二次函数知识点汇总.docx

二次函数学问点（第一讲）一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y0+fer+c（,b,<是常数，0）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似.二次项系数“H0,而，C可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数F=+bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式,X的最高次数是2.。，是常数.。是二次项系数,b是一次项系数.C足常数项.二、二次函数的基本形式二次函数墙本形式：ya的性质：a的肯定值越大，抛物线的开口越小。“的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(O-O)y轴x>0时,y随i的增大而增大：KVo时，y1.½X的增大而域小：x=0时，了有奴小但0«<0向下(0.0)y轴x>0时，y随月的增大而灌小；.r<0时，yRfiX的增大而增大：X=O时，F有最大值0.2. y-+<,的性质：（上加卜减）“的符号开口方向顶点坐标对称轴性质>0向上(0,c)y轴X>0B!.y随K的增大而增大；.t<O时，）曲X的增大而减小：X=O时，y有最小值c.。<0向下(Oy)y轴>0时，y随i的增大而减小：XVo时，y1.½X的增大而增大：X=O时，F有抽大但.3. .y=（-的性质：（左加右减）O的符号开口方向顶点坐标对称轴性质«>0向上WO)X=h时,y1.¾x的增大而增大：xv?时>、随X的增大而减小：Ar=Zr时，y有最小值0.OVO向下()X=h>.）x的增大而被小；XVzr时，）的X的增大而擀大：X=时,有最大值04. )=(x-力+A的性质:“的符号开口方向顶点坐标对称轴性质«>0向上()X=hx>Bf.y1.¾的增大而增大；X<hf.y1.X的增大而减小：X=力时，y有址小值ha<0向下(*)X=hx>Hr.y1.½的增大而赛小：x<Hr,yfifiX的增大而增大：X=/?时，），有块大值h三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一：将撤物线解析式转化成顶点式.v=（x-+h确定其顶点坐标（力，）:<2）保持他物线y=的形态不变，将其顶点平移到（力.外处，详细平移方法如下：向上或向下伏<0）】平移阳个单位y=ax2“I2 .平移规律在原有函数的基础上“人值正右移，负左移：Jt值正上移，负下移概括成八个字”左加右减.上加下减”.方法二r)，=0+6+c沿y轴平移:向上(下)平移，“个单位，y=+辰+，变成y=ax'+bx+c+m(或,'=0¾'+bx+c-m>），="./+6+c沿轴平移：向左（右）平移，“个单位，.y=+法+c变成y=（.v+n）7+Nx+w）+c（或y=（x，-+仇x-nr）+c）四、二次函数广+大与尸”+法+c的比较从斛折式上看，y=“-/»+A与y&d+加+。是两种不同的表达形式，后者通过配方可以汨到前者，即y=+;T+W三Q,其中力=_?,«=如心.V2a)4a2a4五、二次函数>="+版+C图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=+>x+C化为顶点式y="(x-4+A,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两恻，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与.v轴的交点(0c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2.c)、与X轴的交点伍.0),(看，0)(若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开1.J方向，对称轴，顶点，与釉的交点，与)，轴的交点.六、二次函数门改+版+,的性质1 .当>()时,地物线开口向上，对称轴为=-3顶点坐标为与'】2aI2«4«)当x<_=时，)，随X的增大而减小：与>-3时.)，随X的增大而增大：当x=_=时，)，有2a2a2a最小值华亘.4a2 .当<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=_=,顶点坐标为即三立.当</时，y2(I124a)2a随X的增大而增大：当x>-坦时，丫随X的增大而减小：当=-2时，有最大值始二2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：ycxi÷v÷c(«.bC为常数0)：2.顶点式：>=<(x-)'+A(w.h氏为常数，a0)：3,两根式:y=心FXXF("0,%,一是抛物段与K轴两交点的横坐标.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与X轴有交点,即4«，*0时帼物线的解析式才Ur以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数。二次函数y0+版+c中.。作为二次项系数.明整x.当>O时，抛物线开口向上，。的值越大，开口越小，反之。的假越小，开口越大：（2）与<（）时.抛物线开口向K"的值越小，开口越小,反之。的假越大，开口越大.总结起来,确定了抛物线开口的大小和方向，的正负确定开口方向,|4的大小确定开口的大2. 一次项系数在二次项系数"确定的前提下，,确定了槌物线的对称轴.（1）在a>O的前提下，当b>O时.-A<o,即她物纹的对称轴在V轴左例：2a当b=o时，-且=0,即拗物线的时称轴就是、,轴：Ia当i><0,-A>0,即抛物纹对称轴在y轴的右的.2a（2）在v的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，-/>0,即抛物线的对称轴在3轴右恻；当b=0时，-=0,即抛物线的对称轴就是轴：当b<o时，-A<o,即抛物线对称轴在V轴的左恻.2a总结起来.在。确定的前提卜确定了抛物线对称轴的位置.