2024人教九年级上册第二十一章 一元二次方程知识精讲解析版.docx

【单元复习】第二十一章一元二次方程(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)知识精讲第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程知识点元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.叫做一元二次方程。注意一下几点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax+bx+c=0(a*0),其中，ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数：C是常数项.知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫钺一元二次方程的W.也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x=a(az)的方程，根樨平方根的定义可解得x='G,x=-A.(2)直接开平方法话用于解形如x=p或(mx+a)=p(mw)形式的方程，如果p0,.就可以利用直接开平方法。(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它的互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程.求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。<1>杷常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数：(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。21.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=O(a*O),如果b-4ac>0,那么方程的两个根为X=-b±yh2-4ac2”.这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数abc的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=O(a/O)的过程。(3)公式法解一元二次方程的具体步累:(1)方程化为一般形式：ax+bx+c=O(a*O).一般a化为正值：(2)确定公式中a,>c的值,注意符号；(3)求出b4ac的伯；(4)若b-4ac0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac<O,则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子b4ac叫做方程ax+bx+c=0(aK)根的判别式,通常用希错字母上表示它,即，=b4ac.一元二次方程ax+bx+c=O(a=O),>0,方程ax+bx+c=O(a=O)有两个不相等的实数根；一元二次方程ax+bx+c=O(a±O).S=O,方程a+bx+c=O(a*O)有两个相等的实数根：一元二次方程ax+bx+c=O(a*O),<0,方程ax+bx+c=O(a*O)无实数根；21.2.3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一边化为0.而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。(2)因式分解法的详蝴步骤：1移项,将所有的攻都移到左边，右边化为0；2把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；3令每一个因式分别为零,得到一元一次方程；4解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合造的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如x=p或(mx÷n)=p(pO)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=O,则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的枳的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程X*px+q=O的两个根为XWjM有x+x=prxx=q.bC若一元二次方程ax+bx+c=0(a=0)有两个实数根x,x,则有x*x=,«,xx=«22.3实际向IS与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审：是指读懂物目，弄清题意，明确哪些是已知,哪些是未知以及它们之间的等关系。(2)设：是指设元，也就是设出未知数。(3)列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能塔表达应用题金部含义的一个相等含义.然后列代数式表示这个相等关系中的各个.就褥到含有未知数的等式，即方程。(4)解：就是解方程,求出未知数的值，(5)½:是指检躺方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。(6)答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问施三个连域整数：若设中间的一个数为X,则另两个数分别为x-1,x+U三个连续假数(奇数)：若中间的一个数为X,则另两个数分别为x2,x+2o三位数的表示方法：设百位、十位.个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a*10b÷(2)增长率问题设初始量为a.终止量为b,平均增长率或平均降低率为X.则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1±入）=b。（3）利润问通利润同她常用的相等关系式有：总利海=总销得价-总成本；总利润=单位利润X总销懦，；利弼=成本X利润率（4）图形的面枳问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，羽图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。考点例析【考点1】一元二次方程【例1】（2022全国九年级期末）把一元二次方程（x-3）2=5化为一般形式后，二次项系数为（）A.1B.2C.3D.5【答案】A【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为a2+bx+c=0.再找出二次项的系数即可.【详解】解：.（x3）2=5化为一般形式为26+4=0,二次项系数为1,故A正造.故选：A.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式,解遁的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式.【例2】（2022全国九年级期末）已知方程信-3）,7+3x+20.当*=一时.为一元二次方程.【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义得至U-30目1|-2.解得即可.1详解】根据飕意得.A-3w0且kT=2.解得k=1.,故答案为：-1.【点睛】本题考宣一元二次方程的定义：只含有一个耒如数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键.【考点2】解一元二次方程【例3】(2022全国九年级期末)已知关于*的一元二次方程(4-)+2x-2=0有实数根.则Jt的取值范围是()A.A>B.A,C,>fiA*1D.Az1且AH1.2222【答案】D【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0,根的判别式大于等于0；即可迸行解答.【详解】解：关于X的一元二次方程仅-1.)+2x-2=0有实数根.jJk-IvO(a=22-4×(*-1)×(-2)O，解得：2；且Jta.故选；D.【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实效根的情况,熟练地掌塞根的笔别式在不同情况下粮的情况是解期的关像,当"-4<c20时,一元二次方程有实数根；否则，无实数根.例4(2022江苏九年纵期末)关于X的一元二次方程22+4mx+m=0有两个不同的实效根X1,X2,且Y+g=.则m=Io【答案】YO【分析】根据根与系数的关系得到X1.+X2=-2m,X1X2=,再由x+z2=变形得到(x+2)2.ZIo2x1.xz=,即可得到4m2-m=2.然后解此方程即可.1616【详解】解：根据题意得x+xz=2m.Xix2=Y.3.×i2÷X22=77IO/.(X1*X2)2-2X1.X2=,1616I3mi：Q.m2-.OO.=1611-8m>0,.m>；或mV0时.Im=：不合题意，0故答案为：.O【点睛】本地考Sf了根与系数的关系：若Xi,&是一元二次方程a2+bc=0(a*0)的两根时，bCM+A=-,XM=.aa【考点3实际问题与一元二次方程例5(2022金国九年级期末)某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个.设该厂二、三月份平均每月的增长率为X,那么X满足的方程是()A.50(1+x)2=182B.50+50(1.*x)*50(1.*x)2=182C.50(1.+2x)=182D.50+50(1+x)+50(1.+2x)2=182【答案】B【分析】设平均每月的增长率为X,则二月份生产零件50(1+.6万个，三月份生产零件50(1+.靖万个.由此可得出方程.【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率为X,则二月份生产零件50(1.+x)个，三月份生产零件5<X1.+x>个.则得：5O+5(X1.+x)+5(K1.+)i182.【点睛】本题主要考交了求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的t为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数关系为d1.±x"=>.【例6】（2022全国九年级期末）如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,则道路的宽为【答案】2m#2米【分析】设道路宽为X米.由平移法把草坪面枳转化为矩形.根据矩形面积=540列方程求解即可.【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，设道路宽为X米根据题意得：（32-x）（20-x）=540解得：x=2,x2=5O（不合题意，含去）.'.X=Z,故答案为：2m.【点睛】本胭考查了一元二次方程的应用,这类遨目体现了数形结合得思想,需利用平移杷不规财的图形变为规则图形，即可列出方程，求出答案.另外还要注意解的合理住.从而确定取舍.举一反三一、选择题1. （2022全国九年级期中）把方程Y2（x-3）化成一般式/+“+”，0,则正确的是（）.w=2,=6B.w=2,11=-6C.11=-2,=6D.nt=-2,r=-6【答案】C【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相考即可得出答案.【详解1将2(x-3)去括号得/2x6；移项祖/-2÷60.m-2,n=6故送J【点瞪】本题考杳了一元二次方程的概念,一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念.2. (2022全国九年级期未)若关于X的方程/-2+m=0有实数根，则m的取值苑国为()A.用£1B,m1.C.m>1.D.m<【答案】A【分析1根据方程的系数结合根的判别式A20,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即