2024年线性代数知识点总结汇总.docx
线性代数知识点总结1行列式<-）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2,行列式定义：不一样行不一样列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k.等丁用数k乘此行列式（4）拆列分派：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等下两个行列式之和.（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0,（二）重要行列式4、上（T）Jfi（/对角线）行列式的值等r主对角线元素的乘积*K"-1）5、副时角线行列式的俏等于副对角线元素的乘枳乘（T）：6.1.aP1.a8屣开式：（A是m阶矩阵,B是n阶矩阵）,则Ii=W-M=(TrBi4同7、n阶（n32）范镌蒙镌行列式X”D"=8、对角线的元素为a.数学归纳法证明H他元素为b的行列式的值:=+(m-1)6(-6)w1bbbbab（三）按行（列）展开9,按行展开定理:（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式(1)kA=knA(2)AB=AB(3) A=A(4) A1=A1(5) A=An1.Mh11(6)若A的特性值A1、A2、An.W1.*-1(7)若A与B相似，则IA1.=IB1.(五)克莱姆法则11、克莱姆法则：(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解D),XJ=-,J=I,2,(2)假如非齐次线性方程组无解或有两个不一样解，则它的系数行列苴必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有。解：暇如方程组有非零解，那么必有D=O.2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:12、非零公共解的充要条件：方程组AX=O与Bx=O有非零公共解竹<S有非零解B13、也要结论(需要掌握证明)(1)设A是m×n阶矩阵，则齐次方程ATAx=O与Ax=O同解，r(ATA)=r<A)(2)设A是mXn阶矩阵,r（八）=n,B是nXs阶矩阵，则齐次方程ABX=O与Bx=O同解，r(AB)=r(B)5特性值与特性向量<->矩阵的特性值与特性向量1、特性值、特性向量的定义:设A为n阶矩阵，假如存在数X及非零列向量,使得Aa=入,称是矩阵A属于特性值入的特性向量。2.特性多项式、特性方程的定义：IE-A1.称为矩阵A的特性多项式(k的n次多项式)。IE-A|=0称为矩阵A的特性方程(的n次方程)。注:特性方程可以写为IA-AEi=O（I）若U为齐次方程AX=O的非零解,则AU=O,即U为矩阵A特性值入=0的特性向量（2）A的各行元素和为k,则（1,1,，1户为特性值为k的特性向量。（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特性值为主对角线各元素。阴、总结：特性值与特性向址的求法（I）A为抽象的：由定义或性质淡（2）A为数字的：由特性方程法求解5、特性方程法：（1）解特性方程IAE-AI=0,得矩阵A的n个特性值A”?,，n注：n次方程必须有n个根（可有多重根，写作XFX2=3=实数，不能省略）（2）解齐次方程（,E-A）=0,得属于特性值从的线性无关的特性向量，即其基珈解系（共n-r（iE-A）个解）6,性质：（1）不一样特性值的特性向量线性无关（2）k重特性值最多k个线性无关的特性向量1.n-r（1E-A）k1（3）设A的特性值为Ai,卜2，n.则IAI=Hi=a（4）当r（八）=1,即A=其中,B均为n维非零列向量，则A的特性值为1=£a：=QrB=B，2=n=0(5)设。是矩阵A屈于特性值的特性向量，则Af（八）AtA-1AP1AP(相似)f()1A1a/aaP,a(二)相似矩阵7,相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，假如存在可逆矩阵P使得B=P1.AP,称A与B相似，记作A-B8、相似矩阵的性痂(1)若A与B相似，则f（八）与f(B)相似(2)若A与B相似，B与C相似，则A与C相似(3)相似矩阵有相似的行列式、秩、特性多项式、特性方程、特性值、迹(即主对角线元素之和)【推广】(4)若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似,Ai与若相帆A*与B*也相似(三)矩阵的相似对角化9,相似时角化定义：4*假如A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P,使得PTAP=A=I.称A可相似对角化。注：Aa产,（0,由于P可逆），故P的每列均为矩阵A的特性值的特性向量10、相似对角化的充要条件（I）A有n个线性无关的特性向量（2）A的k重特性值有k个线性无关的特性向量11.相似对角化的充足条件：（1）A有n个不一样的特性值（不一样特性值的特性向量线性无关）（2） A为实对称矩阵12、型要结论：（1）若A可相似对角化，!i1.Jr（八）为非零特性值的个数，n-r（八）为零特性值的个数（2）若A不可相似对角化r（八）不定为非零特性值的个数（四）实对称矩阵（I）特性值全为实数（2）不一样特性值的特性向量正交（3） A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-IAP=R（4） A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-IAQ=QTAQ=A6二次型（一）二次型及其原则形1、二次型：（1） 般形式（2）矩阵形式（常用）2 .原则形：假如二次型只含平方项，即f（X1.，X2，Xn）=d1.X1.2+d2X22+dn2这样的二次型称为原则形对角线）3 .二次型化为原则形的措施：（1）配措施：通过可逆线性变换X=Cy（C可逆），将二次型化为原则形。其中，可逆线性变换及原则形通过先配方再换元得到。0（2）正交变换法:通过正交变换x=Qy.将二次型化为原则形、y12+2y?+-+11y112其中，,z,，K是A的n个特性值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，。与对应即可。（二）惯性定理及规范形4 .定义：正惯性指数：原则形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为P：负惯性指数：原则形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q：规范形：f=zf+zzp.'ZIP2称为二次里的规范形。5、惯性定理：二次型无论选用怎样的可逆线性变换为原则形，其正负惯性指数不变.注：（1）由于正负惯性指数不变，因此规范形唯一。（2） P=正特性值的个数，q=负特性值的个数，p+q=非零特性值的个数=r（八）（三）协议矩阵6.定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,称A与B协议PI7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B-P1AP）<>相似的特性值（2） A、B协议（B=CtAC）与2相似的正负惯性指数相似的正负特性值的个（3） A、B等价（B=PAQ）<>r（八）=r（B）注：实对称矩阵相似必协议，协议必等价（四）正定二次型与正定矩阵8.正定的定义二次型WAx,假如任意XW0,恒有XTAX>0.则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。9、n元二次型XTAX正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E协议，即存在可逆矩阵C.使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特性值均不小于0（4）A的次序主子式均不小于0（k阶次序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型X1.AX正定必要条件：（1） a>0（2） A>011、总结：二次型XTAX正定鉴定（大题）（I）A为数卞：次序主子式均不小FO（2）A为抽象：证A为实对称矩阵：At=A:再由定义或特性值鉴定12、重要结论:(1)若A是正定矩阵，则kA(k>0),Ak.A'.A1.A”正定(2)若A、B均为正定矩阵，则A+B正定