时的符号的刘定：对称轴X=-/在），轴左边则必>0,在y轴的右侧则概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项C当c>0时，抛物线与y轴的交点在X轴上方，即抛物线与）轴交点的双坐标为正；当C=O时，抛物线与.y轴的交点为坐标原点，即抛物线与），轴交点的纵坐标为0：当c<0时，抛物线与.y轴的交点在X轴下方，即抛物线与轴交点的双坐标为负.总结起来，C确定了抛物线与）,轴交点的位置.总之,只要a,b,r都确定,则这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通讯利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必渐依据逆目的特点，选挂适当的形式，才能使解翘简便.般来说，有如下几种状况：1 .己知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知他物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式：3 .已知撤物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式：4 .已知拙物线上纵坐标相同的两点.常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于X轴对称丫/加+r关于K轴对称后，得到的解析式是y-加-c：y=(x-)2+i关于X轴对称后,得到的解析式足y=-a(x-f-a：2 .关于),轴对称)=ar2+>x+c关于1轴对称后，科到的解析式是y=at2->x+c:y=a(x-h)2+k关于F轴对称后，得到的解析式是.=a(+4；3 .关于原点对称>,=ar+bx+。关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax'+v-c*:ya(-/始+A关于原点对称后，得到的解析式是y-a(x+田？-Jt：4 .关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。)yad+加+。关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ar1-+c-；Zuy=a(x-tf+Jt关于顶点对称后，得到的解析式是y=T(x-y+&.5 .关于点(m，“)对称y=a(x-h)2+k关于点(加”)对称后，得到的解析式是y=-a(x+/t-2,”+2"-A依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此同恒久不变.求岫物线的对称抛物线的表达式时，可以依据虺意或便利运经的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式己知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称他物纹的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点状况）：一元二次方程加+加+c=O是二次函数y=+加+<-当函数值y=O时的特殊状况.图象与K轴的交点个数：当6-4«CAo时，图象与X轴交于两点八（曷，0）,8（占，0）（X1.HX“，其中的x,七是一元二次方程+版+c=0（"0）的两根.这两点间的距离A8="rj=稣亚.同当A=O时，图象与X轴只有个交点：当A<0时，图象与X轴没有交点.当”>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有3，>0：2,当*0时，图象落在X轴的下方，无论K为任何实数，都有y<0.2 .抛物线=«?+阶+c的图象与釉皆定相交，交点坐标为（O,Ch3 .二次函数常用解题方法苒结：求二次函数的图象与X轴的交点坐标需转化为一元二次方程：求二次函数的最大（小）他须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式：依据图象的位置推断二次函数y="+hr+c中,h,C的符号，或由二次函数中“，b.C的符号推断图象的位51.要数形结合：二次函数的图©关于对称轴对称，可利用这一性成，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式五+/”+«”=0）本身就是所含字母X的二次函数：下面以。>0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：>0抛物或与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负元二次方程有两个不相等实根=0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负元二次方程有两个相等的实数根<0抛物线与X轴无交占二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数考查重点与常见题型1 .考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以X为自变法的二次函数.V=+/-，"-2的图像经过原点，则切的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图，曷!如函数y=履+，>的图像在第、二、三象限内，则函数y=+尻-1的图像大致是（）3.考查用待定系数法求二次函数的辄折式有关习想出现的频率很高，习胞类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条岫物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为x=,求这条砂物线的解析式.4 .考查用配方法求怩物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答胞，如：已知拊物线F=加+儿+c<a0）与N轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是W（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线