的正负I左同右异(即对称轴在y轴左(W,b的符号I与U的符号相同:)来判别b的符号1抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c的正负解:可用解除法,设当a>0时,二次函数y=aK+b+c的开口向上,而次函数y=ax+c应过一、三象限,故解除C;当<0时,用同样方法可解除A;C确定直线与y轴交点;也在抛物线中硬定抛物线与y轴交点,本题中C相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故解除B.答案:D.3 .二次函数的性质例4时T反比例函数y=-g二次函数k-2+3,请说出他们的两个相同点:,：再说出它们的两个不同点:,.分析:本小题是个开放性题目，可以从以下几点性质来考虑增减性图象的形态最值自变量取值范图交点等.解:相同点:图象都是曲线,都经过(-1.2)或都经过(2,-1);不同点:图象形态不同,自变SU仅值范围不同,一个有最大值,一个没有最大值.点评:本题主要考食二次函数和反比例函数的性质，有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4 .二次函数的应用例5已知抛物线y=x2+(2k+1.)-k2+k,(1)求证:此抛物线与X轴总有两个不同的交点.设XI、X2是此抛物线与X轴两个交点的横坐标,且满意2J+22k2+2k+1.求抛物线的解析式.设点P(m,n),Q(nnm)是抛物线上两个不同的点，且关于此地物线的对称轴对称.求m+m的值分析：(I)欲证抛物线与X轴有两个不同交点,可将何题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根，故令y=0,证>(>即可.(2)依据二次函数的图软与X轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式：由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n=(13由n=m2+m.n2=m22+m2得nr+fn=n22+n,1.iP(n-n2)(n+n+1.=O可求得n+11u-1.解：(D证明:=(2k+1.)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k-4k=8k2+1.V8k+IX).即>(),.抛物线与X轴总有两个不同的交点.(2)由题意得x+x2=(2k+),Xi-x2=-k2+k.r+x22=-2k3+2k+1.,(x+X2)2-2xX2=-2k2+2k+1,即Qk+1)-2(-k-+k)=-2k-+k+1.4k2+4k+1.+2k2-2k=-2k2+2k+1.8k-=O.k=O.二抛物线的解析式是y=x2+x.点P、Q关于此抛物线的对称轴对称.*.n)=112.又n=m2+m.2=m2+n.,.mr+mi=m'+m2.KP(m-m2)(n1+m2+1.)=O.P、Q
